4．2　课后达标 检测（教师版）

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1．已知向量a＝(x，1)，b＝(1，2)，且a∥b，则x的值是(　　)
A. B．0 C．1 D．2
解析：选A.因为a∥b，所以2x－1＝0，解得x＝.故选A.
2．已知平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝(　　)
A．(－2，－4) B．(－3，－6)
C．(－4，－8) D．(－5，－10)
解析：选C.由a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，得1×m＝2×(－2)，解得m＝－4，所以b＝(－2，－4)，所以2a＋3b＝2(1，2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．故选C.
3．已知A，B，C三点在一条直线上，且A(3，－6)，B(－5，2)，若C点的横坐标为6，则C点的纵坐标为(　　)
A．－13 B．9 C．－9 D．13
解析：选C.设C点坐标(6，y)，则＝(－8，8)，＝(3，y＋6)．因为A，B，C三点共线，所以＝，解得y＝－9.故选C.
4．如果将＝绕原点O逆时针方向旋转120°得到，则的坐标是(　　)
A. B.
C．(－1，) D.
解析：选D.因为＝，所以∠xOA＝30°，将绕原点O逆时针方向旋转120°得到，所以∠xOB＝150°，所以A，B两点关于y轴对称，由此可知B点坐标为，故的坐标是.故选D.
5．(多选)已知O为坐标原点，若点M的坐标为(1，2)，向量＝(1，2)，则下列说法错误的是(　　)
A．点M与点B重合
B．点M在直线AB上
C.＝
D．O，A，B，M四点构成平行四边形
解析：选ABD.由于点A，B的位置不确定，可以进行移动，故A，B错误．因为O为坐标原点，点M的坐标为(1，2)，所以＝(1，2)，又向量＝(1，2)，所以＝，故C正确．由于＝，所以O，A，B，M可能共线，也可能构成平行四边形，故D错误．
6．(多选)已知λ，μ∈R，＝(λ，1)，＝(－1，1)，＝(1，μ)，那么(　　)
A.＋＝(λ－1，1－μ)
B．若∥，则λ＝2，μ＝
C．若A是BD的中点，则B，C两点重合
D．若点B，C，D共线，则μ＝1
解析：选AC.对于A，＋＝－＋－＝－＝(λ，1)－(1，μ)＝(λ－1，1－μ)，故A正确；
对于B，若∥，则λ·μ＝1，故也可取λ＝3，μ＝，故B错误；
对于C，若A是BD的中点，则＝－，即(λ，1)＝(－1，－μ) λ＝μ＝－1，
所以＝＝(－1，1)，所以B，C两点重合，故C正确；
对于D，由于B，C，D三点共线，所以∥，
＝－＝(－1，1)－(λ，1)＝(－1－λ，0)，
＝－＝(1，μ)－(λ，1)＝(1－λ，μ－1)，
则(－1－λ)×(μ－1)＝0×(1－λ) λ＝－1或μ＝1，故D错误．故选AC.
7．已知a＝(2，4)，b＝(－1，1)，则2a－3b＝________．
解析：2a－3b＝2(2，4)－3(－1，1)＝(4＋3，8－3)＝(7，5)．
答案：(7，5)
8．已知向量a＝(2，3)，b＝(1，m)，且a＋2b与a－b平行，则m＝____________．
解析：因为a＝(2，3)，b＝(1，m)，所以a＋2b＝(4，3＋2m)，a－b＝(1，3－m)，
因为a＋2b与a－b平行，所以4×(3－m)＝2m＋3，解得m＝.
答案：
9.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则的值为________．
解析：以向量a和b的交点为原点，正方形网格的边长为一个单位长度，建立平面直角坐标系(图略)，则a＝(－1，1)，b＝(6，2)，c＝(－1，－3)，根据c＝λa＋μb得(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，有解得故＝4.
答案：4
10．已知向量＝(4，3)，＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．
(1)求线段BD的中点M的坐标；
(2)若点P(2，y)满足＝λ(λ∈R)，求实数λ与y的值．
解：(1)设B(x1，y1)，
因为＝(4，3)，A(－1，－2)，
所以(x1＋1，y1＋2)＝(4，3)，
所以解得
所以B(3，1)．
同理可得D(－4，－3)，
设BD的中点M(x2，y2)，
则x2＝＝－，y2＝＝－1，
所以M.
(2)因为＝(3，1)－(2，y)＝(1，1－y)，
＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)，
又＝λ(λ∈R)，
所以(1，1－y)＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)，
所以解得
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11．已知点A(1，1)，B(2，4)，将向量向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得向量的坐标是(　　)
A．(2，2) B．(3，3)
C．(1，3) D．(3，4)
解析：选C.因为点A(1，1)，B(2，4)，所以＝(1，3)，将向量向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度后，向量的大小和方向没有变化，所以＝＝(1，3)．故选C.
12．若{α，β}是一组基，向量γ＝x α＋y β(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基{α，β}下的坐标．现已知向量a在基{p，q}＝{(1，－1)，(2，1)}下的坐标为(－2，2)，则a在另一组基{m，n}＝{(－1，1)，(1，2)}下的坐标为(　　)
A．(2，0) B．(0，－2)
C．(－2，0) D．(0，2)
解析：选D.因为向量a在基{p，q}下的坐标为(－2，2)，所以a＝－2p＋2q＝－2(1，－1)＋2(2，1)＝(2，4)．设(x，y)为a在基{m，n}下的坐标，则a＝x m＋y n＝(－x＋y，x＋2y)，即(2，4)＝(－x＋y，x＋2y)，所以解得所以a在基{m，n}下的坐标为(0，2)．故选D.
13.如图所示，在四边形ABCD中，已知A(2，6)，B(6，4)，C(5，0)，D(1，0)，则直线AC与BD的交点P的坐标为________．
解析：设P(x，y)，则＝(x－1，y)，＝(5，4)，＝(－3，6)，＝(4，0)．
由B，P，D三点共线可得＝λ＝(5λ，4λ)．又因为＝－＝(5λ－4，4λ)，
由与共线得，(5λ－4)×6＋12λ＝0，解得λ＝，所以＝＝，
所以点P的坐标为.
答案：
14.如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，＝a，＝b，四边形OABC为平行四边形．求：
(1)向量a，b的坐标；
(2)点B的坐标．
解：(1)过点A作AM⊥x轴于点M，如图，
则OM＝OA·cos 45°＝4×＝2，
AM＝OA·sin 45°＝4×＝2，
所以A(2，2)，
故a＝(2，2)．
因为∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°，
所以∠COy＝30°.
又四边形OABC为平行四边形，AB＝3，所以OC＝AB＝3，
所以C(－，)，
所以＝＝(－，)，
即b＝(－，)．
(2)因为＝＋＝a＋b
＝(2，2)＋(－，)
＝(2－，2＋)．
所以点B的坐标为(2－，2＋)．
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15.如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2AD＝2CD＝2CB＝2，点P在线段BC上运动，若＝x＋y，则x2＋y2的最小值为(　　)
A. B. C. D.
解析：选B.如图，建立平面直角坐标系，
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则A(0，0)，B(2，0)，C(，)，D(，)，所以＝(2，0)，＝(，)，＝(－，)，设＝λ(0≤λ≤1)，则＝λ＝λ(－，)，所以＝＋＝(2－λ，λ)，
又＝x＋y＝x(2，0)＋y(，)＝(2x＋y，y)，
所以解得
所以x2＋y2＝(1－λ)2＋λ2＝λ2－λ＋1＝(λ－)2＋≥，即当λ＝时，x2＋y2的最小值为.故选B.
16.如图，已知O是平面直角坐标系的原点，∠OAB＝∠ABC＝120°，||＝||＝2||＝4.
(1)求的坐标；
(2)若四边形ABCD为平行四边形，求点D的坐标．
解：(1)过点B作BE⊥x轴于点E，如图所示．
因为∠OAB＝120°，所以∠EAB＝60°，
又||＝2，所以在Rt△ABE中，AE＝1，BE＝，又||＝4，
所以A(4，0)，B(5，)，所以＝(1，)．
(2)过点C作CF⊥x轴于点F，过点B作BM⊥CF于点M，如图所示．
在Rt△CMB中，||＝4，∠CBM＝60°，
所以BM＝2，CM＝2，
所以CF＝CM＋MF＝CM＋BE＝3，OF＝OE－BM＝3，即C(3，3)，设点D(x，y)，
因为四边形ABCD为平行四边形，所以＝，
又＝(1，)，＝(3－x，3－y)，
所以解得
所以点D的坐标为(2，2)．