6．2　平面向量在几何、物理中的应用举例（教师版）

6．2　平面向量在几何、物理中的应用举例
1.能运用向量的有关知识解决平面几何中的线段平行、垂直、相等等问题．　2.能运用向量的有关知识解决物理中的有关力、速度、功等问题．
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日常生活中，我们会看到如图所示的情况，两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为G，作用在行李包上的两个拉力分别为F1，F2，且|F1|＝|F2|，F1与F2的夹角为θ(0<θ<π)．
思考　两人的拉力大小和θ的关系．
提示：由|G|＝|F1＋F2|为定值，所以|G|2＝|F1|2＋|F2|2＋2|F1|×|F2|×cos θ＝2|F1|2·(1＋cos θ)，解得|F1|2＝.因为当θ∈(0，π)时，y＝cos θ单调递减，所以|F1|2逐渐增大，即θ越大越费力，θ越小越省力．
一　用向量方法解决平面几何问题
角度1　利用向量证明平面几何问题
INCLUDEPICTURE"例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(对接教材例16)已知在直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于E，M为CE的中点，用向量的方法证明：
(1)DE∥BC；
(2)D，M，B三点共线．
【证明】　方法一：由已知得四边形AECD为正方形，AE＝EB，设＝a，＝b.
(1)因为＝－＝a－b，＝－＝a－b，所以＝，所以∥且DE，CB无公共点，所以DE∥BC.
(2)连接DM，MB(图略)，＝＋＝a－b，＝＋＝－b＋a，所以＝，又与有公共点M，所以D，M，B三点共线．
方法二：如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，连接MB，MD.令||＝1，则||＝1，||＝2.因为CE⊥AB，且AD＝DC，所以四边形AECD为正方形．所以可求得各点的坐标分别为E(0，0)，B(1，0)，C(0，1)，D(－1，1)．
(1)因为＝(－1，1)－(0，0)＝(－1，1)，＝(0，1)－(1，0)＝(－1，1)，所以＝，所以∥且DE，BC无公共点，所以DE∥BC.
(2)因为M为EC的中点，所以M，所以＝(－1，1)－＝，＝(1，0)－＝.所以＝－，所以∥.又与有公共点M，所以D，M，B三点共线．
eq \a\vs4\al(INCLUDEPICTURE"解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
用向量证明平面几何问题的基本思路及步骤
(1)基法
①选取基；②用基表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积找相应关系；④把几何问题向量化．
(2)向量的坐标运算法
①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；③用向量的坐标运算找相应关系；④把几何问题向量化．
[跟踪训练1] 在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°，CD＝DA＝AB，求证：AC⊥BC.
证明：方法一：因为∠CDA＝∠DAB＝90°，AB∥CD，CD＝DA＝AB，
所以设＝e1，＝e2，|e1|＝|e2|，
则＝2e2.
所以＝＋＝e1＋e2，
＝－＝(e1＋e2)－2e2＝e1－e2.
而·＝(e1＋e2)·(e1－e2)＝e－e
＝|e1|2－|e2|2＝0，
所以⊥，即AC⊥BC.
方法二：如图，建立平面直角坐标系，设CD＝1，则A(0，0)，
B(2，0)，C(1，1)．
所以＝(－1，1)，＝(1，1)．
所以·＝(－1，1)·(1，1)＝－1＋1＝0.
所以AC⊥BC.
角度2　利用向量解决平面几何中的线段长度及夹角问题
INCLUDEPICTURE"例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(1)如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，∠BAC＝135°，D为边BC的中点，且＝，则向量的模为(　　)
A. B.
C. D.
(2)已知菱形ABCD中，AC＝2，BD＝2，点E为CD上一点，且CE＝2ED，则∠AEB的余弦值为________．
【解析】　(1)因为AB＝4，AC＝2，∠BAC＝135°，所以·＝－8.
因为＝－＝－＝(＋)－＝－＋，
所以||＝＝
＝.故选B.
(2)设AC与BD交于点O，以O为坐标原点，AC，BD所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则点A(，0)，B(0，1)，E(－，－)，
所以＝(，)，＝(，)，
则cos∠AEB＝＝＝.
【答案】　(1)B　(2)
eq \a\vs4\al(INCLUDEPICTURE"解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
(1)用向量法求线段长度的策略
①根据图形特点选择基，利用向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解；
②建立平面直角坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝.
(2)用向量法求夹角的策略
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积a·b以及|a||b|，再由cos θ＝求出cos θ，也可由坐标表示cos θ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x＋y)·\r(x＋y))直接求出 cos θ.由三角函数值cos θ求角θ时，应注意角θ的取值范围是[0，π]．
[跟踪训练2] (1)已知O为△ABC的外心，且＝＋，则cos∠BOC＝(　　)
A．－ B．－
C. D.
解析：选B.设圆O为△ABC的外接圆，半径为2，由于＝＋，
所以－＝＝，所以CA∥OB，CA＝OB＝1.
设∠BOC＝θ，则∠OCA＝π－θ，
在△OAC中，
由余弦定理得cos(π－θ)＝＝，即－cos θ＝，所以cos θ＝－.
故选B.
(2)如图，E，F分别是四边形ABCD的边AD，BC的中点，AB＝1，CD＝2，∠ABC＝75°，∠BCD＝45°，则线段EF的长是________．
解析：依题意，＝＋＋，＝＋＋，
因为E，F分别是四边形ABCD的边AD，BC的中点，
则2＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝＋，
如图，过点A作AG∥CD交BC于点G，
则∠AGB＝∠BCD＝45°，而∠ABC＝75°，则有∠BAG＝60°，于是得〈，〉＝60°，
则||＝ ＝
＝×＝.
所以线段EF的长为.
答案：
1．由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的减法和加法相似，因此，可以用向量的知识来解决许多物理问题．
2．物理学中的功是一个标量，即为力F与位移s的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cos θ(θ为F与s的夹角)．
INCLUDEPICTURE"例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(1)(对接教材例17)如图，已知河水自西向东流速为|v0|＝1 m/s，设某人在静水中游泳的速度为v1，在流水中实际速度为v2.若此人实际前进方向与水流方向垂直，且|v2|＝ m/s，则他游泳的方向与水流方向的夹角β为(　　)
A. B. C. D.
(2)(对接教材例20)一个物体受到同一平面内的三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8 m，其中|F1|＝2 N，方向为北偏东30°，|F2|＝4 N，方向为北偏东60°，|F3|＝6 N，方向为北偏西30°，求合力F所做的功．
【解】　(1)选C.如图，设＝v0，
＝v1，＝v2，则由题意知v2＝v0＋v1，||＝1，根据向量加法的平行四边形法则得四边形OACB为平行四边形．由题意知∠AOC＝∠OCB＝，且|v2|＝||＝，||＝1，则在Rt△OBC中，|v1|＝||＝＝2，
tan∠BOC＝＝.又∠BOC∈，所以∠BOC＝，则β＝＋＝.
(2)以O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示．
则F1＝(1，)，F2＝(2，2)，F3＝(－3，3)，
所以F＝F1＋F2＋F3＝(2－2，2＋4)．
又因为位移s＝(4，4)，
所以合力F所做的功为W＝F·s＝(2－2)×4＋(2＋4)×4＝4×6＝24(J)．
即合力F所做的功为24 J.
eq \a\vs4\al(INCLUDEPICTURE"解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
用向量方法解决物理问题的四个步骤
[跟踪训练3] (1)(多选)在水流速度大小为4 km/h 的河水中，一艘船以12 km/h大小的实际航行速度垂直于对岸行驶，则下列关于这艘船在静水中航行速度的大小和方向的说法中，正确的是(　　)
A．这艘船在静水中航行速度的大小为12 km/h
B．这艘船在静水中航行速度的大小为8 km/h
C．这艘船在静水中航行速度的方向与水流方向的夹角为150°
D．这艘船在静水中航行速度的方向与水流方向的夹角为120°
解析：选BD.如图，设船的实际航行速度为v1，水流速度为v2，船在静水中航行速度为v3，根据向量的平行四边形法则可知|v3|＝＝8(km/h)．
设船在静水中航行速度的方向和水流方向的夹角为θ，则tan(180°－θ)＝＝＝，
所以tan θ＝－，θ＝120°，
船在静水中的速度为8 km/h，
航行速度方向与水流方向的夹角为120°.故B，D正确，故选BD.
(2)一质点在力F1＝(－3，5)，F2＝(2，－3)的共同作用下，由点A(10，－5)移动到B(－4，0)，则F1，F2的合力F对该质点所做的功为(　　)
A．24 J B．－24 J
C．110 J D．－110 J
解析：选A.由题意可知，F1，F2的合力F＝F1＋F2＝(－3，5)＋(2，－3)＝(－1，2)，＝(－4－10，0＋5)＝(－14，5)，则由共点力平衡得合力F对该质点所做的功为F·＝(－1，2)·(－14，5)＝24 J．故选A.
INCLUDEPICTURE"课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D为AC的中点，则cos∠BDC＝(　　)
A．－ B. C．0 D.
解析：选B.如图，以B为原点，BC，BA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则B(0，0)，A(0，8)，C(6，0)，D(3，4)，所以＝(－3，－4)，＝(3，－4)．又∠BDC为，的夹角，所以cos∠BDC＝＝＝.
2．(多选)如图所示，小船被绳子拉向岸边，船在水中运动时，设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中(　　)
A．船受到的拉力不断增大
B．船受到的拉力不断减小
C．船受到的浮力不断减小
D．船受到的浮力保持不变
解析：选AC.设水的阻力为f，船受到的拉力为F，F与水平方向的夹角为θ(0<θ<)，
则|F|cos θ＝|f|，故|F|＝，因为θ不断增大，所以cos θ不断减小，故|F|不断增大．
因为|F|sin θ不断增大，所以船受到的浮力不断减小．故选AC.
3.在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝4，∠BAD＝60°，E是BC的中点，F是AE的中点，则向量的模为________．
解析：因为＝＋＝＋(＋)＝－，
所以||＝
＝
＝
＝.
答案：
4．(教材P127T2改编)如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.
证明：方法一：设＝a，＝b，
则|a|＝|b|，a·b＝0.
又＝＋＝－a＋，
＝＋＝b＋，
所以·＝(b＋)·(－a＋)
＝－－a·b＋＝－|a|2＋|b|2＝0.
故⊥，即AF⊥DE.
方法二：如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)，则＝(2，1)，＝(1，－2)．
因为·＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0，
所以⊥，即AF⊥DE.
eq \a\vs4\al(INCLUDEPICTURE"课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT )
1．已学面向量在平面几何、物理中的应用．
2．须贯通：用向量解决平面几何、物理问题时，先把有关问题转化为向量问题，再通过向量的线性运算或数量积运算解决该问题，最后一定要回归到所研究问题上，体现了转化与化归的思想方法．
3．应注意：忘记把向量运算的结果转化为平面几何、物理问题．