3．1　课后达标 检测（教师版）

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1．若a＝2b＋c，则化简3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝(　　)
A．－a　　　　　　　　 B．－b
C．－c D．以上都不对
解析：选C.因为a＝2b＋c，所以3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b) ＝3a＋6b－6b－2c－2a－2b＝a－2b－2c＝2b＋c－2b－2c＝－c，故选C.
2．已知平面内有一点P及一个△ABC，若＋＋＝，则点P在(　　)
A．△ABC外部 B．线段AB上
C．线段BC上 D．线段AC上
解析：选D.因为＋＋＝，所以＋＋－＝0，所以＋＋＋＝＋＋＝0，所以2＝，所以点P在线段AC上．故选D.
3．在△ABC中，点P是AB上一点，且＝＋，又＝t，则t的值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A.因为＝－，＝－，所以－＝t(－)，所以＝(1－t)＋t＝＋，所以t＝.故选A.
4．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若－4＋3＝0，则＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B.由－4＋3＝0，得－＝3(－)，即＝3，所以＝＋＝，所以||＝||，即＝，故选B.
5．(多选)已知向量a＝2e，b＝－6e，e为非零向量，则下列说法正确的是(　　)
A．a∥b
B．向量a，b方向相反
C．|a|＝3|b|
D．b＝－3a
解析：选ABD.由数乘运算的定义可知，a与b方向相反且|b|＝3|a|，A，B正确，C错误．因为a＝2e，b＝－6e，所以b＝－3a，故D正确．故选ABD.
6．(多选)若点D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，则下列结论正确的是(　　)
A.＝a－b
B.＝－a＋b
C.＝－a－b
D.＝a＋b
解析：选BC.如图所示，＝＋＝－b－a，A错误；
＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝－a＋b，B正确；＝＋＝－－＝－a－b，C正确；
＝＋＝－－＝－a－b，D错误．故选BC.
7．如图，在△ABC中，D，E分别在AB，AC上，且＝＝，则＝________.
解析：因为＝＝，∠A＝∠A，所以△ADE∽△ABC.所以＝.又与同向，所以＝.
答案：
8．在 ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝_____________.(用a，b表示)
解析：如图，＝＋＋＝－b－a＋＝－b－a＋(a＋b)＝b－a.
答案：b－a
9．设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，则－＋(2b－a)＝________．(用i，j表示)
解析：原式＝a－b－a＋b＋2b－a＝a＋b
＝－a＋b＝－(3i＋2j)＋(2i－j)＝i＋j＝－i－5j.
答案：－i－5j
10．已知在任意四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．求证：＝(＋)．
证明：如图，因为E为AD的中点，
所以＝.
因为F是BC的中点，
所以＝(＋)．
又因为＝＋，
所以＝(＋＋)＝(＋)＋，所以＝－＝(＋)＋－＝(＋)．
即＝(＋)．
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11．(多选)已知点P为△ABC所在平面内一点，且＋2＋3＝0，若E为AC的中点，F为BC的中点，则下列结论正确的是(　　)
A．向量与可能平行
B．点P在线段EF的延长线上
C．点P在线段EF上
D．PE∶PF＝2∶1
解析：选CD.因为点P为△ABC所在平面内一点，E为AC的中点，F为BC的中点，
则＋＝2，＋＝2，而＋2＋3＝0，即(＋)＋2(＋)＝0，于是得2＋4＝0，即＝2，所以点P在线段EF上，且PE∶PF＝2∶1.又点P在△ABC的中位线EF上，有EF∥AB，即点P，A，C不共线，则向量与不可能平行．故A不正确，B不正确，C正确，D正确．故选CD.
12．已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
解析：选B.因为－＝，所以＝λ.令＋＝，则是以A为起点，以向量，对应线段为邻边的菱形的对角线对应的向量，即在∠BAC的平分线上．
因为＝λ，所以，共线．故点P的轨迹一定通过△ABC的内心．故选B.
13．在四边形ABCD中，若＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是________．
解析：如图所示，因为＝＋＋＝(a＋2b)＋(－4a－b)＋(－5a－3b)＝－8a－2b＝2(－4a－b)，
所以＝2.所以与共线，且||＝2||.
又因为这两个向量所在的直线不重合，所以AD∥BC，且AD＝2BC.
所以四边形ABCD是以AD，BC为两条底边的梯形．
答案：梯形
14．已知点D为等边三角形ABC所在平面内一点，＝，且线段BC上存在点E，使得＝＋.试确定点E的位置，并说明理由．
解：因为＝，所以＝，
所以＝×＋＝＋，从而＝－＝－＝(－)＝，
故点E为靠近点B的一个三等分点．
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15．已知点P是△ABC所在平面内一点，若＝＋，则△ABP与△ACP的面积之比是(　　)
A．3∶1 B．2∶3
C．1∶3 D．1∶2
解析：选B.由＝＋＝(＋)＋(＋)＝＋＋，可得＝－，即点P在线段BC上，且||＝||，则S△ABP∶S△ACP＝||∶||＝2∶3.故选B.
16.如图，O为△ABC的外心，H为△ABC内一点，且＝＋＋.
(1)求证：H是△ABC的垂心；(提示：＋＝－＝)
(2)若H为△ABC所在平面内任一点，其余条件不变，(1)中的结论还成立吗？
解：(1)证明：因为O为△ABC的外心，H为△ABC内一点，且＝＋＋，
所以＋＝－＝.
取AB的中点E(图略)，则＋＝2，
又||＝||，所以OE⊥AB.
又＝2，所以CH⊥AB.
同理＋＝－＝，可得BH⊥AC，＋＝－＝，可得AH⊥BC，
所以H是三条高线的交点，即H是△ABC的垂心．
(2)成立．
因为向量的运算法则不会因为H在△ABC上或外侧而发生改变，
所以只要满足题干中的条件，仍然能按照(1)中的推导证明H是△ABC的垂心．