4．1　课后达标 检测（教师版）

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1.如图所示，在矩形ABCD中，＝5e1，＝3e2，则＝(　　)
A.(5e1＋3e2) B.(5e1－3e2)
C.(3e2－5e1) D.(5e2－3e1)
解析：选A.＝＝(－)＝(＋)＝(5e1＋3e2)．故选A.
2．设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则(　　)
A.＝3－2
B.＝3＋2
C.＝－2－3
D.＝－2＋3
解析：选D.依题意作图，则＝＋＝＋2＝＋2(＋)＝2＋3＝－2＋3，故选D.
3.如图，已知＝a，＝b，任意点M关于点A的对称点为S，点M关于点B的对称点为N，则向量＝(　　)
A.(a＋b) B．2(a＋b)
C.(a－b) D．2(a－b)
解析：选D.因为＝a，＝b，任意点M关于点A的对称点为S，点M关于点B的对称点为N，连接AB(图略)，则AB是△MNS的中位线，所以＝2＝2(－)＝2(a－b)．故选D.
4.已知AB是圆O的直径，C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，设＝a，＝b，则＝(　　)
A.a＋b B.a－b
C．a＋b D．a－b
解析：选A.连接CD(图略)．因为AB是圆O的直径，C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，所以CD∥AB且CD＝AB，所以＝＝a，所以＝＋＝b＋a.故选A.
5.(多选)如图，在 OACB中，E是AC的中点，F是BC上的一点，且＝4，若＝m＋n，其中m，n∈R，则(　　)
A．m＋n＝ B．m－n＝
C．2m＝3n D．3m＝2n
解析：选ABC.在 OACB中，＝，＝，＝＋，因为E是AC的中点，所以＝＝，所以＝＋＝＋，因为＝4，所以＝＝，所以＝＋＝＋，因为＝m＋n，所以＝(m＋n)＋(m＋n)，所以解得所以m＋n＝，m－n＝，2m＝3n.故选ABC.
6.(多选)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2CD，E为BC边上一点，且＝3，F为AE的中点，则(　　)
A.＝－＋
B.＝＋
C.＝－＋
D.＝＋
解析：选ABC.因为AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2CD，所以＝＋＋＝－＋＋＝－＋，A正确；因为＝3，所以＝＝－＋，所以＝＋＝＋＝＋，又F为AE的中点，所以＝＝＋，B正确；＝＋＝－＋＋＝－＋，C正确；所以＝＋＝－＝－＋－＝－－，D错误．故选ABC.
7．已知{a，b}是平面向量的一组基，实数x，y满足3a＋4b＝(x－1)a＋(2－y)b，则x＋y＝________．
解析：因为{a，b}是平面向量的一组基，且3a＋4b＝(x－1)a＋(2－y)b，所以
解得所以x＋y＝4＋(－2)＝2.
答案：2
8．已知向量a在基{e1，e2}下可以表示为a＝2e1＋3e2，若a在基{e1＋e2，e1－e2}下可以表示为a＝λ(e1＋e2)＋μ(e1－e2)，则λ＝________，μ＝________．
解析：由题意可知a＝(λ＋μ)e1＋(λ－μ)e2，则解得
答案：　－
9．如图，已知E，F分别是矩形ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于点G，若＝a，＝b，用a，b表示＝____________．
解析：连接BD(图略)，易知G是EF的中点，EF綊BD，＝＋＋＝＋－＝a＋b－＝a＋b－×＝a＋b－(a－b)＝a＋b.
答案：a＋b
10．在梯形ABCD中，AB∥CD，M，N分别是边DA，BC的中点，且＝k(k≠1)．设＝e1，＝e2，试写出向量，，在基{e1，e2}下的分解式．
解：如图，因为＝e2，且＝k，DC∥AB，
所以＝k＝ke2.
又因为＋＋＋＝0，
所以＝－－－＝－＋＋＝－e2＋ke2＋e1＝e1＋(k－1)e2.
因为＋＋＋＝0，
所以＝－－－＝＋－＝＋e2－
＝[e1＋(k－1)e2]＋e2－e1＝e2.
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11.我国东汉数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如图所示，在“赵爽弦图”中，若＝a，＝b，＝，则＝(　　)
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D. a＋b
解析：选A.因为＝，所以＝－＝，
因为Rt△ABF≌Rt△DAE，所以BF＝AE，AF＝DE，DE∥BF，则＝－，
所以＝＋＝－＝－(－)＝＋－＝＋－，所以＝＋，所以＝＋，所以＝＝＋＝a＋b.故选A.
12．(多选)点A，B，C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点P，若＝λ，＝μ＋3μ，则(　　)
A．当P为线段OC的中点时，μ＝
B．当P为线段OC的中点时，μ＝
C．无论μ取何值，恒有λ＝
D．存在μ∈R，λ＝
解析：选AC.＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ.
因为与共线，所以设＝k(k∈R)，即(1－λ)＋λ＝kμ＋3kμ，
整理得(1－λ－kμ)＝(3kμ－λ)，又与不共线，所以即＝＝k，解得λ＝，故C正确，D错误；
当P为OC的中点时，＝，即k＝，代入得解得故A正确，B错误．故选AC.
13．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足＝＋.则△ABM与△ABC的面积之比为________．
解析：如图，由＝＋可知M，B，C三点共线，令＝λ，则＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ，可得λ＝，所以＝，即面积之比为1∶4.
答案：1∶4
14.如图所示，在 ABCD中，＝a，＝b，BM＝BC，AN＝AB.
(1)试用向量a，b来表示，；
(2)若AM交DN于点O，求AO∶OM.
解：(1)因为AN＝AB，
所以＝＝a，
所以＝－＝a－b.
因为BM＝BC，所以＝＝＝b，所以＝＋＝a＋b.
(2)因为A，O，M三点共线，所以∥，
存在实数λ使＝λ，则＝－＝λ－＝λ－b＝λa＋b.
因为D，O，N三点共线，
所以∥，存在实数μ使＝μ，
则λa＋b＝μ＝μa－μb.
由于向量a，b不共线，则
解得所以＝，＝，
所以AO∶OM＝3∶11.
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15.如图，在△ABC中，＝2，过点M的直线交射线AB于点P，交AC于点Q，若＝m，＝n，则m＋2n的最小值为(　　)
A．3 B. C．1＋ D.
解析：选B.连接AM(图略)，在△ABC中，＝2，
即－＝2(－)，
解得＝＋，
由题知＝，＝，m，n>0，
因此＝＋，
又因为点P，M，Q共线，
所以＋＝1，
所以m＋2n＝(m＋2n)(＋)＝＋＋≥＋2＝，当且仅当＝，即m＝2n＝时等号成立．
故m＋2n的最小值为.
16.如图所示，在△ABO中，＝，＝，AD与BC交于点M.设＝a，＝b.
(1)试用向量a，b表示；
(2)在线段AC上取点E，在线段BD上取点F，使EF过点M.设＝λ，＝μ，其中λ，μ∈R.
当EF与AD重合时，λ＝1，μ＝，此时＋＝5；当EF与BC重合时，λ＝，μ＝1，此时＋＝5；能否由此得出一般结论：不论E，F在线段AC，BD上如何变动，等式＋＝5恒成立？请说明理由．
解：(1)设＝ma＋nb(m∈R，n∈R)．
由A，M，D三点共线，可知存在α(α∈R，且α≠－1)，使得＝α，则－＝α(－)．因为＝，
所以＝a＋b.
由平面向量基本定理得即m＋2n＝1.①
由B，M，C三点共线，可知存在β(β∈R，且β≠－1)，使得＝β，则－＝β(－)．又＝，所以＝a＋b.
由平面向量基本定理得即3m＋n＝1.②
由①②得m＝，n＝，故＝a＋b.
(2)能得出结论．理由：由于E，M，F三点共线，则存在实数γ(γ∈R，且γ≠－1)使得＝γ，则－＝γ(－)，于是＝.
又＝λ，＝μ，
所以＝＝a＋b.
由平面向量基本定理得消去γ，得＋＝5.