2．1　课后达标 检测（教师版）

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1．在平面四边形ABCD中，下列结论不正确的是(　　)
A.＋＋＝
B.＋＋＋＝0
C.＋＝
D.＋＝
解析：选C.由向量加法的三角形法则可得＋＋＝，＋＋＋＝0，＋＝，故A，B，D正确；只有当四边形ABCD为平行四边形时，＋＝才成立，故C不正确．故选C.
2．若在△ABC中，＝a，＝b，且|a|＝|b|＝1，|a＋b|＝，则△ABC的形状是(　　)
A．正三角形 B．锐角三角形
C．斜三角形 D．等腰直角三角形
解析：选D.由于||＝|a|＝1，||＝|b|＝1，||＝|a＋b|＝，所以△ABC为等腰直角三角形．故选D.
3．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝(　　)
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A. B. C. D.
解析：选B.以OP，OQ为邻边作平行四边形，则OP与OQ之间的对角线OF对应的向量即为所求向量．故选B.
4．设非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则向量a，b的夹角为(　　)
A．150° B．120°
C．60° D．30°
解析：选B.如图，设＝a，＝b，＝c，则a＋b＝c表示＋＝，所以四边形ABCD是平行四边形，由于|a|＝|b|，所以四边形ABCD是菱形，由于|a|＝|b|＝|c|，所以△ABC和△ACD是等边三角形，所以向量a，b的夹角为∠BAD＝120°.故选B.
5．(多选)设a＝＋＋＋，b是一个非零向量，则下列结论正确的有(　　)
A．a∥b
B．a＋b＝a
C．a＋b＝b
D．|a＋b|＜|a|＋|b|
解析：选AC.由题意，向量a＝＋＋＋＝＋＝0，且b是一个非零向量，所以a∥b成立，所以A正确；因为a＋b＝b，所以B不正确，C正确；因为|a＋b|＝|b|，|a|＋|b|＝|b|，所以|a＋b|＝|a|＋|b|，所以D不正确．故选AC.
6．(多选)下列各式结果为零向量的有(　　)
A.＋＋
B.＋＋＋
C.＋＋
D.＋＋＋
解析：选ACD.对于A，＋＋＝＋＋＝＋＝0，故A正确；
对于B，＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝2，故B错误；
对于C，＋＋＝＋＋＝＋＝0，故C正确；
对于D，＋＋＋＝＋＝0，故D正确．故选ACD.
7．已知点G是△ABC的重心，则＋＋＝________．
解析：如图所示，连接AG并延长交BC于点E，
则点E为BC的中点，延长AE到点D，使GE＝ED，所以四边形BDCG为平行四边形，则＋＝，＋＝0，故＋＋＝0.
答案：0
8．若点P为△ABC的外心，且＋＝，则∠ACB＝________．
解析：由＋＝知四边形ACBP为平行四边形．又因为点P为△ABC的外心，所以PA＝PB＝PC，所以四边形ACBP为菱形，PA＝PC＝AC，所以∠ACP＝60°，易得∠ACB＝120°.
答案：120°
9．某人在静水中游泳，速度为4 km/h.如果此人沿垂直于水流的方向游向河对岸，水流的流速为4 km/h，则此人实际沿__________的方向前进，速度为________．
解析：如图所示，设水流速度为，静水中游泳速度为，则实际游泳速度为，因为||＝4，||＝4，所以||＝8，∠COA＝60°.所以此人实际沿与水流方向成60°的方向前进，速度为8 km/h.
答案：与水流方向成60°　8 km/h
10.如图，已知向量a，b，c，d.
(1)求作a＋b＋c＋d；
(2)设|a|＝2，e为单位向量，求|a＋e|的最大值．
解：(1)在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，＝d，则＝a＋b＋c＋d.
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(2)在平面内任取一点O，作＝a，＝e，则a＋e＝＋＝.
因为e为单位向量，
所以点B在以点A为圆心的单位圆上(如图所示)，
由图可知当点B在点B1时，O，A，B1三点共线，
||即为|a＋e|的最大值，最大值是3.
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11．已知等腰直角三角形ABC的直角边长为1，E为斜边BC上一动点，则|＋|的最小值为(　　)
A. B.
C．1 D.
解析：选A.|＋|＝||，显然当E为斜边BC的中点，即AE⊥BC时，AE最小，如图，最小值为＝，即|＋|的最小值为.故选A.
12．已知向量a，b不共线，若向量a＋b平分a与b的夹角，则(　　)
A．a＝b B．|a|＝|b|
C．a与b的夹角为直角 D．以上都不对
解析：选B.因为向量a，b不共线，则根据向量加法法则得一个平行四边形OACB，其中a＝，b＝，a＋b＝，因为a＋b平分a与b的夹角，所以平行四边形OACB为菱形，即|a|＝|b|.故选B.
13．已知||＝|a|＝3，||＝|b|＝3，∠AOB＝60°，则|a＋b|＝________．
解析：由题设作平行四边形OBCA，如图，
因为||＝||＝3，所以平行四边形OACB为菱形．连接OC，AB，则OC⊥AB，设垂足为D.
因为∠AOB＝60°，所以AB＝||＝3，∠BOD＝30°，所以在Rt△BOD中，OD＝OB·cos 30°＝.所以||＝|a＋b|＝×2＝3.
答案：3
14.如图，已知点D，E，F分别是△ABC三边AB，BC，CA的中点，求证：＋＋＝0.
证明：连接DE，EF，FD，如图，因为D，E，F分别是△ABC三边的中点，所以EF∥AD，DE∥AF，所以四边形ADEF为平行四边形，
由向量加法的平行四边形法则，得＋＝，①
同理在平行四边形BEFD中，＋＝，②
在平行四边形CFDE中，＋＝，③
将①②③相加，得＋＋＝＋＋＋＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝0.
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15．若O是正五边形ABCDE的中心，则＋＋＋＋＝________；若O是正n边形A1A2…An的中心，则1＋2＋…＋n＝________．
解析：令m＝＋＋＋＋，
若将m顺时针旋转72°，等价于将，，，，都顺时针旋转72°，如图：
向量，，，，在旋转后对应向量为，，，，，所以旋转后向量的和为＋＋＋＋＝m，即m顺时针旋转72°后所得向量仍是m，故m＝0.
设a＝1＋2＋…＋n，将a顺时针旋转，等价于将1，2，…，n都顺时针旋转，同理，旋转后向量的和为1＋2＋…＋n＝a，即a顺时针旋转后所得向量仍是a，故a＝0.
答案：0　0
16．某营救小组要乘船过河去执行营救任务，现已知河宽80 m，河水流动的速度为6 m/s，船的航行速度为10 m/s.
(1)当船头正对对面河岸时，用向量表示河水流动速度、船的航行速度及船的实际航行速度；
(2)求该小组到达河对岸最少需要多少时间？
解：(1)如图，设河水流动速度为，船的航行速度为，则船的实际航行速度为＝＋.
(2)易知，当船的航行速度方向与河岸垂直时，船到达对岸用时最少．此时用时＝8(s)，
故该小组到达河对岸最少需要8 s．