强化课　平面向量数量积的应用（教师版）

INCLUDEPICTURE"强化课LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../强化课LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　平面向量数量积的应用
题型一　平面几何图形中的向量数量积问题
INCLUDEPICTURE"例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(1)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，F为AB的中点，CE＝3，CB＝8，AB＝12，则·＝(　　)
A．－15 B．－13 C．13 D．15
(2)如图所示，正方形ABCD的边长为1，A，D分别在x轴的正半轴、y轴的正半轴(含原点)上滑动，则·的最大值是________．
【解析】　(1)方法一(取基法)：因为∠ABC＝90°，F为AB的中点，CB＝8，AB＝12，所以FA＝FB＝6，
所以CF＝＝10，
又CE＝3，所以FE＝CF－CE＝7，
所以·＝(－)·(－)
＝·－·(＋)＋2
＝6×6×(－1)＋7×7＝13.
方法二(坐标法)：建立如图所示的平面直角坐标系，则A(12，0)，B(0，0)，C(0，8)，F(6，0)．
在Rt△CBF中，
CF＝＝10，
又CE＝3，所以＝，即＝，
则＝＋＝＋
＝(6，0)＋(－6，8)＝(，)，
同理＝(－，)，
所以＝(，－)，
＝(－，－)，
则·＝×(－)＋(－)2＝13.
(2)如图，取BC的中点M，AD的中点N，连接MN，ON，OM，则·＝(＋)·(＋)＝2－2＝2－.因为OM≤ON＋NM＝AD＋AB＝，当且仅当O，N，M三点共线时取等号，所以·的最大值为2.
【答案】　(1)C　(2)2
eq \a\vs4\al(INCLUDEPICTURE"解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
平面几何图形中的向量数量积的计算方法
对于以平面图形为背景的向量数量积运算的题目，要注意把握图形的特征，常见的求解方法有两种：
一是先利用平面向量基本定理，将相关向量用同一组基表示，再利用向量数量积的运算律将原式展开，最后依据已知条件计算；
二是先建立合适的平面直角坐标系，将各向量用坐标表示，然后直接进行数量积的坐标运算．
[跟踪训练1] (1)在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，若点M，N分别是CD，BC的中点，则·＝(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
解析：选B.以点A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0，1)，M(1，1)，N(2，)，＝(－2，)，＝(1，－)，所以·＝(－2)×1＋×(－)＝－.故选B.
(2)在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，点E为边AB的中点，点F为边BC上的动点，则·的取值范围是________．
解析：以A为坐标原点，，的方向分别为x轴、y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0，1)，E(1，0)．设F(2，m)(0≤m≤1)，所以＝(1，－1)，＝(2，m－1)，所以·＝2－m＋1＝3－m.因为0≤m≤1，所以2≤3－m≤3，即·的取值范围是[2，3]．
答案：[2，3]
角度1　向量模的最值问题
INCLUDEPICTURE"例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(1)已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(c－a)·(c－b)＝0，则|c|的最大值是(　　)
A．1 B．2 C. D.
(2)已知平面向量a，b，e满足|e|＝1，a·e＝1，b·e＝2，则|a＋b|的最小值为____________．
【解析】　(1)由题意得|a|＝|b|＝1，a·b＝0，则a2＝b2＝1，|a＋b|＝＝，(c－a)·(c－b)＝c2＋a·b－c·(a＋b)＝|c|2－|c||a＋b|cos〈a＋b，c〉＝0，即|c|＝cos〈a＋b，c〉，故当cos〈a＋b，c〉＝1，即a＋b与c同向时，|c|取最大值.故选C.
(2)不妨设a＝(x，y)，b＝(m，n)，e＝(1，0)，则a·e＝x＝1，b·e＝m＝2，
又a＋b＝(x＋m，y＋n)，所以|a＋b|＝＝≥3.
当且仅当y＋n＝0时，|a＋b|取最小值3.
【答案】　(1)C　(2)3
eq \a\vs4\al(INCLUDEPICTURE"解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
求向量模的最值(或取值范围)的方法
利用平面向量数量积的概念和性质，构建关于模长的函数模型，利用三角函数或二次函数求解模长的最值(或取值范围)．
[跟踪训练2] (1)已知向量a，b满足|a|＝1，a与b的夹角为，则|a－b|的最小值为________．
解析：因为|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×1×|b|cos ＋|b|2＝|b|2－|b|＋1＝＋≥，所以|a－b|≥，当|b|＝时取得最小值.
答案：
(2)已知△ABC为等边三角形，AB＝2，△ABC所在平面内的点P满足|－－|＝1，则||的最小值为________．
解析：＝＝
＝2，
则||＝|(－－)＋(＋)|≥||－－|－|＋||＝2－1.
当且仅当－－与＋方向相反时等号成立．
答案：2－1
角度2　向量夹角的最值问题
INCLUDEPICTURE"例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(1)已知向量a，b满足a＝(t，2－t)，|b|＝1，且(a－b)⊥b，则a与b夹角的最小值为(　　)
A. B. C. D.
(2)已知|a|＝1，向量b满足2|b－a|＝b·a，设a与b的夹角为θ，则cos θ的最小值为____________．
【解析】　(1)因为(a－b)⊥b，
所以(a－b)·b＝0，即a·b＝b2，
cos〈a，b〉＝＝＝＝＝，
又因为2t2－4t＋8＝2(t－)2＋4≥4，
所以0所以a与b夹角的最小值为.
(2)因为|a|＝1，
所以不妨设a＝(1，0)，b＝(x，y)．
所以b－a＝(x－1，y)，
由2|b－a|＝b·a，得
2＝x，则x>0，
所以4(x－1)2＋4y2＝x2，
所以y2＝－x2＋2x－1，
所以cos θ＝＝
＝
＝
＝
＝ ，
所以当＝1，即x＝1时，cos θ取最小值.
【答案】　(1)C　(2)
eq \a\vs4\al(INCLUDEPICTURE"解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
求向量夹角的最值的方法
将向量夹角的大小问题转化为夹角余弦值的大小问题，利用函数求最值(或取值范围)．
[跟踪训练3] 已知平面向量a，b满足|a－b|＝3，|a|＝2|b|，则a－b与a夹角的最大值为(　　)
A. B. C. D.
解析：选D.因为|a－b|＝3，|a|＝2|b|，所以(a－b)2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝4|b|2－2a·b＋|b|2＝9，所以a·b＝|b|2－，所以(a－b)·a＝|a|2－a·b＝4|b|2－|b|2＋＝|b|2＋，所以cos〈a－b，a〉＝＝＝|b|＋≥，当且仅当|b|＝，即|b|＝时等号成立，因为0≤〈a－b，a〉≤π，所以0≤〈a－b，a〉≤，所以a－b与a夹角的最大值为.故选D.
角度3　向量数量积的最值问题
INCLUDEPICTURE"例4LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(1)已知△ABC是边长为a的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是(　　)
A．－2a2 B．－a2
C．－a2 D．－a2
(2)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点(不包括边界)，则·的取值范围是(　　)
A．(－2，6) B．(－6，2)
C．(－2，4) D．(－4，6)
【解析】　(1)以BC的中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0，a)，B(－a，0)，C(a，0)．设P(x，y)，则＝(－x，a－y)，＝(－a－x，－y)，＝(a－x，－y)，所以＋＝(－2x，－2y)，所以·(＋)＝－x·(－2x)＋(a－y)·(－2y)＝2x2－ay＋2y2＝2x2＋2(y－a)2－a2.所以当x＝0，y＝a时，·(＋)取得最小值－a2.
(2)设P(x，y)，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0，0)，B(2，0)，＝(x，y)，＝(2，0)，所以·＝2x，由题意可得点C的横坐标为3，点F的横坐标为－1，所以－1＜x＜3，所以－2＜·＜6.
【答案】　(1)B　(2)A
eq \a\vs4\al(INCLUDEPICTURE"解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
求向量数量积的最值(取值范围)的方法
先进行数量积的有关运算，将数量积用某一个变量或两个变量表示，建立关系式，然后利用函数、不等式、方程等有关知识求解；在一些和几何图形有关的问题中，也可利用图形、几何求解．
[跟踪训练4] 设AB＝10，若平面上一点P满足对任意的λ∈R，|2－λ|≥8，则·的最小值为________．
解析：以线段AB的中点为原点，设为O，AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(－5，0)，B(5，0)，
设P(x，y)，则＝(x＋5，y)，＝(10，0)，
所以2－λ＝(2x＋10－10λ，2y)，
因为|2－λ|≥8，所以(2x＋10－10λ)2＋4y2≥64，
化简得100λ2－(200＋40x)λ＋4x2＋40x＋4y2＋36≥0，
由于上述不等式对任意λ∈R恒成立，则Δ≤0恒成立，
Δ＝(200＋40x)2－4×100×(4x2＋40x＋4y2＋36)≤0，解得y2≥16，即y≥4或y≤－4,
因为＝(－5－x，－y)，＝(5－x，－y)，所以·＝x2＋y2－25，
因为x∈R，y2≥16，所以x2＋y2－25≥x2＋16－25≥－9，即·≥－9，所以·的最小值为－9.
答案：－9
题型三　平面向量与三角函数的综合问题
INCLUDEPICTURE"例5LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../例5LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　设＝(sin(2x－)，0)，＝(，cos x)，x∈.
(1)当⊥时，求x的值；
(2)若f(x)＝·，求f(x)的最大值与最小值，并求出相应x的值．
【解】　(1)由⊥得·＝0，
所以sin(2x－)＝0，
所以2x－＝kπ，k∈Z，即x＝＋，k∈Z.
由于x∈，所以x＝.
(2)因为f(x)＝·，所以f(x)＝
sin(2x－)，
因为x∈，所以2x－∈.
则当2x－＝－，即x＝0时，函数f(x)取最小值－1；
当2x－＝，即x＝时，函数f(x)取最大值.
eq \a\vs4\al(INCLUDEPICTURE"解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
平面向量与三角函数的综合问题的解题思路
(1)当题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式时，先运用向量相关知识，得到三角函数的关系式，然后求解．
(2)当给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式时，其解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性求解．
[跟踪训练5] 已知向量m＝(2sin(2x＋)，2sin x)，n＝(1，cos x)，设f(x)＝m·n－2sin xcos x.
(1)求f()的值；
(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．
解：(1)由题意，得f(x)＝2sin(2x＋)＋2sin xcos x－2sin xcos x＝2sin(2x＋)，
所以f()＝2sin(2×＋)＝2sin＝2.
(2)由(1)得f(x)＝2sin(2x＋)，所以f(x)的最小正周期T＝＝π，
令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．