4．2　平面向量及运算的坐标表示（教师版）

4．2　平面向量及运算的坐标表示
1.借助平面直角坐标系，理解平面向量的正交分解及坐标表示．　2.掌握两个向量和、差及向量数乘的坐标运算法则．　3.通过实例理解坐标表示的平面向量共线的条件，并能够解决有关向量共线、直线平行及三点共线等问题．
INCLUDEPICTURE"新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE"新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压力为F2.
INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/25CF-33.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/25CF-33.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../25CF-33.TIF" \* MERGEFORMAT
思考　这三个力的方向如何？三个力之间有什么关系？
提示：重力G竖直向下，下滑力F1沿斜面向下，木块对斜面的压力F2垂直于斜面向下；三个力之间的关系是G＝F1＋F2.
如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为标准正交基．对于坐标平面内的任意向量a，以坐标原点O为起点作＝a(通常称为位置向量)．由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数x，y，使＝x i＋yj.因此，a＝x i＋yj.我们把____________称为向量a在标准正交基{i，j}下的坐标，向量a可以表示为a＝____________．
[答案自填] (x，y)　(x，y)
INCLUDEPICTURE"例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(1)(多选)(对接教材例3)在平面直角坐标系中，点A(2，3)，B(－3，4)，如图所示，与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i和j，则下列说法正确的是(　　)
INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/25CF-34.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/25CF-34.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../25CF-34.TIF" \* MERGEFORMAT
A.＝2i＋3j　　　　　 B.＝3i＋4j
C.＝－5i＋j D.＝5i－j
(2)已知O是坐标原点，点A在第一象限，||＝4，∠xOA＝60°，则向量的坐标为________．
【解析】　(1)由题图可知，＝2i＋3j，＝－3i＋4j，＝－＝－5i＋j，＝－＝5i－j，故ACD正确．
(2)设点A(x，y)，则x＝||cos 60°＝4×cos 60°＝2，y＝||sin 60°＝4×sin 60°＝6，即A(2，6)，所以＝(2，6)．
【答案】　(1)ACD　(2)(2，6)
eq \a\vs4\al(INCLUDEPICTURE"解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
向量的坐标表示实质上是向量的代数表示，引入向量的坐标后，可使向量运算代数化，将数和形紧密结合起来，从而使许多几何问题的证明转化为代数运算．求平面向量的坐标时，应注意以下两点：
(1)(x，y)在平面直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，为加以区别，常说点(x，y)和向量(x，y)．
(2)在向量的坐标表示中含有等号，即a＝(x，y)，不能写成a(x，y)．
[跟踪训练1] (1)如图，{e1，e2}是平面内的一组基，且e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，则向量a的坐标为(　　)
A．(1，3) B．(3，1)
C．(－1，－3) D．(－3，－1)
解析：选A.因为e1，e2分别是与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，由题图可知a＝e1＋3e2，根据平面向量坐标的定义可知a＝(1，3)．故选A.
(2)已知长方形ABCD的长为4，宽为3，建立如图所示的平面直角坐标系，i是与x轴方向相同的单位向量，j是与y轴方向相同的单位向量，则和的坐标分别为__________．
解析：由题图知，CB⊥x轴，CD⊥y轴，因为AB＝4，AD＝3，所以＝4i＋3j，
所以＝(4，3)．
因为＝＋＝－＋＝－4i＋3j，所以＝(－4，3)．
答案：(4，3)，(－4，3)
1．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的运算律，可得a＋b＝(x1i＋y1j)＋(x2i＋y2j)＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，即a＋b＝____________．同理a－b＝____________，即两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．
2．设a＝(x1，y1)，λ∈R，则λa＝λ(x1i＋y1j)＝λx1i＋λy1j，即λa＝____________，即实数与向量数乘的坐标等于这个实数与向量的相应坐标的乘积．
3．设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)，即＝____________，即一个向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标．
4．设点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，则线段AB的中点M的坐标为.
[答案自填] (x1＋x2，y1＋y2)　(x1－x2，y1－y2)　(λx1，λy1)　(x2－x1，y2－y1)
INCLUDEPICTURE"例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c.
(1)求3a＋b－3c的坐标；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值．
【解】　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．
(1)3a＋b－3c
＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)因为mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝a＝(5，－5)，
所以解得
eq \a\vs4\al(INCLUDEPICTURE"解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
向量坐标运算的法则
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．
(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．
[跟踪训练2] 已知三点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，点P满足＝＋λ(λ∈R)．
(1)当λ为何值时，点P在函数y＝x的图象上；
(2)设点P在第三象限，求实数λ的取值范围．
解：设P(x，y)，则＝(x－2，y－3)．
因为＝＋λ＝(5－2，4－3)＋λ(7－2，10－3)＝(3，1)＋λ(5，7)＝(3＋5λ，1＋7λ)，
所以所以
所以点P的坐标是(5＋5λ，4＋7λ)．
(1)令5＋5λ＝4＋7λ，可得λ＝，
所以当λ＝时，点P在函数y＝x的图象上．
(2)因为点P在第三象限，
所以解得λ＜－1.
所以实数λ的取值范围是(－∞，－1)．
在平面直角坐标系中，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，当b≠0时，向量a，b共线的充要条件是____________．
[答案自填] x1y2－x2y1＝0
角度1　利用向量共线求参数
INCLUDEPICTURE"例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
【解】　ka＋b＝k(1，2)＋(－3，2)＝(k－3，2k＋2)，
a－3b＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)．
方法一：当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一的实数λ，
使ka＋b＝λ(a－3b)，
即(k－3，2k＋2)＝λ(10，－4)，
所以
解得k＝λ＝－.
所以当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，
这时ka＋b＝－(a－3b)．
因为λ＝－<0，
所以ka＋b与a－3b反向．
方法二：因为ka＋b与a－3b平行，
所以(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，
解得k＝－.
此时ka＋b＝＝－(a－3b)．
所以当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，并且反向．
【变式探究】
1．(综合变式)例题中的a＝(1，2)，b＝(－3，2)，改成a＝(1，2)，b＝(1，m)，若a与a＋b共线，则实数m＝________．
解析：因为向量a＝(1，2)，b＝(1，m)，所以向量a＋b＝(2，2＋m)，因为a与a＋b共线，所以1×(2＋m)－2×2＝0，解得m＝2.
答案：2
2．(综合变式)例题中的a＝(1，2)，b＝(－3，2)保持不变，若＝2a＋3b，＝a＋mb，且A，B，C三点共线，则m＝________．
解析：因为a＝(1，2)，b＝(－3，2)，所以＝2a＋3b＝(－7，10)，＝a＋mb＝(1－3m，2＋2m)，因为A，B，C三点共线，所以，共线，所以－7×(2＋2m)－10×(1－3m)＝0，解得m＝.
答案：
eq \a\vs4\al(INCLUDEPICTURE"解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
由向量共线求参数值的步骤
INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/WS9.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/WS9.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../WS9.TIF" \* MERGEFORMAT
[跟踪训练3] (1)已知非零向量a＝(m2－1，m＋1)与向量b＝(1，－2)平行，则实数m的值为(　　)
A．－1或 B．1或－
C．－1 D.
解析：选D.非零向量a＝(m2－1，m＋1)与向量b＝(1，－2)平行，所以－2×(m2－1)－1×(m＋1)＝0，且m≠－1，解得m＝.故选D.
(2)若a＝(，cos α)，b＝(3，sin α)，且a∥b，则锐角α＝________．
解析：因为a＝(，cos α)，b＝(3，sin α)，a∥b，所以sin α－3cos α＝0，即tan α＝，又0<α<，故α＝.
答案：
角度2　证明向量共线
INCLUDEPICTURE"例4LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(1)已知A(2，1)，B(0，4)，C(1，3)，D(5，－3)．判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？
(2)已知＝(3，4)，＝(7，12)，＝(9，16)，求证：与共线．
【解】　(1)＝(0，4)－(2，1)＝(－2，3).＝(5，－3)－(1，3)＝(4，－6)．
方法一：因为(－2)×(－6)－3×4＝0，且(－2)×4<0，所以与共线且方向相反．
方法二：因为＝－2，所以与共线且方向相反．
(2)证明：因为＝－＝(4，8)，＝－＝(6，12)，所以4×12－6×8＝0，即与共线．
eq \a\vs4\al(INCLUDEPICTURE"解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
用坐标证明向量共线：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a与b共线的充要条件为x1y2－x2y1＝0.
[跟踪训练4] (1)设a＝，b＝，则“＝”是“a∥b”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A.若＝，则x1y2＝x2y1，即x1y2－x2y1＝0，故a∥b，充分性成立，不妨设a＝，b＝，此时a∥b，但不满足＝，故必要性不成立，所以“＝”是“a∥b”的充分不必要条件．故选A.
(2)(多选)下列向量组中，能作为平面内所有向量基的是(　　)
A．a＝，b＝
B．a＝，b＝
C．a＝，b＝
D．a＝，b＝
解析：选ABC.能作为平面内向量的基，须使两向量a与b不平行，若a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a∥b a1b2－a2b1＝0，故只需选项中的两向量的坐标满足a1b2－a2b1≠0即可作为一组基．对于A项，因为×6－3×4＝－24≠0，所以a与b不平行，故A符合；对于B项，2×2－3×3＝－5≠0，所以a与b不平行，故B符合；对于C项，1×14－×7＝28≠0，所以a与b不平行，故C符合；对于D项，×－2×6＝12－12＝0，所以a∥b，故D不符合．故选ABC.
INCLUDEPICTURE"课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1．(教材P104T2改编)已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，若c满足3a－2b＋c＝0，则c＝(　　)
A．(－23，－12) B．(23，12)
C．(7，0) D．(－7，0)
解析：选A.因为3a－2b＋c＝0，所以c＝－3a＋2b＝－3(5，2)＋2(－4，－3)＝(－23，－12)．故选A.
2．(教材P105练习T5改编)已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，3)，则下列向量与2a＋b平行的是(　　)
A．(0，2) B.
C．(1，－2) D．(－1，3)
解析：选B.2a＋b＝2(2，－1)＋(－1，3)＝(3，1)，因为3×2≠0×1，3×＝2×1，3×(－2)≠12，3×3≠－1×1，故B选项中的向量满足条件，故选B.
3．已知点A(－1，－5)和向量a＝(2，3)，若＝3a，则点B的坐标为____________．
解析：设O为坐标原点，因为＝(－1，－5)，＝3a＝(6，9)，故＝＋＝(5，4)，故点B的坐标为(5，4)．
答案：(5，4)
4．已知向量a＝(－1，2)，b＝(2，0)，c＝(1，－1)，若向量(λa＋b)∥c，则实数λ＝____________．
解析：λa＋b＝(－λ＋2，2λ)，因为(λa＋b)∥c，所以－1×(－λ＋2)＝1×2λ，解得λ＝－2.
答案：－2
eq \a\vs4\al(INCLUDEPICTURE"课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT )
1．已学面向量的坐标表示、平面向量运算的坐标表示、两个向量共线(平行)的坐标表示．
2．须贯通：平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式，只是要求两个向量互相垂直；向量的和与差的坐标就是它们对应向量坐标的和与差；两个向量相等，则它们的坐标相同．
3．应注意：(1)向量的坐标不一定是终点的坐标；
(2)两个向量共线的坐标表示的公式易记错．