4．1　平面向量基本定理（教师版）

§4　平面向量基本定理及坐标表示
4．1　平面向量基本定理
1.通过实例理解平面向量基本定理的内容，了解基的含义．　2.会用一组基来表示其他向量．　3.能应用平面向量基本定理解决一些与平面几何有关的问题．
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向量共线定理的实质是，所有共线的向量中，只要指定一个非零向量，则其他向量都可以用这个向量表示出来．
思考　向量共线定理是否可以推广到所有共面的向量呢？
提示：可以．所有共面的向量中，只要指定两个不共线向量，则其他向量都可以用这两个向量表示出来．
1．平面向量基本定理：如果e1和e2是同一平面内两个____________的向量，那么对该平面内任意一个向量a，存在唯一的一对实数λ1，λ2，使a＝____________．
2．基：我们把____________的向量e1和e2叫作表示这一平面向量的一组基，记为{e1，e2}．
3．平面向量正交分解的定义
若基中的两个向量互相垂直，则称这组基为__________．在__________下向量的线性表示称为正交分解．若基中的两个向量是________的单位向量，则称这组基为标准正交基．
[答案自填] 不共线　λ1e1＋λ2e2　不共线　正交基　正交基　互相垂直
【即时练】
1．(多选)如果e1，e2是平面内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是(　　)
A．λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面内的所有向量
B．对于平面内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个
C．若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)
D．若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0
解析：选BC.由平面向量基本定理可知，A，D是正确的．对于B，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基确定，那么任意一个向量在此基下的实数对是唯一的．对于C，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个．
2．(多选)已知{e1，e2}是表示平面内所有向量的一组基，则下列四个选项中，能作为一组基的是(　　)
A．e1＋e2，e1－e2 B．3e1－2e2，4e2－6e1
C．e1＋2e2，e2＋2e1 D．e2，e1＋e2
解析：选ACD.e1，e2不共线，根据向量的加法和减法运算法则，可得e1＋e2，e1－e2不共线，e2，e1＋e2不共线，e1＋e2，e1－e2和e2，e1＋e2均可作为一组基，选项A，D正确；对于B，4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，3e1－2e2，4e2－6e1共线，所以3e1－2e2，4e2－6e1不能作为一组基，选项B错误；对于C，若e1＋2e2，e2＋2e1共线，则存在实数λ，使得e1＋2e2＝λ(e2＋2e1)，即(1－2λ)e1＋(2－λ)e2＝0，又e1，e2不共线，所以此方程组无解，即λ不存在，所以e1＋2e2，e2＋2e1不共线，e1＋2e2，e2＋2e1可作为一组基，选项C正确．故选ACD.
3．(多选)设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD的交点，其中可表示这个平行四边形所在平面内所有向量的一组基的是(　　)
A．{，} B．{，}
C．{，} D．{，}
解析：选AC.平面内任意两个不共线的向量都可以作为平面向量的一组基，如图，对于A，与不共线，可以作为一组基；对于B，与为共线向量，不可以作为一组基；对于C，与不共线，可以作为一组基；对于D，与是共线向量，不可以作为一组基．
4．已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使{a，b}能作为平面内的一组基，则实数λ的取值范围为________．
解析：若{a，b}能作为平面内的一组基，则a与b不共线，则a≠kb(k∈R)，因为a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，所以λ≠4.所以实数λ的取值范围为(－∞，4)∪(4，＋∞)．
答案：(－∞，4)∪(4，＋∞)
eq \a\vs4\al(INCLUDEPICTURE"解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
对基的理解
(1)两个向量能否作为一组基，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基，反之，则可作基；
(2)一个平面的基一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基唯一线性表示出来．设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则x1＝x2且y1＝y2.
INCLUDEPICTURE"例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(对接教材例1)如图，在 ABCD中，设＝a，＝b，试用基{a，b}表示向量，.
【解】　方法一：设AC，BD相交于点O(图略)，
则有＝＝＝a，
＝＝＝b.
所以＝＋＝－＝a－b，
＝＋＝a＋b.
方法二：设＝x，＝y，
则＝＝y，
又
所以
解得
即＝a－b，＝a＋b.
eq \a\vs4\al(INCLUDEPICTURE"解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
用基表示向量的方法
(1)平面内任何一个向量都可以用一组基进行表示，转化时一定要看清转化的目标，要充分利用向量加法、减法的平行四边形法则和三角形法则，同时结合实数的定义，牢记转化方向，把未知向量逐步往基的方向进行组合或分解．
(2)具体表示方法有两种：
①利用向量的线性运算及法则对所求向量不断转化，直至能用基表示为止；
②基的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程或方程组求出要表示的向量．
[跟踪训练1] (1)设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则(　　)
A.＝－＋
B.＝－
C.＝＋
D.＝－
解析：选A.由题意得，＝＋＝＋＝＋－＝－＋.故选A.
(2)在平行四边形ABCD中，M，N分别是DC，BC的中点，已知＝c，＝d，则＝________，＝________．(用c，d表示)
解析：如图，设＝a，＝b.
INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/25KC43.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/25KC43.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../25KC43.TIF" \* MERGEFORMAT
因为M，N分别是DC，BC的中点，
所以＝b，＝a.
因为在△ADM和△ABN中，
即
解得
所以＝d－c，＝c－d.
答案：d－c　c－d
INCLUDEPICTURE"例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值．
【解】　设＝e1，＝e2，则＝＋＝－e1－3e2，＝＋＝2e1＋e2.
因为A，P，M和B，P，N分别共线，
所以存在实数λ，μ使得＝λ＝－λe1－3λe2，＝μ＝2μe1＋μe2.
故＝＋＝－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.
而＝＋＝2e1＋3e2，
由平面向量基本定理，得解得
所以＝，＝，
所以AP∶PM＝4∶1，BP∶PN＝3∶2.
【变式探究】
(条件变式)若本例中的点N为AC的中点，其他条件不变，求AP∶PM与BP∶PN.
解：如图，设＝e1，＝e2，则＝＋＝－2e2－e1，＝＋＝2e1＋e2，因为A，P，M和B，P，N分别共线，所以存在实数λ，μ使得＝λ＝－λe1－2λe2，＝μ＝2μe1＋μe2.故＝＋＝－＝(λ＋2μ)e1＋(2λ＋μ)e2.而＝＋＝2e1＋2e2，由平面向量基本定理，得解得所以＝，＝，所以AP∶PM＝2∶1，BP∶PN＝2∶1.
eq \a\vs4\al(INCLUDEPICTURE"解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
若直接利用基表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即可．
[跟踪训练2] (1)在平行四边形ABCD中，M，N分别为BC，CD边上的点，MC＝2BM，NC＝3DN，设＝a，＝b，＝λa＋μb，则λ＋μ＝________．
解析：如图，选作为基，则
可得
又＝＋，所以＝a－b＋b－a＝a＋b，
又＝λa＋μb，所以λ＝，μ＝，所以λ＋μ＝.
答案：
(2)如图，在△ABC中，点D是AC的中点，点E是BD的中点，设＝a，＝c.
①用a，c表示向量；
②若点F在AC上，且＝a＋c，求AF∶CF.
解：①因为＝－＝c－a，
所以＝＝(c－a)，
所以＝(＋)＝＋＝－a＋(c－a)＝c－a.
②设＝λ(λ∈R)，
所以＝＋＝＋λ＝a＋λ(c－a)＝(1－λ)a＋λc.
又＝a＋c，所以λ＝，所以＝，
所以AF∶CF＝4∶1.
INCLUDEPICTURE"课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1．下列关于基的说法正确的是(　　)
①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基；
②基中的向量可以是零向量；
③平面内的基一旦确定，该平面内的向量关于基的线性分解形式也是唯一确定的．
A．① B．②
C．①③ D．②③
解析：选C.零向量与任意向量共线，故零向量不能作为基中的向量，故②错误，①③正确．故选C.
2．(教材P101T1改编)如图，用向量e1，e2表示向量a－b为(　　)
INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/63.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/63.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../63.TIF" \* MERGEFORMAT
A．－2e1－4e2 B．－4e1－2e2
C．e2－3e1 D．－e2＋3e1
解析：选C.如图所示，a－b＝＝－＝e2－3e1.故选C.
INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/64.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/64.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../64.TIF" \* MERGEFORMAT
3.(教材P101T2改编)如图，在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，M是DC的中点，在基{a，b}下向量的分解式是____________．
解析：由题意可得＝＋＝＋＝a＋b.
答案：a＋b
4．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2＝________．
解析：如图，＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋，又因为与不共线，所以由平面向量基本定理得λ1＝－，λ2＝，所以λ1＋λ2＝－＋＝.
答案：
eq \a\vs4\al(INCLUDEPICTURE"课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT )
1．已学面向量基本定理、用基表示向量、平面向量基本定理的应用．
2．须贯通：灵活应用基表示向量以及平面向量基本定理的应用．
3．应注意：(1)忽视基中的向量必须是不共线的两个向量；
(2)无论是在三角形还是四边形中解决问题，通常以两邻边为基．