1　课后达标 检测（教师版）

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1．已知角α∈，cos α＝，则tan α＝(　　)
A．－ B．－
C． D．－
解析：选B.因为角α∈，所以sin α<0，所以sin α＝－＝－，tanα＝＝－.故选B.
2．已知tan α＝－3，则cos2α－sin2α＝(　　)
A． B．－
C． D．－
解析：选B.cos2α－sin2α＝＝＝＝－.故选B.
3．已知A为△ABC的内角，且sinA＋cos A＝，则△ABC是(　　)
A．钝角三角形
B．三边不相等的锐角三角形
C．直角三角形
D．正三角形
解析：选A.因为sin A＋cos A＝，
所以(sin A＋cos A)2＝sin 2A＋cos 2A＋2sin A·cos A＝1＋2sin A cos A＝，
所以sin A cos A＝－，又因为A∈(0，π)，所以sin A>0，cos A<0，所以A为钝角，所以△ABC是钝角三角形．故选A.
4．设－<α<0，若＝，则sin α＝(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
解析：选C.由已知得＝，故＝，因为－<α<0，所以sin α<0，故＝，解得cos α＝，则sin α＝－＝－.故选C.
5．已知θ是第四象限角，且sin ＝－，则tan ＝(　　)
A．－ B． C．－ D．
解析：选B.因为＝－，所以sin ＝cos ＝－，又2kπ－<θ<2kπ(k∈Z)，所以2kπ－<θ＋<2kπ(k∈Z)，所以cos ＝＝sin ，所以tan ＝＝－，所以tan ＝－tan ＝.故选B.
6．(多选)下列计算或化简结果正确的是(　　)
A．若sin θcos θ＝，则tan θ＋＝2
B．若tan x＝，则＝2
C．若sin α＝，则tan α＝2
D．若α为第二象限角，则＋＝0
解析：选ABD.对于A，tanθ＋＝＋＝＝2，A正确；对于B，＝＝＝＝2，B正确；对于C，sin α＝，cos α＝±＝±，tanα＝＝±2，C错误；对于D，＋＝＋＝＋＝0，D正确．故选ABD.
7．已知cos α＝，<α<2π，则sin (2π－α)＝________．
解析：因为cos α＝，<α<2π，所以sin α<0，所以sin α＝－＝－，所以sin(2π－α)＝－sin α＝.
答案：
8．已知tan (π－θ)＝3，则＝________．
解析：因为tan (π－θ)＝－tan θ＝3，所以tan θ＝－3，所以＝＝＝.
答案：
9.＋3sin2x＝____________．
解析：＋3sin2x
＝＋3sin2x
＝＋3sin2x
＝＋3sin2x
＝3cos2x＋3sin2x＝3(cos2x＋sin2x)＝3.
答案：3
10．已知函数f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若锐角α满足f(α)＝2，求sin2α＋sinαcos α－cos2α的值．
解：(1)f(α)＝＝＝tan α.
(2)由(1)知，f(α)＝tan α＝2，
则sin2α＋sinαcos α－cos2α
＝
＝
＝＝1.
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11．如图，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形中较小的内角为α，大正方形的面积为1，小正方形的面积是，则sinα＋cos α＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．－
解析：选B.直角三角形中较小的内角为α，则直角三角形的两条直角边分别为sin α，cos α，所以小正方形的边长为cos α－sin α，所以(cos α－sin α)2＝，即1－2sin αcos α＝，即2sin αcos α＝，所以(sin α＋cos α)2＝1＋＝，所以sin α＋cos α＝.
12．(多选)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝，则下列结论正确的是(　　)
A．sin θ－cos θ＝－ 　
B．cos θ＝－
C．tan θ＝－ 　
D．sin4θ－cos4θ＝
解析：选BD.因为sinθ＋cos θ＝，①
所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，
则2sin θcos θ＝－.
因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cos θ<0，
所以θ∈(，π)，所以(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，
所以sin θ－cos θ＝，②故A错误；联立①②可解得，sin θ＝，cos θ＝－，故B正确；
所以tan θ＝＝－，故C错误；
sin4θ－cos4θ＝(sin2θ－cos2θ)(sin2θ＋cos2θ)＝(sinθ－cos θ)(sin θ＋cos θ)＝，故D正确．
故选BD.
13．若sin α＝，cos α＝，则tan α＝________．
解析：由已知可得，sin 2 α＋cos 2 α＝1，
所以()2＋()2＝＝1，
整理可得m2－2m－3＝0，
解得m＝－1或m＝3.当m＝－1时，sin α＝0，cos α＝－1，tan α＝＝0；当m＝3时，sin α＝，cos α＝，tan α＝＝.综上所述，tan α＝0或tan α＝.
答案：0或
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角α的终边与单位圆交于点A(，)，射线OA绕点O按逆时针方向旋转θ后交单位圆于点B，点B的横坐标为f(θ).
(1)求f(θ)的表达式，并求f()的值；
(2)若f(θ－)＝，θ∈(0，π)，求tan θ的值．
解：(1)因为锐角α的终边与单位圆交于点A(，)，则cos α＝，sin α＝，可知α＝.又因为射线OA绕点O按逆时针方向旋转θ后交单位圆于点B，所以f(θ)＝cos (θ＋α)＝cos (θ＋)，故f()＝cos (＋)＝cos ＝－.
(2)由(1)知f(θ)＝cos ，
所以f(θ－)＝cos θ＝，θ∈(0，π)，
则sin θ＝＝，
所以tan θ＝＝2.
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15．若θ为第三象限角，且tan θ＝2，则 － 的值是(　　)
A．4 B．－4
C． D．－
解析：选B.由题意可得－＝－＝－，又θ为第三象限角，
则cos θ<0，1＋sin θ>0，1－sin θ>0，
故 －＝－＋＝－2tan θ＝－4.故选B.
16．已知sin θ，cos θ是关于x的方程5x2＋x＋m＝0的两个根，且－π<θ<0.求下列各式的值：
(1)＋；
(2)sin3θ－cos3θ.
解：(1)因为sinθ，cos θ是关于x的方程5x2＋x＋m＝0的两个根，
所以sin θ＋cos θ＝－，
所以＋
＝＋
＝＋
＝＝sin θ＋cos θ＝－.
(2)由sin θ＋cos θ＝－，可得(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，
所以sin θcos θ＝－.
因为－π<θ<0，所以sin θ<0，cos θ>0，所以sin θ－cos θ<0，
由(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，
可得sin θ－cos θ＝－，
所以sin3θ－cos3θ＝(sinθ－cos θ)(sin2θ＋cos2θ＋sinθcos θ)＝－×(1－)＝－.