2．2　课后达标 检测（教师版）

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1.在五边形ABCDE中(如图)，＋－＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B.＋－＝－＝＋＝.故选B.
2．在△ABC中，＝a，＝b，则＝(　　)
A．a＋b B．－a＋(－b)
C．a－b D．b－a
解析：选B.因为＝a，＝b，所以＝－＝－－＝－a－b＝－a＋(－b)，故选B.
3.如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则(　　)
A.＋＋＝0
B.－＋＝0
C.＋－＝0
D.－－＝0
解析：选A.因为D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，所以＝，＝，＝，所以＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝0，故A正确；经计算，B，C，D都不正确．故选A.
4．在边长为1的正三角形ABC中，|－|的值为(　　)
A．1 B．2 C. D.
解析：选D.如图，作菱形ABCD，∠ABC＝60°，
则|－|＝|－|＝||＝.故选D.
5．(多选)化简以下各式，结果一定为0的有(　　)
A.＋－
B.－＋－
C.－＋
D.＋＋－
解析：选BCD.＋－＝－＝＋＝2，故A错误；－＋－＝(＋)－(＋)＝－＝0，故B正确；－＋＝(＋)－＝－＝0，故C正确；＋＋－＝＋＋＝＋＝0，故D正确．故选BCD.
6．(多选)已知a，b为非零向量，则下列说法正确的是(　　)
A．若|a|＋|b|＝|a＋b|，则a与b方向相同
B．若|a＋b|＝|a－b|，则a与b相互垂直
C．若|a|＋|b|＝|a－b|，则a与b有相等的模
D．若||a|－|b||＝|a－b|，则a与b方向相同
解析：选ABD.若a，b为非零向量，则当且仅当a，b方向相同时有|a|＋|b|＝|a＋b|，||a|－|b||＝|a－b|，因此A，D正确；若|a＋b|＝|a－b|，则以a，b为邻边的平行四边形的两条对角线相等，故平行四边形为矩形，则a与b相互垂直，因此B正确；若|a|＋|b|＝|a－b|，则a与b方向相反，不能说明a与b有相等的模，因此C错误．故选ABD.
7．如图，在梯形ABCD中，AC与BD交于点O，则－＋－＋＝________．
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解析：－＋－＋＝＋＋＋＋＝0.
答案：0
8．若||＝5，||＝8，则||的取值范围是________．
解析：因为||＝|－|且|||－|||≤|－|≤||＋||，所以3≤|－|≤13，所以3≤||≤13.故||的取值范围是.
答案：
9．已知非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|，作＝a，＝a＋b，则∠AOB＝________．
解析：构造如图所示的平行四边形OABC，＝a，＝a＋b，则＝b，＝a－b，又|a|＝|b|＝|a－b|，则△AOC为正三角形，故∠COA＝ 60°，平行四边形OABC为菱形，故OB平分∠COA，则∠AOB＝30°.
答案：30°
10．如图，已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝f，试用a，b，c，d，f表示以下向量：
(1)；(2)；
(3)－；(4)＋；
(5)－.
解：(1)＝－＝c－a.
(2)＝＋＝－＝d－a.
(3)－＝＝－＝d－b.
(4)＋＝－＋－＝b－a＋f－c.
(5)－＝－－(－)＝－＝f－d.
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11．(多选)对于菱形ABCD，给出下列各式，其中结论正确的为(　　)
A.＝
B．||＝||
C．|－|＝|＋|
D．|＋|＝|－|
解析：选BD.菱形中向量与的方向是不同的，但它们的模是相等的，所以B正确，A错误；
因为|－|＝|＋|＝||，|＋|＝|＋|＝||，且菱形的对角线||与||不一定相等，所以C错误；又|－|＝|＋|＝||，所以D正确．故选BD.
12．(多选)下列结论正确的是(　　)
A．若线段AC＝AB＋BC，则向量＝＋
B．若向量＝＋，则线段AC＝AB＋BC
C．若向量与共线，则线段AC＝AB＋BC
D．若向量与反向共线，则|－|＝AB＋BC
解析：选AD.由AC＝AB＋BC得点B在线段AC上，则＝＋，A正确；在△ABC中，＝＋，但AC≠AB＋BC，B错误；，反向共线时，||＝|＋|≠||＋||，即AC≠AB＋BC，C错误；，反向共线时，|－|＝|＋(－)|＝AB＋BC，D正确．故选AD.
13．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且||＝4，|＋|＝|－|，则||＝________．
解析：以AB，AC为邻边作平行四边形ACDB(图略)，由向量加减法的几何意义可知，＝＋，＝－，因为|＋|＝|－|，所以||＝||，又||＝4，M是线段BC的中点，所以||＝||＝||＝2.
答案：2
14.如图，在 ABCD中，＝a，＝b.
(1)当a，b满足什么条件时，AC与BD互相垂直？
(2)|a＋b|与|a－b|有可能相等吗？为什么？
(3)a＋b与a－b有可能为相等向量吗？为什么？
解：(1)若AC⊥BD，则△ABD为等腰三角形，即|a|＝|b|.因此当|a|＝|b|时，AC⊥BD.
(2)有可能．
由题知＝＋＝a＋b，＝－＝a－b.当|a＋b|与|a－b|相等时，||＝||，此时 ABCD为矩形，则a⊥b.故当a⊥b时，|a＋b|＝|a－b|.
(3)不可能．
a＋b与a－b不可能为相等向量，因为 ABCD的两条对角线不可能平行，它们不共线，所以不可能为相等向量．
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15．如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，＝c，则|a＋b＋c|＝________，|a－b＋c|＝________．
解析：由已知得a＋b＝＋＝，因为＝c，所以延长AC到E，使||＝||，如图所示，则a＋b＋c＝，且||＝2，所以|a＋b＋c|＝2.
作＝，连接CF，则＋＝，而＝－＝－＝a－b，
所以|a－b＋c|＝|＋|＝||且||＝2，所以|a－b＋c|＝2.
答案：2　2
16．三个大小相同的力a，b，c作用在同一物体P上，使物体P沿a的方向做匀速运动，设＝a，＝b，＝c，判断△ABC的形状．
解：由题意得|a|＝|b|＝|c|.
由于合力作用后物体P做匀速运动，故合力为0，
即a＋b＋c＝0，所以a＋c＝－b.
如图，作平行四边形APCD，则四边形APCD为菱形．
因为＝a＋c＝－b，即||＝|b|，所以||＝||＝||，所以∠APC＝120°.
同理∠APB＝∠BPC＝120°.
|a|＝|b|＝|c|，所以△APB≌△CPB，所以AB＝BC，同理AB＝AC，所以AB＝BC＝AC，所以△ABC为等边三角形．