强化课　课后达标 检测（教师版）

一、选择题
1. 函数y＝2sin x cos x＋sin x－cos x＋2的最大值为(　　)
A． B．3 C． D．4
解析：选C.根据题意，设t＝sin x－cos x＝2sin ∈[－2，2]，
又2sin x cos x＝1－，
则原函数可化为y＝1－＋t＋2＝－＋t＋3＝－(t－1)2＋，t∈[－2，2]，
所以当t＝1时，函数取最大值.故选C.
2．已知k<－4，则函数f(x)＝－1＋2cos 2x＋k(1－sin x)的最大值为(　　)
A．－1 B．1
C．2k－1 D．2k＋1
解析：选A.f(x)＝－1＋2cos 2x＋k＝－1＋2＋k＝－2sin 2x－k sin x＋1＋k，设t＝sin x，t∈，则二次函数y＝－2t2－kt＋1＋k的图象开口向下，对称轴为直线t＝－＝－>1，所以函数y＝－2t2－kt＋1＋k在上单调递增，所以ymax＝－2－k＋1＋k＝－1，即f(x)的最大值为－1.故选A.
3．函数f(x)＝sin 的最大值为(　　)
A． B．2
C． D．3
解析：选A.因为f(x)＝sin x(sin x＋2cos x)＝sin 2x＋sin 2x＝＋sin 2x＝＋sin 2x－cos 2x＝＋·sin ＝＋sin ，其中tan φ＝－，sin (2x＋φ)∈[－1，1]，所以f(x)的最大值为.故选A.
4．设f(x)＝cos 2x＋cos 2＋sin x，则f(x)的最小值为(　　)
A．1 B． C．－1 D．
解析：选C.f(x)＝cos 2x＋cos 2＋sin x＝cos 2x＋sin 2x＋sin x＝1－2sin 2x＋sin 2x＋sin x＝－sin 2x＋sin x＋1，令t＝sin x∈，则原函数转化为g＝－t2＋t＋1＝－2＋，t∈，则由二次函数的性质可知，当t＝－1时，g(t)取得最小值，最小值为－1.即f(x)的最小值为－1.故选C.
5．函数y＝的值域是(　　)
A．∪
B．
C．
D．∪
解析：选A.由y＝，可得cos x＝，由于－1≤cos x≤1且cos x≠－，故≤1且≠－，即(1－y)(3y－1)≤0，解得y≥1或y≤，则所求函数的值域为∪.故选A.
6．已知函数f(x)＝，则f(x)的最小值为(　　)
A．1 B．2
C． D．5
解析：选B.f(x)＝
＝
＝，
令t＝sin x＋1∈(0，2]，
则y＝
＝＝4t＋－2，
因此函数f(x)＝的最小值与函数y＝4t＋－2在区间(0，2]上的最小值相同，
又因为y＝4t＋－2≥2－2＝2，当且仅当t＝，即sin x＝－时等号成立，
所以函数f(x)＝的最小值为2.故选B.
7．已知函数f(x)＝cos cos ＋2a sin x＋的最大值为4，则正实数a的值为(　　)
A． B．2
C．－2或2 D．2或
解析：选B.f(x)＝cos cos ＋2a sin x＋＝·
＋2a sin x＋
＝＋2a sin x＋
＝＋2a sin x＋
＝－sin 2x＋2a sin x＋1.
令t＝sin x，t∈，则二次函数y＝－t2＋2at＋1(t∈)的图象开口向下，对称轴为直线x＝a.
当0当a>1时，则ymax＝－12＋2a×1＋1＝2a＝4，
解得a＝2.
综上所述，a的值为2.故选B.
8．(多选)若函数f(x)＝cos 2x＋2sin x在区间的最大值为2，则θ的可能取值为(　　)
A．0 B．
C． D．π
解析：选CD.因为f(x)＝cos 2x＋2sin x＝－sin 2x＋2sin x＋1＝2－2，所以当sin x＝1，
即x＝2kπ＋，k∈Z时，f(x)max＝2.又因为x∈，所以2kπ＋∈，k∈Z，所以θ的可能取值为，π.故选CD.
9．(多选)已知函数f(x)＝sin ＋sin2x，则下列说法正确的是(　　)
A．函数f(x)的最大值为2
B．函数f(x)的最小值为－1
C．函数f(x)在上单调递减
D．函数f(x)在内有且只有一个零点
解析：选BCD.f(x)＝sin＋sin2x＝cosx＋sin2x＝－cos2x＋cosx＋1，令t＝cos x，则t∈[－1，1]，易知函数y＝－t2＋t＋1在上单调递增，在上单调递减，故当t＝时，函数y＝－t2＋t＋1取得最大值，当t＝－1时，函数y＝－t2＋t＋1取得最小值－1，所以f(x)的最大值为，最小值为－1，故A错误，B正确；当x∈时，t＝cos x单调递减，且t∈，此时y＝－t2＋t＋1单调递增，所以函数f(x)在上单调递减，故C正确；
当x∈时，t＝cos x先增后减且t∈(－1，1]，易知y＝－t2＋t＋1在(－1，1]内有且仅有一个零点，且∈(－1，0)，数形结合可知cos x＝在内有唯一解，即函数f(x)在内有且只有一个零点，故D正确．故选BCD.
10．(多选)设函数f(x)＝，则(　　)
A．f(x)的一个周期为π
B．f(x)在上单调递增
C．f(x)在上有最大值
D．f(x)图象的一条对称轴为直线x＝
解析：选BD.对于A，f(x＋π)＝＝＝－＝－f(x)，故π不是f(x)的周期，故A错误；对于B，令t＝sin x＋cos x＝sin ，则sin 2x＝2sin x cos x＝t2－1，则y＝＝t－，因为x∈，则x＋∈，sin ∈，所以t＝sin 在上单调递增，且t＝sin ∈，又因为y＝t－在上单调递增，故f(x)在上单调递增，故B正确；
对于C，因为x∈，则x＋∈(0，π)，所以sin ∈(0，1]，则t＝sin ∈(0，]，又因为y＝t－在上单调递增，且y|t＝＝－＝，所以y＝t－在上最大值为，即f(x)在上有最大值，故C错误；对于D，f＝＝＝＝f(x)，故f(x)图象的一条对称轴为直线x＝，故D正确．故选BD.
二、填空题
11．已知函数f(x)＝sin x－cos 2x，则f(x)的最大值为______________．
解析：f(x)＝sin x－cos 2x＝sin x
－＝sin 2x＋sin x－，
令t＝sin x∈，
则y＝t2＋t－，
其图象的对称轴为直线t＝－，应用二次函数的对称性可知，当t＝1时，ymax＝1＋1－＝，
则f(x)的最大值为.
答案：
12．函数f(x)＝sin 2x－cos 2x在区间上的最大值是________．
解析：f(x)＝sin 2x－cos 2x
＝2sin ，当x∈时，2x－∈，故当2x－＝，即x＝时，f(x)有最大值，且最大值为2.
答案：2
13．当0解析：f(x)＝
＝，当0答案：4
14．函数f(x)＝sin 2x＋3sin 的值域为______________．
解析：f(x)＝sin 2x＋3sin
＝2sin xcos x＋3sin x＋3cos x，
令sin x＋cos x＝t，则2sin x cos x＝t2－1，
于是函数化为y＝t2－1＋3t＝2－，而t＝sin x＋cos x＝sin ∈，因为函数y＝t2－1＋3t在t∈[－，]上单调递增，所以当t＝－时，函数y取最小值1－3；当t＝时，函数y取最大值1＋3，故函数f(x)的值域为.
答案：
三、解答题
15．已知函数f(x)＝cos x sin －cos2x＋，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在上的最小值和最大值．
解：(1)由已知，有f(x)
＝cosx－cos2x＋
＝sinx cos x－cos2x＋
＝sin2x－(1＋cos 2x)＋
＝sin 2x－cos 2x＝sin ，
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)因为f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，
f＝－，f＝－，f＝，所以函数f(x)在上的最大值为，最小值为－.
16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos 2A＋cos 2B－cos 2C＝1－2sin A sin B．
(1)求角C的大小；
(2)求sin A＋sin B＋sin C的取值范围．
解：(1)因为cos 2A＋cos 2B－cos 2C＝1－2sin2A＋1－2sin2B－(1－2sin2C)＝1－2sinA sin B，
整理得sin2A＋sin2B－sin2C＝sinA sin B，由正弦定理得a2＋b2－c2＝ab，
由余弦定理得cos C＝＝，
因为C∈(0，π)，所以C＝.
(2)sin A＋sin B＋sin C＝sin A＋sin ＋＝sin A＋sin cos A－cos sin A＋＝sin A＋cos A＋＝sin ＋.
在△ABC中，因为C＝，所以0＜A＜，所以＜A＋＜，所以＜sin ≤1，
所以＜sin ＋≤，
所以sin A＋sin B＋sin C的取值范围为.
17．已知函数f(x)＝2－2.
(1)当x∈时，求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若x∈，求函数g＝f2－f－1的值域．
解：(1)函数f(x)＝2－2
＝2－2＝4sin 2－2
＝2－2
＝－2cos ，
令2kπ≤2x＋≤π＋2kπ，k∈Z，
得kπ－≤x≤＋kπ，k∈Z，因为x∈，
所以函数f(x)的单调递增区间为，.
(2)g＝f2－f－1
＝×4cos 2＋
2cos －1
＝2cos 2＋2cos －1
＝2cos 2－2sin －1
＝2－2sin 2－2sin －1，
＝－2sin 2－2sin ＋1.
令sin ＝t，
因为x∈，所以≤2x＋≤，所以t＝sin ∈，
所以y＝－2t2－2t＋1＝－22＋，t∈，
所以当t＝－时，y取最大值为；当t＝1时，y取最小值为－3，
所以g的值域为.