1　同角三角函数的基本关系（教师版）

INCLUDEPICTURE "数学BSBX2第四章LLL.TIF"
§1　同角三角函数的基本关系
1.理解并掌握同角三角函数的基本关系式及推导．　2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式的证明．
INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF"
INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF"
思考1　观察下表，你能发现什么？
α 0
sin α 0 1
cos α 1 0
tan α 0 1 不存在
提示：对于表格中的几个角，同一个角的正弦值与余弦值的比值等于正切值(cos α≠0)，正弦值与余弦值的平方和等于1.
思考2　如图，设点P(x，y)是角α的终边与单位圆的交点．你能验证思考1的猜想吗？
提示：若余弦值不为0，则正切值等于正弦值比余弦值，即tan α＝＝；因为点P在单位圆上，则由勾股定理得x2＋y2＝1，即sin2α＋cos2α＝1.
INCLUDEPICTURE "SXDSA1学.tif"
[答案自填]1
角度1　由一个三角函数值求其他三角函数值
　(1)(对接教材例1)已知sin α＝，并且α是第二象限角，求cos α和tan α；
(2)(对接教材例3)已知tan α＝2，求sin α和cos α的值．
【解】　(1)cos2α＝1－sin2α＝1－()2＝，
又α是第二象限角，cosα<0，
所以cos α＝－，tan α＝＝－.
(2)由＝tan α＝2，可得sin α＝2cos α.
又sin2α＋cos2α＝1，故(2cosα)2＋cos2α＝1，解得cos2α＝.
又由tanα＝2>0，可知α是第一或第三象限角．
当α是第一象限角时，则cos α＝， sin α＝；当α是第三象限角时，则cos α＝－， sin α＝－.
eq \a\vs4\al()
已知一个三角函数值求其他三角函数值的方法
(1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方法求解．
(2)已知tan θ求sin θ(或cos θ)常用以下方法求解．
[提醒]　当角θ的范围不确定且涉及开方时，常根据三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)进行讨论．
[跟踪训练1] (1)已知θ为第三象限角，cos θ＝－，则tan θ＝(　　)
A．－ B．
C．± D．
解析：选B.因为θ为第三象限角，cos θ＝－，所以 sin θ＝－，则tan θ＝，故选B.
(2)已知tan α＝，且α是第三象限角，则sin α＋cos α＝__________．
解析：由tan α＝＝，得sin α＝cos α，①
又sin2α＋cos2α＝1，②
由①②得cos2α＋cos2α＝1，
即cos2α＝.
又α是第三象限角，故cosα<0，
所以cos α＝－，sin α＝cos α＝－.
所以sin α＋cos α＝－.
答案：－
角度2　由正切值求齐次式的值
　(对接教材例5)已知＝1.
(1)求tan α的值；
(2)求2sin2α－3cos2α＋sinαcos α的值．
【解】　(1)方法一：因为＝1，所以等式左边的分子，分母同除以cos α得，＝1，即5tan α＋3＝4tan α－2，解得tan α＝－5.
方法二：由＝1可得4sin α－2cos α＝5sin α＋3cos α，即sin α＝－5cos α，
所以tan α＝＝－5.
(2)2sin2α－3cos2α＋sinαcos α
＝
＝＝
＝.
eq \a\vs4\al()
tanα与sin α，cos α的齐次式的相互转化
(1)关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cos α(cos α≠0)的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值．
(2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α(cosα≠0)，可化为关于tan α的式子，再代入求值．
[跟踪训练2] (1)在平面直角坐标系中，角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，若角α的终边经过点P(－m，2m)(m≠0)，则的值为(　　)
A． B．5 C．±5 D．±
解析：选A.因为角α的终边经过点P(－m，2m)(m≠0)，所以cos α≠0，tan α＝＝－2，
所以＝＝＝＝，故选A.
(2)已知tan α＝2，则＝______，cos αsin α＝________．
解析：因为tan α＝2，所以＝＝＝3；cos αsin α＝
＝＝＝.
答案：3　
二　利用sinθ±cos θ与sin θcos θ之间的关系求值
　已知sin α－cos α＝，α∈(0，π)，求：
(1)sin αcos α的值；
(2)sin α＋cos α的值．
【解】　(1)由sin α－cos α＝可得(sin α－cos α)2＝ 1－2sin αcos α＝ sin αcos α＝.
(2)由sin αcos α＝>0和α∈(0，π)可得sin α>0，cos α>0，故α∈(0，)，
故(sin α＋cos α)2＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝ sin α＋cos α＝.
【变式探究】
(设问变式)本例条件不变，求tan α的值．
解：由本例(2)可知sin α＋cos α＝，再结合已知条件sin α－cos α＝，联立方程组，解得sin α＝，cos α＝，所以tan α＝.
eq \a\vs4\al()
sin θ±cos θ与sin θcos θ的关系
sin θ＋cos θ，sin θ－cos θ，sin θcos θ三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ.
[注意]　求sin θ＋cos θ或sin θ－cos θ的值时，往往先根据条件求出并利用sin θcos θ的值，进而根据sin θcos θ的符号来确定角θ的终边位置，从而确定sin θ＋cos θ或sin θ－cos θ的符号．
[跟踪训练3] (1)若sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，则－的值为__________．
解析：由sin α＋cos α＝ (sin α＋cos α)2＝ sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝ sin αcos α＝－<0，又α∈(0，π)，故sin α>0，cos α<0，
所以α∈(，π)，因此cos α－sin α
＝－
＝－＝－，
于是－＝＝＝.
答案：
(2)已知关于x的方程2x2－(－＋1)x＋2m＝0的两根为sin θ和cos θ(θ∈(0，π))，则m的值为______．
解析：由题意得，且Δ>0，所以m＝＝
＝＝－，经检验，
m＝－符合题意．
答案：－
INCLUDEPICTURE "例4LLL.TIF" 　化简下列各式．
(1)－；
(2)；
(3)sin2αtanα＋＋2sin αcos α.
【解】　(1)原式＝
＝＝＝－2tan2α.
(2)原式＝
＝＝1.
(3)原式＝sin2α·＋cos2α·＋
2sin αcos α＝
＝
＝.
eq \a\vs4\al()
三角函数式的化简技巧
(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．
(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
[跟踪训练4] (1)化简：＋(1＋tan2α)·cos2α＝__________．
解析：原式＝＋·cos2α＝＋·cos2α＝1＋1＝2.
答案：2
(2)化简：sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝________．
解析：设S＝sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°，①
则S＝sin289°＋sin288°＋sin287°＋…＋sin22°＋sin21°，
所以S＝cos21°＋cos22°＋cos23°＋…＋cos288°＋cos289°，②
①＋②得2S＝89，S＝44.5.
答案：44.5
　(对接教材例6、例7)求证：＝.
【证明】　方法一：左边
＝
＝＝
＝＝＝右边．
所以原等式成立．
方法二：因为(sin α－cos α＋1)cos α
＝sin αcos α＋cos α－(1－sin2α)
＝cosα(sin α＋1)－(1＋sin α)(1－sin α)
＝(1＋sin α)(cos α－1＋sin α)
＝(1＋sin α)(sin α＋cos α－1)，
且sin α＋cos α－1≠0，cos α≠0，
所以＝.
eq \a\vs4\al()
证明三角恒等式常用的方法
(1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简．
(2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子．
(3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异．
(4)变更命题法，如要证明＝，可证ad＝bc或证＝等．
(5)比较法，即设法证明“左边—右边＝0”或“＝1”．
[跟踪训练5] (1)求证：2cos2θ＋sin4θ＝cos4θ＋1；
证明：左边＝2cos2θ＋(sin2θ)2＝2cos2θ＋(1－cos2θ)2＝2cos2θ＋1－2cos2θ＋cos4θ＝cos4θ＋1＝右边，所以原等式成立．
(2)求证：＝.
证明：方法一：
左边＝
＝＝
＝＝右边．
所以原等式成立．
方法二：右边＝＝
＝
＝＝左边．
所以原等式成立．
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF"
1．如果角α的终边经过点(3，－2)，则＝(　　)
A．－ B．
C． D．－
解析：选A.由题可得tan α＝－，所以＝＝＝－，故选A.
2．(多选)(教材P150A组T1改编)已知θ∈(－，)，且sin θ＝，则关于θ表述正确的是(　　)
A．θ＝ B．cos θ＝－
C．tan θ＝ D．tan θ＝
解析：选AD.因为θ∈(－，)，且sin θ＝，所以θ∈(0，)，则θ＝，cos θ＝，tan θ＝.故选AD.
3．(教材P150T4改编)已知＝4，则tan θ＝____________．
解析：因为＝4，
所以＝4，
解得tan θ＝.
答案：
4．(1)化简：；
(2)证明：tan2αsin2α＝tan2α－sin2α.
解：(1)原式＝
＝＝cos2θ.
(2)证明：右边＝－sin2α
＝sin2α＝sin2α·＝sin2α·＝sin2αtan2α＝左边，所以原等式成立．
eq \a\vs4\al()
1．已学习：同角三角函数的基本关系式，利用同角三角函数的基本关系式求值、化简与证明．
2．须贯通：同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，在化简、求值时，灵活运用“切化弦”“弦化切”的技巧，运用由部分到整体、整体代换的方法．
3．应注意：运用平方关系求值时，角α的取值范围决定三角函数值的符号．