3．2　课后达标 检测（教师版）

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1．若a＝2e1＋e2，b＝－2e1＋3e2，则以下向量中与2a＋b共线的是(　　)
A．－5e1＋2e2　　　　　　 B．4e1＋10e2
C．10e1＋4e2 D．e1＋2e2
解析：选B.若a＝2e1＋e2，b＝－2e1＋3e2，则2a＋b＝2(2e1＋e2)＋(－2e1＋3e2)＝2e1＋5e2＝(4e1＋10e2)．所以向量2a＋b与向量4e1＋10e2共线．故选B.
2．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋2b，＝a＋(λ－1)b，且A，B，C三点共线，则实数λ的值为(　　)
A．－1 B．2
C．－2或1 D．－1或2
解析：选D.由于A，B，C三点共线，故可设＝k(k∈R)，因为＝λa＋2b，＝a＋(λ－1)b，所以λa＋2b＝k[a＋(λ－1)b]，所以λ＝k，2＝k(λ－1)，解得λ＝－1或λ＝2.故选D.
3．设P是△ABC所在平面内的一点，＋＝2，则(　　)
A．P，A，C三点共线
B．P，A，B三点共线
C．P，B，C三点共线
D．以上均不正确
解析：选A.在△ABC中，取AC的中点D，则＋＝2，所以2＝2，所以D和P重合，所以P，A，C三点共线．故选A.
4．已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为同一平面上一点，且2＝2＋，则(　　)
A．点P在线段AB上
B．点P在线段AB的反向延长线上
C．点P在线段AB的延长线上
D．点P不在直线AB上
解析：选B.因为2＝2＋，
所以2(－)＝，即2＝，
所以∥，所以A，B，P三点共线，且P在线段AB的反向延长线上．故选B.
5．(多选)已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定可以使a，b共线的是(　　)
A．2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e
B．存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0
C．xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)
D．已知梯形ABCD，其中＝a，＝b
解析：选AB.由2a－3b＝－2(a＋2b)得，b＝－4a，故A一定可以；λa－μb＝0，λa＝μb，故B一定可以；x＝y＝0，有xa＋yb＝0，但a与b不一定共线，故C不一定可以；梯形ABCD中，没有说明哪组对边平行，故D不一定可以．故选AB.
6．(多选)已知A，B，C是三个不同的点，＝a －b，＝2a－3b，＝3a－5b，则下列结论正确的是(　　)
A.＝2
B.＝
C.＝3
D．A，B，C三点共线
解析：选ABD.由题可得＝－＝a－2b，＝－＝2a－4b，＝－＝a－2b，所以＝2，故A正确；＝，故B正确；＝2，故C错误；
由＝2可得∥，A为公共点，故A，B，C三点共线，故D正确．故选ABD.
7．设向量a，b不平行，若向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________．
解析：因为向量a，b不平行，所以a＋2b≠0.又因为向量λa＋b与a＋2b平行，则存在唯一的实数μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，则解得λ＝μ＝.
答案：
8.如图，在△ABC中，点N为线段AC上靠近A点的三等分点，若＝＋，则m＝________．
解析：＝＋＝＋(－)＝m＋，因为点N为线段AC上靠近A点的三等分点，所以＝m＋＝m＋，因为B，P，N三点共线，所以＋m＝1，解得m＝.
答案：
9．如图，在△ABC中，延长CB到D，使BD＝BC，当点E在线段AD上移动时，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则t＝λ－μ的最大值是________．
解析：设＝k，0≤k≤1，则＝k(＋2)＝k[＋2(－)]＝2k－k，因为＝λ＋μ，所以所以t＝λ－μ＝3k. 又0≤k≤1，所以当k＝1时，t取得最大值3. 故t＝λ－μ的最大值为3.
答案：3
10.如图所示，在 ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝BD.求证：M，N，C三点共线．
证明：设＝a，＝b，
所以＝－＝－＝a－b.
又点N在BD上，且BN＝BD，
所以＝＝(＋)＝a＋b，所以＝－＝a＋b－b＝a－b，所以＝，
又与有公共点C，
所以M，N，C三点共线．
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11．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)，那么A，B，C三点共线的充要条件为(　　)
A．λ＋μ＝2 B．λμ＝1
C．λμ＝－1 D．λ－μ＝1
解析：选B.因为A，B，C三点共线，所以向量∥.令＝m(m∈R)，则λa＋b＝m(a＋μb)，即(λ－m)a＝(mμ－1)b.
由a，b是不共线的向量，得解得所以λμ＝1.故选B.
12.正五角星是一个与黄金分割有着密切联系的优美几何图形，在如图所示的正五角星中，A，B，C，D，E是正五角星的五个顶点，且＝，若＝a，则＋＝_____________________.(用a表示)
解析：由已知，结合正五角星的图形，有
＋＝＋＝＋＝，
因为与方向相同，＝＝＝＝，
所以＋＝
＝＝a.
答案：a
13．设O为△ABC内任一点，且满足＋2＋3＝0，则△ABC与△AOC面积的比值为________．
解析：如图，设D，E分别为边BC，AC的中点，＋＝2，＋＝2.
因为＋2＋3＝(＋)＋2(＋)＝2(＋2)＝0，
即2＋＝0，所以与共线．
又OD与OE有公共点O，
所以D，E，O三点共线，且2||＝||，
所以S△AOC＝2S△COE＝2×S△CDE＝2××S△ABC＝S△ABC，所以＝3.
答案：3
14．设a，b，c为非零向量，其中任意两个向量不共线，已知a＋b与c共线，且b＋c与a共线，则b与a＋c是否共线？请证明你的结论．
解：b与a＋c共线．证明如下：
因为a＋b与c共线，
所以存在唯一一个实数λ，使得a＋b＝λc.①
因为b＋c与a共线，
所以存在唯一一个实数μ，使得b＋c＝μa.②
由①－②得，a－c＝λc－μa，
所以(1＋μ)a＝(1＋λ)c.
又因为a与c不共线，
所以1＋μ＝0，1＋λ＝0，所以μ＝－1，λ＝－1，
所以a＋b＝－c，即a＋b＋c＝0.
所以a＋c＝－b，故b与a＋c共线．
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15．过△ABC的重心G任作一直线分别交AB，AC于点D，E，若＝x，＝y，且xy≠0，则＋的值是________．
解析：如图，设＝a，＝b，延长AG交BC于点M，则＝＝＝(a＋b)．
所以＝－＝a－b，＝－＝xa－yb.
因为与共线，所以＝λ(λ∈R)．
所以a－b＝xλa－yλb，
所以消去λ得＝，
即＋＝3.
答案：3
16.如图，在△ABC中，点P满足BP＝2PC，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N.若＝λ，＝μ(λ>0，μ>0)，求＋的最小值．
解：连接AP，如图．
因为△ABC中，＝＋，＝＋，点P满足＝2，
所以－＝2(－)，
所以＝＋.
又因为＝λ，＝μ(λ>0，μ>0)，
所以＝＋.
又因为M，P，N三点共线，
所以＋＝1，λ>0，μ>0，
所以＋＝＝＋＋1≥2＋1＝＋1，
当且仅当＝，即时取等号，则＋的最小值为＋1.