章末综合检测(三)（教师版）.doc

文档属性

名称	章末综合检测(三)（教师版）
格式	doc
文件大小	310.2KB
资源类型	试卷
版本资源	北师大版（2019）
科目	数学
更新时间	2026-02-27 00:00:00

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文档简介

章末综合检测(三)
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知tan α＝3，则cos α＝(　　)
A.±　 B．　 C．　 D．±
解析：选A.由tan α＝＝3，sin2α＋cos2α＝1，解得cosα＝±.故选A.
2．已知sin (45°＋α)＝，则sin 2α＝(　　)
A．－ B．－ C． D．
解析：选B.因为sin (45°＋α)＝(sin α＋cos α)＝，所以sin α＋cos α＝.两边同时平方得1＋sin 2α＝，所以sin 2α＝－.故选B.
3．已知a＝，b＝(sin 20°＋cos 20°)，c＝，则(　　)
A．aC．c解析：选A.因为a＝＝sin 55°，b＝(sin 20°＋cos 20°)＝sin 65°，c＝＝＝tan 65°，又sin 55°4．已知β∈，满足tan (α＋β)＝，sin β＝，则tan α＝(　　)
A． B． C． D．
解析：选B.因为β∈，sin β＝，所以cos β＝，所以tan β＝＝.又因为tan (α＋β)＝，所以tan α＝tan [(α＋β)－β]＝＝＝.故选B.
5．若|cos θ|＝，<θ<3π，则sin 的值是(　　)
A．－ B． C．－ D．
解析：选C.因为<θ<3π，|cos θ|＝，
所以cos θ<0，cos θ＝－.
因为<<，所以sin <0.
因为sin2＝＝，
所以sin ＝－.故选C.
6．若函数f(x)＝2sin2(－)＋sin(ωx＋)－2(ω>0)在[0，π]上恰有两个零点，则ω的取值范围为(　　)
A．[，) B．(，]
C．[，) D．(，]
解析：选C.f(x)＝1－cos [2(－)]＋sin (ωx＋)－2＝sin ωx＋cos ωx－1＝sin (ωx＋)－1，令f(x)＝0，得sin (ωx＋)＝1，由0≤x≤π，ω>0，得≤ωx＋≤ωπ＋.
因为sin (ωx＋)＝1恰有两解，
所以≤ωπ＋< ω∈[，).故选C.
7．若α∈且＝，则的最小值为(　　)
A．－ B．－
C． D．
解析：选B.由＝，得－＝，得－sin 2α＝tan β，则＝.因为＝＝＝，因为α∈，所以tan α>0，故5tan α＋≥2＝4，当且仅当5tan α＝，即tan α＝时，等号成立，故≤＝，所以≥－，所以的最小值是－，故选B.
8．已知边长为1的正方形ABCD位于第一象限，且顶点A，D分别在x，y轴的正半轴上(含原点O)滑动，则|＋|的最大值是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．
解析：选C.当A与O重合时，B(1，0)，C(1，1)，此时＋＝(2，1)，|＋|＝；当A与O不重合时，如图，设∠OAD＝θ，因为AD＝1，所以OA＝cos θ，OD＝sin θ，B(cos θ＋sin θ，cos θ)，C(sin θ，sin θ＋cos θ)，＝(cos θ＋sin θ，cos θ)，＝(sin θ，sin θ＋cos θ)，＋＝(2sin θ＋cos θ，sin θ＋2cos θ)，|＋|＝＝，
所以当2θ＝，即θ＝时，|＋|取得最大值3.综上可知，|＋|的最大值为3.故选C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．计算下列各式的值，其结果为2的有(　　)
A．tan 15°＋tan 60°
B．×(－)
C．(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)
D．4sin 18°sin 54°
解析：选ABC.对于A，tan 15°＋tan 60°＝tan (45°－30°)＋＝＋＝2－＋＝2，故A正确；对于B，×(－)
＝·＝
＝＝2，故B正确；
对于C，(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27°＝1＋tan (18°＋27°)·(1－tan 18°tan 27°)＋tan 18°·tan 27°＝2，故C正确；
对于D，4sin 18°sin 54°＝4sin (90°－72°)sin (90°－36°)＝4cos 72°cos 36°＝＝＝＝＝＝1，故D错误．故选ABC.
10．已知f(x)＝cos －2sin ·cos (x∈R)，下列说法正确的是(　　)
A．函数f(x)的最小正周期为2π
B．函数f(x)的最大值为1
C．函数f(x)在上单调递增
D．将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，所得图象的函数解析式为g(x)＝sin 2x
解析：选BD.f(x)＝cos －2sin ·cos ＝cos －sin ＝cos 2x＋sin 2x－cos 2x＝sin 2x－cos 2x＝sin .
所以f(x)的最小正周期为＝π，f(x)的最大值为1，故A错误，B正确；
当x∈时，2x－∈，y＝sin x在上并不是单调递增的，故C错误；将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，所得图象的函数解析式为g(x)＝sin ＝sin 2x，故D正确．故选BD.
11．在平面直角坐标系xOy中，角θ以坐标原点O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，其终边经过点M(a，b)，|OM|＝m(m≠0)，定义f(θ)＝，g(θ)＝，则(　　)
A．f()＋g()＝1
B．f(θ)＋[f(θ)]2≥0
C．若＝2，则sin 2θ＝
D．f(θ)g(θ)是周期函数
解析：选ACD.由题意得M(a，b)在角θ的终边上，且|OM|＝m，所以cos θ＝，sin θ＝，则f(θ)＝＝sin θ＋cos θ＝sin (θ＋)，g(θ)＝＝sin θ－cos θ＝sin (θ－)，对于A，f()＋g()＝sin ＋cos ＋sin －cos ＝1，故A正确；对于B，f(θ)＋[f(θ)]2＝sin θ＋cos θ＋(sin θ＋cos θ)2，令t＝sin θ＋cos θ＝sin (θ＋)∈[－，]，所以f(θ)＋[f(θ)]2＝t＋t2＝(t＋)2－≥－，故B错误；对于C，＝＝＝2，解得tan θ＝3，又由sin 2θ＝2sin θcos θ＝＝＝＝，故C正确；
对于D，f(θ)g(θ)＝(sinθ＋cos θ)(sin θ－cos θ)＝sin2θ－cos2θ＝－cos2θ，y＝－cos 2θ为周期函数，故D正确．故选ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若α，β为锐角，tan α＝4，cos (α＋β)＝－，则β＝________．
解析：由题意得，＜α＋β＜π，所以sin (α＋β)＝＝，tan(α＋β)＝－，所以tan β＝tan [(α＋β)－α]＝＝＝，因为β为锐角，所以β＝.
答案：
13．若函数f(x)＝－a sin ·cos 的最大值为2，则a＝________．
解析：由题知f(x)＝－a sin ·cos (π－)＝＋a sin cos ＝＋＝sin (x＋φ)，
因为f(x)的最大值为2，所以a≠0，所以f(x)max＝＝2，所以a＝±.
答案：±
14.如图，函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π) 的图象与坐标轴交于点A，B，C，直线BC交f(x)的图象于点D，O(坐标原点)为△ABD的重心，其中A，则tan ∠ABD＝__________．
解析：设f(x)的最小正周期为T.因为O为△ABD的重心，且A，可得OA＝AC＝π，解得AC＝，所以C，所以T＝，所以T＝3π，所以＝3π，解得ω＝，所以f(x)＝2sin ，由f＝0，
即2sin ＝0，可得×＋φ＝kπ，k∈Z，解得φ＝kπ＋，k∈Z，又由0<φ<π，所以φ＝，所以f(x)＝2sin ，于是OB＝f＝2sin ＝，所以B.所以tan ∠ABD＝tan ＝＝＝.
答案：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分13分)已知≤α≤，π≤β≤，sin 2α＝，cos (α＋β)＝－，求：
(1)cos 2α的值；
(2)角β－α的值．
解：(1)由≤α≤得≤2α≤π，
因为sin 2α＝，则cos 2α＝－＝－＝－.
(2)由≤α≤，π≤β≤知≤α＋β≤2π，因为cos(α＋β)＝－，
则sin (α＋β)＝－
＝－＝－，
由sin(β－α)＝sin [(α＋β)－2α]＝sin (α＋β)·cos 2α－cos (α＋β)sin 2α
＝－×－×＝，
又因≤β－α≤，故β－α＝.
16．(本小题满分15分)已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2sinx cos x(x∈R).
(1)求f的值；
(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．
解：(1)f(x)＝－cos 2x－sin 2x＝－2×(sin 2x＋cos 2x)＝－2sin ，
故f＝－2sin ＝－2sin ＝－.
(2)由(1)知f(x)＝－2sin ，则f(x)的最小正周期是＝π.
由正弦函数的性质易知，函数y＝－2sin x在，k∈Z上单调递增，
令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，
解得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
所以f(x)的单调递增区间是
(k∈Z).
17．(本小题满分15分)已知函数f(x)＝cos 2x＋b sin x，x，b∈R.
(1)当b＝2时，求不等式f(x)≥1的解集；
(2)当x∈时，不等式f(x)≤2恒成立，求实数b的取值范围．
解：(1)当b＝2时，f(x)＝cos 2x＋2sin x＝－2sin 2x＋2sin x＋1，则f(x)≥1即－2sin 2x＋2sin x＋1≥1，
所以－2sin 2x＋2sin x≥0，即0≤sin x≤1，
又因为－1≤sin x≤1，故0≤sin x≤1，
故不等式f(x)≥1的解集为
.
(2)当x∈时，不等式f(x)≤2恒成立，即cos 2x＋b sin x≤2恒成立，
由于当x∈时，sin x∈，
故b≤＝＋2sin x在x∈时恒成立，
因为sin x∈，＋2sin x≥2，当且仅当sin x＝，即x＝时取等号，
则b≤2，故实数b的取值范围为.
18．(本小题满分17分)如图，将一块圆心角为120°，半径为20 cm的扇形铁片裁成一块矩形，有两种裁法，让矩形一边在扇形的一半径OA上(如图1)或让矩形一边与弦AB平行(如图2)，请问哪种裁法得到的矩形的面积最大？请求出这个最大值．
解：对于题图1，MN＝20sin θ cm，ON＝20cos θ cm，所以S1＝ON·MN＝400sin θcos θ＝200sin 2θ(cm2).所以当sin 2θ＝1，即θ＝45°时，(S1)max＝200 cm2.
对于题图2，MQ＝40sin (60°－α) cm，MN＝20cos (60°－α)－＝sin α cm，
所以S2＝ cm2.
因为0°<α<60°，所以－60°<2α－60°<60°，
所以当cos (2α－60°)＝1，即2α－60°＝0°，即α＝30°时，(S2)max＝ cm2.
因为>200，所以用题图2这种裁法得到的矩形的面积最大，为 cm2.
19.(本小题满分17分)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，0<ω≤6，|φ|≤π)的部分图象如图所示．
(1)求f(x)的解析式；
(2)已知α∈，f(α)＝，求f(2α)的值；
(3)若关于x的方程f(x)＝a在上有两个不同的实数根x1，x2，且x1解：(1)由题图可知，A＝1，
因为f(0)＝sin φ＝－，又|φ|≤π，
所以φ＝－，所以f(x)＝sin ，
又ω×－＝＋2kπ，k∈Z，
所以ω＝2＋6k，k∈Z，由0<ω≤6得ω＝2，
所以f(x)＝sin .
(2)因为f(α)＝sin ＝，
所以cos ＝1－2×＝－，
又α∈，所以4α－∈，
所以sin ＝－
＝－，所以f(2α)＝sin
＝sin ＝sin cos ＋cos sin ＝－×＋×＝－.
(3)令t＝2x－，则当x∈时，t∈.
易知函数y＝sin t在上单调递减，在上单调递增，又sin ＝，sin ＝－1，sin ＝－，因为方程f(x)＝a在上有两个不同的实数根x1，x2，所以y＝sin t，t∈的图象与直线y＝a有两个不同的交点，如图．
由图知－1由正弦函数的对称性可知＝，
所以t1＋t2＝2x1－＋2x2－＝3π，
所以x1＋x2＝，
又≤t1＝2x1－<，
所以≤x1<，所以2x1＋x2＝x1＋x1＋x2＝x1＋∈.