章末复习提升(三)（教师版）

章末复习提升(三)
要点一　三角函数求值
1．三角函数的求值问题通常包括三种类型：给角求值、给值求值、给值求角．
2．给角求值的关键是将要求角的三角函数值转化为特殊角的三角函数值；给值求值的关键是找准要求角与已知角之间的联系，合理进行拆角、凑角；给值求角的实质是给值求值，先求角的某一三角函数值，再确定角的范围，从而求出角．
训练1　的值为(　　)
A．－ B．
C． D．－
解析：选B.原式＝＝＝＝.故选B.
训练2　已知cos α＝，sin (α－β)＝，且α，β∈，则cos (2α－β)＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：选B.α，β∈，故α－β∈.
因为sin (α－β)＝＞0，所以α－β∈，
所以sin α＝＝，cos(α－β)＝＝.
故cos(2α－β)＝cos [α＋(α－β)]＝cos αcos (α－β)－sin αsin(α－β)
＝×－×＝.故选B.
训练3　若(tan α－1)(tan β－1)＝2，则α＋β的最小正值为________．
解析：由题知tan αtan β－(tan α＋tan β)＋1＝2，所以tan α＋tan β＝tan αtan β－1，
所以tan (α＋β)＝＝－1，
所以α＋β的最小正值为.
答案：
要点二　三角函数式的化简与证明
三角函数化简常用策略有切化弦、异名化同名、降幂公式、“1”的代换等，化简的结果应做到项数尽可能少，次数尽可能低，函数名尽量统一．
三角函数证明常用方法有从左向右(或从右向左)，一般由繁向简；从两边向中间，左右归一法；作差证明，证明“左边－右边＝0”；左右分子、分母交叉相乘，证明差值．
训练4　化简：sin 2α＝________．
解析：依题意，原式＝2sin αcos α(1＋·)＝2sin αcos α·
＝2sin αcos α·＝2sin α.
答案：2sin α
训练5　化简：＝_____________________.
解析：原式＝
＝＝
＝cos 2x.
答案：cos 2x
训练6　求证：tan －tan ＝.
证明：因为左边＝tan －tan
＝－＝
＝
＝＝
＝＝＝右边．
所以原等式成立．
要点三　三角恒等变换的综合应用
三角恒等变换与三角函数的综合应用，常以三角恒等变换为主要的化简手段，考查三角函数的性质．当给出的三角函数关系式较为复杂时，我们要先通过三角恒等变换，将三角函数的表达式变形化简为y＝A sin (ωx＋φ)＋k或y＝A cos (ωx＋φ)＋k等形式，然后再根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质．
训练7　(多选)已知函数f(x)＝sin (2ωx＋)＋sin (2ωx－)＋2cos2ωx－(ω>0)，则下列结论正确的是(　　)
A．若f(x)相邻两条对称轴的距离为，则ω＝2
B．当ω＝1，x∈[0，]时，f(x)的值域为[－，2]
C．当ω＝1时，f(x)的图象向左平移个单位长度得到的函数解析式为y＝2cos(2x＋)
D．若f(x)在区间[0，]上有且仅有两个零点，则5≤ω<8
解析：选BCD.f(x)＝sin (2ωx＋)＋sin (2ωx－)＋2cos 2ωx－ ＝sin 2ωx cos ＋cos 2ωx sin ＋sin 2ωx cos －cos 2ωx sin ＋cos 2ωx＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝2sin (2ωx＋).对于A，若f(x)相邻两条对称轴的距离为，则最小正周期T＝2×＝π＝，故ω＝1，A错误；对于B，当ω＝1时，f(x)＝2sin (2x＋)，当x∈[0，]时，2x＋∈[，]，则f(x)的值域为[－，2]，B正确；对于C，当ω＝1时，f(x)＝2sin (2x＋)，f(x)的图象向左平移个单位长度得到的函数解析式为y＝f＝2sin [2(x＋)＋]＝2sin (2x＋)＝2cos (2x＋)，C正确；对于D，当x∈[0，]时，2ωx＋∈[，ω＋].若f(x)在区间[0，]上有且仅有两个零点，则2π≤ω＋<3π，解得5≤ω<8，故D正确．故选BCD.
训练8　已知函数f(x)＝a sin x＋cos x的图象关于直线x＝对称，则f()＝________．
解析：由题意得a≠0，函数f(x)＝a sin x＋cos x＝sin (x＋φ)，sin φ＝，cos φ＝，tan φ＝.又函数f(x)＝a sin x＋cos x的图象关于直线x＝对称，故＋φ＝＋kπ，k∈Z，则φ＝＋kπ，k∈Z，故tan φ＝tan (＋kπ)＝1＝，则a＝1，故f()＝sin ＋cos ＝0.
答案：0
训练9　已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，|a－b|＝.
(1)求cos (α－β)的值；
(2)若－<β<0<α<，且sin β＝－，求sin α的值．
解：(1)因为向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，|a－b|＝＝＝，
所以2－2cos (α－β)＝，所以cos (α－β)＝.
(2)因为0<α<，－<β<0，所以0<α－β<π.
因为cos (α－β)＝，所以sin (α－β)＝，又sin β＝－，所以cos β＝，所以sin α＝sin [(α－β)＋β]＝sin (α－β)cos β＋cos (α－β)sin β＝×＋×＝.