章末复习提升(二)（教师版）

章末复习提升(二)
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要点一　平面向量的线性运算
向量线性运算的基本方法
(1)类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数．
(2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算．
训练1　(多选)如图所示，已知点P，Q，R分别是△ABC三边AB，BC，CA的四等分点，如果＝a，＝b，以下向量表示正确的是(　　)
A.＝－a－b
B.＝－a＋b
C.＝－a＋b
D.＝a－b
解析：选BC.由已知可得＝－＝b－a，故D错误；因为点P，Q，R分别是△ABC三边AB，BC，CA的四等分点，由＝－＝－＝－a－(b－a)＝－a－b，故A错误；＝－＝－＋＝－b＋(b－a)＝－a＋b，故B正确；＝－＝－＝－a＋b，故C正确．故选BC.
训练2　若P是△ABC的外心，且＋＋λ＝0，C＝120°，则实数λ的值为(　　)
A．－1 B．－
C．－ D．以上三个选项均不正确
解析：选A.如图所示，设AB的中点为D，则＋＝2.
由＋＋λ＝0，得2＋λ＝0，所以向量，共线，又P是△ABC的外心，所以PA＝PB，所以PD⊥AB，从而CD⊥AB.因为∠ACB＝120°，所以∠APB＝120°，即四边形APBC是菱形，于是＋＝2＝，所以2＋λ＝＋λ＝0，所以λ＝－1.
训练3　设e1，e2是两个不共线的向量，若向量ke1＋2e2与8e1＋ke2方向相反，则实数k＝________．
解析：由题意知，ke1＋2e2与8e1＋ke2共线，
所以存在实数λ，使ke1＋2e2＝λ(8e1＋ke2)＝8λe1＋kλe2.因为e1，e2不共线，所以解得或因为ke1＋2e2与8e1＋ke2方向相反，所以λ＝－，k＝－4.
答案：－4
训练4　如图所示，在正方形ABCD中，M是BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________．
解析：因为＝λ＋μ＝λ(＋)＋μ(＋)
＝λ＋μ
＝＋，且＝＋，所以解得所以λ＋μ＝.
答案：
要点二　平面向量的数量积运算(包括向量模，向量的夹角)
1．向量数量积的两种计算方法
(1)当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos θ；
(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
2．利用向量数量积可以解决以下问题
(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
a∥b x1y2－x2y1＝0，a⊥b x1x2＋y1y2＝0；
(2)求解向量的夹角和模的问题
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)则|a|＝eq \r(x＋y)，|b|＝eq \r(x＋y).
两向量的夹角θ的余弦值(0≤θ≤π，a，b为非零向量)
cos θ＝＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x＋y)\r(x＋y)).
训练5　已知向量a＝(，1)，向量b满足|a－b|＝2|a|，且(a＋b)⊥(a－2b)，则a与b的夹角为(　　)
A．0 B. C. D．π
解析：选D.依题意有|a|＝2，(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝0，所以4－a·b－2b2＝0①，又(a－b)2＝4a2＝16，即4－2a·b＋b2＝16②，由①②得a·b＝－4，b2＝4，|b|＝2，所以cos〈a，b〉＝＝＝－1，由于0≤〈a，b〉≤π，所以a与b的夹角为π.故选D.
训练6　设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4，若点M，N满足＝3，＝2，则·＝________．
解析：因为＝＋＝＋，＝－＝－＋，
所以·＝(4＋3)·(4－3)＝(162－92)＝×(16×62－9×42)＝9.
答案：9
训练7　如图，在△ABC中，∠BAC＝，＝2，P为CD上一点，且满足＝m＋.若·＝4，则||的最小值为________．
解析：设＝λ(λ∈R)，则＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝＋λ(－)＝λ＋(1－λ)＝＋m，所以解得m＝λ＝.因为·＝||·||cos＝||·||＝4，所以||·||＝8，||2＝(＋)2＝2＋2＋·＝||2＋||2＋≥2＋＝4，当且仅当||＝||，即||＝||时，等号成立．所以||的最小值为2.
答案：2
训练8　已知向量a＝(3，－1)，|b|＝，a·b＝－5，c＝xa＋(1－x)b.
(1)若a⊥c，求实数x的值；
(2)当|c|取最小值时，求b与c夹角的余弦值．
解：(1)设b＝(m，n)，所以解得或所以b＝(－1，2)或b＝(－2，－1)．当b＝(－1，2)时，c＝x(3，－1)＋(1－x)(－1，2)＝(4x－1，2－3x)．因为a⊥c，所以3(4x－1)－(2－3x)＝0，解得x＝.当b＝(－2，－1)时，c＝x(3，－1)＋(1－x)(－2，－1)＝(5x－2，－1)．因为a⊥c，所以3(5x－2)＋1＝0，解得x＝.综上，实数x的值为.
(2)设b与c的夹角为θ，由(1)可知，当b＝(－1，2)时，c＝(4x－1，2－3x)，则|c|2＝(4x－1)2＋(2－3x)2＝25x2－20x＋5＝25＋1.当x＝时，|c|取最小值，此时|c|＝1，c＝，所以b·c＝－＋＝1，所以cos θ＝＝.当b＝(－2，－1)时，c＝(5x－2，－1)，则|c|2＝(5x－2)2＋(－1)2＝25＋1，当x＝时，|c|取最小值，此时|c|＝1，c＝(0，－1)，所以b·c＝1，所以cos θ＝＝.综上，b与c夹角的余弦值为.
要点三　正弦定理、余弦定理
1．通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如a＝2Rsin A，a2＋b2－c2＝2abcos C等)，利用三角形变换得出三角形内角之间的关系进行判断．此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如在△ABC中，sin A＝sin B A＝B；sin(A－B)＝0 A＝B；sin 2A＝sin 2B A＝B或A＋B＝等．
2．利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sin A＝，cos A＝等，进行代数变换．
训练9　在△ABC中，有a4＋b4＋c4＝2c2(a2＋b2)，且A＝72°，则B为(　　)
A．45° B．60°
C．63° D．其他三个选项均不对
解析：选C.由余弦定理可得cos2 C＝()2＝
＝＝，因为A＝72°，所以0°训练10　在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若A＝60°，b＝1，＝，则△ABC的面积为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B.在△ABC中，由正弦定理＝＝，得＝＝，则a＝sin A＝sin 60°＝×＝1，而b＝1，即有△ABC是正三角形，所以S△ABC＝absin 60°＝.故选B.
训练11　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2－c2＝2b，且sin Acos C＝3cos Asin C，则b的值为________．
解析：方法一：在△ABC中，因为sin Acos C＝3cos Asin C，则由正弦定理及余弦定理的推论有a·＝3··c，
化简并整理得2(a2－c2)＝b2.又a2－c2＝2b，所以4b＝b2，解得b＝4或b＝0(舍去)．
方法二：cos C＝＝，同理cos A＝，则a×＝3××c，解得b＝4.
答案：4
训练12　已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c.向量m＝(a－2b，c)，n＝(cos C，cos A)，若m⊥n.
(1)求角C的大小；
(2)若c＝2，
①求△ABC面积的最大值；
②求△ABC周长的取值范围；
③求AB边上中线长度的最大值；
④且________，求△ABC的周长．
在(Ⅰ)sin Asin B＝，(Ⅱ)S△ABC＝，(Ⅲ)·＝这三个条件中选一个填在横线上，并完成解答．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
解：(1)因为m＝(a－2b，c)，n＝(cos C，cos A)，且m⊥n，
所以(a－2b)cos C＋ccos A＝0，
即acos C＋ccos A－2bcos C＝0，
又acos C＋ccos A＝a·＋c·＝b，
所以b－2bcos C＝0，则cos C＝.
又0°(2)①由(1)知C＝60°，当c＝2时，由余弦定理得12＝a2＋b2－2abcos 60°＝a2＋b2－ab≥2ab－ab＝ab，
所以ab≤12，当且仅当a＝b＝2时，取等号．
所以S△ABC＝absin C≤×12×＝3.
故当a＝b＝2时，△ABC面积的最大值为3.
②由①知12＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，
由ab≤，得≤，
即(a＋b)2≤48.所以0又a＋b＞c＝2，所以4＜a＋b＋c≤6.
故△ABC周长的取值范围为(4，6]．
③在△ABC中，设AB的中点为D，连接CD(图略)，设CD＝mc，
则在△ACD中，由余弦定理得，b2＝m＋()2－2·mc··cos∠ADC，(*)
在△BCD中，由余弦定理得，a2＝m＋()2－2·mc··cos∠BDC，(**)
因为∠ADC＋∠BDC＝π，
则(*)＋(**)，得a2＋b2＝2m＋，
即mc＝
＝ .
由①知a2＋b2－ab＝12，
即a2＋b2－12＝ab≤，
所以a2＋b2≤24.
所以mc≤ ＝3，
当且仅当a＝b＝2时，取等号．
即AB边上中线长度的最大值为3.
④选条件(Ⅰ)．
由正弦定理，得＝＝＝＝4，即sin Asin B＝·＝，
所以ab＝.
由余弦定理，得c2＝(a＋b)2－2ab－2abcos 60°＝(a＋b)2－3ab＝(a＋b)2－4，
所以(a＋b)2＝16，则a＋b＝4或a＋b＝－4(舍去)，
所以△ABC的周长为a＋b＋c＝4＋2.
选条件(Ⅱ)．
因为S△ABC＝absin 60°＝，所以ab＝.
下同条件(Ⅰ)．
选条件(Ⅲ)．
因为·＝abcos 60°＝，所以ab＝.
下同条件(Ⅰ)．
要点四　正、余弦定理的实际应用
正弦、余弦定理在实际应用中应注意的问题
(1)分析题意，弄清已知元素和未知元素，根据题意画出示意图．
(2)明确题目中的一些名词、术语的意义，如仰角、俯角、方向角、方位角等．
(3)将实际问题中的数量关系归结为数学问题，利用学过的几何知识，作出辅助线，将已知与未知元素归结到同一个三角形中，然后解此三角形．
(4)在选择关系时，一是力求简便，二是要尽可能使用题目中的原有数据，尽量减少计算中误差的积累．
训练13　如图所示为起重机装置示意图．支杆BC＝10 m，吊杆AC＝15 m，吊索AB＝5 m，起吊的货物与岸的距离AD为(　　)
A．30 m B. m
C．15 m D．45 m
解析：选B.在△ABC中，AC＝15 m，AB＝5 m，BC＝10 m，
由余弦定理的推论得cos ∠ACB＝＝＝－，又0°<∠ACB<180°，所以∠ACB＝120°，
所以sin ∠ACB＝.又∠ACB＋∠ACD＝180°，所以sin ∠ACD＝sin ∠ACB＝.
在Rt△ADC中，AD＝AC·sin ∠ACD＝15×＝(m)．故选B.
训练14　如图，到达某旅游景区内的A处后，有两种路径到B处：一种是从A处沿直线步行到B处；另一种是先从A处坐小火车沿直线到达C处，再从C处沿直线步行到B处．现有甲、乙两名游客到达A处后，甲沿AB匀速步行前往B处，速度为50米/分钟，甲出发2分钟后，乙从A处坐小火车前往C处，再从C处步行到B处．已知小火车的速度为200米/分钟，A，C之间的距离为2 000米，B，C之间的距离为3 000米，AB>BC，sin B＝.当乙在小火车上时，甲、乙之间的直线距离最短为(　　)
A. 米 B. 米
C. 米 D. 米
解析：选B.由正弦定理可知＝，所以sin A＝＝＝，又AB>BC，所以A＝60°，所以cos A＝.乙在小火车上的时间为＝10分钟，设乙出发t(0训练15　如图，某中学某班级课外学习兴趣小组为了测量某座山峰的高度，先在A处测得山顶C处的仰角为60°，又利用无人机在离地面高400 m的M处(即MD＝400 m)，观测到山顶C处的仰角为15°，A处的俯角为45°，则山高BC＝________m.
解析：由题意知∠MAD＝45°，则AM＝MD＝400 m，∠CMA＝45°＋15°＝60°，∠CAB＝60°，故∠MAC＝180°－60°－45°＝75°，∠ACM＝180°－75°－60°＝45°.在△MAC中，由正弦定理得＝，即＝，解得AC＝400 m，则BC＝ACsin 60°＝600 m.
答案：600
训练16　已知海岛A周围8海里内有暗礁，有一货轮由西向东航行，望见海岛A在北偏东75°方向，航行20海里后，见此海岛在北偏东30°方向，若货轮不改变航向继续前进，有无触礁危险？
解：如图所示，在△ABC中，依题意得BC＝20海里，∠ABC＝90°－75°＝15°，∠BAC＝60°－∠ABC＝45°.
由正弦定理，得＝，所以AC＝＝10(－)(海里)．
过点A作AD⊥BC于点D，
故A到航线的距离为AD＝ACsin 60°＝10(－)×＝(15－5)(海里)．
因为15－5>8，所以货轮不改变航向继续前进无触礁危险．