2．1　向量的加法（教师版）

§2　从位移的合成到向量的加减法
2．1　向量的加法
1.借助实例理解向量加法的概念，了解向量加法的几何意义．　2.能熟练地运用平行四边形法则和三角形法则作出已知向量的和向量．　3.通过实例理解向量加法的结合律和交换律，并能熟练运用它们进行向量计算．
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INCLUDEPICTURE"新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
如图所示，小王上午从家(点A)到达了公司(点B)，下午从公司(点B)到达了舅舅家(点C)．
思考1　分别用向量表示出小王上午的位移、下午的位移以及这一天的位移．
提示：；；.
思考2　这一天的位移与上、下午的位移有什么关系？
提示：＝＋.
定义 求两个向量________的运算，称为向量的加法
法则 平行四边形法则 前提 已知两个不共线的向量a，b
作法 在平面内任取一点A，作有向线段＝a，＝b，以有向线段和为邻边作 ABCD
结论 有向线段表示的向量即为向量a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝________
图形 INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/2-21.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/2-21.TIF" \* MERGEFORMAT
法则 三角形法则 前提 已知两个不共线的向量a，b
作法 在平面内任取一点A，作有向线段＝a，以有向线段的终点为起点，作有向线段＝b，连接A，C得到有向线段
结论 向量称为向量a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝________
图形 INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/2-20.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/2-20.TIF" \* MERGEFORMAT
[答案自填] 和　　
INCLUDEPICTURE"例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(对接教材例1)如图，按下列要求作答．
INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/23A.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/23A.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)以A为起点，作出a＋b；
(2)以B为起点，作出c＋d＋e.
【解】　(1)将a，b的起点同时平移到点A，利用平行四边形法则作出a＋b，如图．
INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/23B.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/23B.TIF" \* MERGEFORMAT
(2)先将共线向量c，d的起点同时平移到点B，计算出c＋d，再平移向量e与之首尾相接，利用三角形法则即可作出c＋d＋e，如图．
INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/23C.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/23C.TIF" \* MERGEFORMAT
eq \a\vs4\al(INCLUDEPICTURE"解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
(1)应用平行四边形法则求向量和的基本步骤
①平移两个不共线的向量使之共起点；
②以这两个已知向量为邻边作平行四边形；
③平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和．
(2)应用三角形法则求向量和的基本步骤
①平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合；
②以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的和．
[跟踪训练1] 如图，请在图中直接标出下列向量的和：
(1)＋；
(2)＋＋＋.
解：(1)＋＝，如图所示．
INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/25.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/25.TIF" \* MERGEFORMAT
(2)＋＋＋＝，如图所示．
INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/26.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/26.TIF" \* MERGEFORMAT
交换律 a＋b＝____________
结合律 (a＋b)＋c＝____________
[答案自填] b＋a　a＋(b＋c)
　根据图示填空，其中a＝，b＝，c＝，d＝.则
(1)a＋b＋c＝________；
(2)b＋d＋c＝________．
【解析】　(1)a＋b＋c＝＋＋＝.
(2)b＋d＋c＝＋＋＝＋＋＝.
【答案】　(1)　(2)
eq \a\vs4\al(INCLUDEPICTURE"解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
向量加法运算律的应用策略
(1)多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行，如(a＋b)＋(c＋d)＝(b＋d)＋(a＋c)；a＋b＋c＋d＋e＝[d＋(a＋c)]＋(b＋e)．
(2)应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相接”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序．
[跟踪训练2] (1)＋＋＋＋＝(　　)
A. B．0
C. D.
解析：选B.＋＋＋＋＝(＋＋)＋(＋)＝0＋0＝0.故选B.
(2)已知正方形ABCD的边长为1，则|＋＋＋|＝________．
解析：|＋＋＋|＝|(＋)＋(＋)|＝|＋|＝2||＝2.
答案：2
INCLUDEPICTURE"例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(对接教材例2)已知在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向．
【解】　作出图形，如图．设船速v船的方向与岸的方向成α角，由图可知v水＋v船＝v实际，结合已知条件可知，四边形ABCD为平行四边形，
在Rt△ACD中，
||＝||＝|v水|＝10 m/min，
||＝|v船|＝20 m/min，
所以cos α＝＝＝，又0°<α<90°，
所以α＝60°，从而船速的方向与水流方向成120°角．
故船行进的方向是与水流的方向成120°角的方向．
【变式探究】
1．(设问变式)若本例条件不变，求经过3 h，该船的实际航程是多少千米？
解：由本例解图可知||＝||＝×20＝10(m/min)＝(km/h)，则经过3 h，该船的实际航程是3×＝(km)．
2．(综合变式)若本例改为若船沿垂直于水流的方向航行，其他条件不变，求船实际行进的方向与河岸的夹角的正切值．
解：如图所示，||＝||＝|v船|＝20 m/min，
||＝|v水|＝10 m/min，
则tan ∠BAC＝2.所以船实际行进的方向与河岸的夹角的正切值为2.
eq \a\vs4\al(INCLUDEPICTURE"解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
应用向量加法解决实际问题的基本步骤
(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题．
(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将相关向量进行运算，解答向量问题．
(3)还原：根据向量的运算结果，结合共线向量、相等向量等概念回答原问题．
[跟踪训练3] 如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小．(绳子的重量忽略不计)
解：如图所示，设，分别表示A，B所受的力，10 N的重力用表示，则＋＝.
由题意可得∠ECG＝180°－150°＝30°，∠FCG＝180°－120°＝60°.
所以||＝||cos 30°＝10×＝5(N)，||＝||cos 60°＝10×＝5(N)．
所以A处所受的力为5 N，B处所受的力为5 N.
INCLUDEPICTURE"课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1．化简＋＋等于(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
解析：选C.根据平面向量加法的运算律，得＋＋＝(＋)＋＝＋＝.故选C.
2．(多选)(教材P87T3改编)如图，在平行四边形ABCD中，下列计算正确的是(　　)
INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/25KC13.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/25KC13.TIF" \* MERGEFORMAT
A.＋＋＝
B.＋＝
C.＋＋＝
D.＋＋＝0
解析：选BCD.＋＋＝，故A错误；＋＝＋＝，故B正确；＋＋＝＋＝，故C正确；＋＋＝＋＝＋＝0，故D正确．故选BCD.
3．(教材P88T4改编)若向量a表示向东走1 km，b表示向南走1 km，则向量a＋b表示________________________．
解析：由题意知向量a＋b表示方向为东南方向，大小为的向量，即a＋b表示向东南方向走 km.
答案：向东南方向走 km
4．如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|＋＋|＝________．
INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/25KC14.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/25KC14.TIF" \* MERGEFORMAT
解析：|＋＋|＝|＋＋|＝||＝2.
答案：2
eq \a\vs4\al(INCLUDEPICTURE"课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT )
1．已学习：向量加法的三角形法则、平行四边形法则、加法运算律、向量加法的实际应用．
2．须贯通：三角形法则和平行四边形法则都可用于求向量的和，体现了数形结合的思想方法．
3．应注意：(1)三角形法则需要向量首尾相接；
(2)平行四边形法则需要向量共起点．