2．1　课后达标 检测（教师版）

INCLUDEPICTURE "课后达标检测LLL.TIF"
INCLUDEPICTURE "基础达标.TIF"
1．sin 15°＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：选B.sin 15°＝cos 75°＝cos(30°＋45°)＝cos 30°cos 45°－sin 30°sin 45°
＝×－×＝.故选B.
2．已知锐角α，β满足cos α＝，cos (α＋β)＝－，则cos β＝(　　)
A． B．－
C． D．－
解析：选A.因为α，β为锐角，cos α＝，cos (α＋β)＝－，所以sin α＝，sin (α＋β)＝.所以cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α＝－×＋×＝.故选A.
3．化简cos (α－β)cos β－sin (α－β)sin β＝(　　)
A．cos β B．cos α
C．cos (2α－β) D．cos (α－2β)
解析：选B.cos (α－β)cos β－sin (α－β)sin β＝cos [(α－β)＋β]＝cos α.故选B.
4．已知α，β为锐角，tan α＝，cos (α＋β)＝－，则2α＋β的值为(　　)
A． B．π
C． D．
解析：选B.因为α，β为锐角，tan α＝，cos (α＋β)＝－，且sin2α＋cos2α＝1，
所以sinα＝，cos α＝，sin (α＋β)＝，
所以cos (2α＋β)＝cos [α＋(α＋β)]＝cos α·cos (α＋β)－sin αsin (α＋β)＝×－×＝－1，又2α＋β∈，所以2α＋β＝π.故选B.
5．(多选)满足cos αcos β＝－sin αsin β的一组α，β的值是(　　)
A．α＝，β＝ B．α＝，β＝
C．α＝，β＝ D．α＝，β＝
解析：选BD.因为cos αcos β＝－sin α·sin β，所以cos αcos β＋sin αsin β＝，即cos (α－β)＝.当α＝，β＝时，可得α－β＝，cos (α－β)＝，所以A不符合题意；当α＝，β＝时，可得α－β＝， cos (α－β)＝，所以B符合题意；当α＝，β＝时，可得α－β＝， cos (α－β)＝，所以C不符合题意；当α＝，β＝时，可得α－β＝－，cos (α－β)＝，所以D符合题意．故选BD.
6.(多选)如图，在平面直角坐标系xOy中，角α，β的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，若点A，B的坐标分别为(，)和(－，)，则以下结论正确的是(　　)
A．cos α＝ B．cos β＝
C．cos (α＋β)＝0 D．cos (α－β)＝0
解析：选AD.由三角函数的定义可得cos α＝，sin α＝，cos β＝－，sin β＝，A正确，B错误；cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×(－)－×＝－，cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×(－)＋×＝0，C错误，D正确．故选AD.
7．已知sin α＝，α是第二象限角，则tan α＝______，cos (α＋60°)＝____________．
解析：因为sin α＝，α是第二象限角，所以cos α＝－，所以tan α＝＝－，
cos (α＋60°)＝cos αcos 60°－sin αsin 60°＝－×－×＝.
答案：－　
8．化简：cos 80°cos 140°－sin 100°sin 140°＝_________________.
解析：原式＝cos 80°cos 140°－sin 80°sin 140°
＝cos(140°＋80°)＝cos 220°＝－cos 40°
答案：－cos 40°
9．已知sin ＝，α∈，则cos ＝________．
解析：由α∈，得α＋∈.
因为sin ＝＜，所以α＋∈，则cos ＝－，
cos ＝cos
＝cos cos －sin sin
＝－×－×＝.
答案：
10．已知sin α＝，sin (α＋β)＝，0＜β＜＜α＜π.求：
(1)cos (α－)；
(2)cos (β＋).
解：(1)因为＜α＜π，
则cos α＝－＝－，
所以cos(α－)＝cos αcos ＋sin αsin
＝－×＋×＝.
(2)由(1)可得，cos ＝，因为<α<π，所以＜α－＜，所以sin (α－)＝ ＝.
因为0＜β＜＜α＜π，则α＋β∈(，)，
可得cos(α＋β)＝－＝－.
所以cos(β＋)＝cos [(α＋β)－(α－)]＝cos (α＋β)cos (α－)＋sin (α＋β)sin (α－)＝－×＋×＝.
INCLUDEPICTURE "能力提升.TIF"
11．(多选)在△ABC中，sin A＝，sin B＝，则cos (A＋B)的值可能为(　　)
A．－ B．
C．－ D．
解析：选BC.在△ABC中，sin A＝>sin B＝，即A>B，所以cos A＝±，cos B＝.
当cos A＝，cos B＝时，
cos (A＋B)＝cos A cos B－sin A sin B＝×－×＝；
当cos A＝－，cos B＝时，cos (A＋B)＝cos Acos B－sin A sin B＝－×－×＝－.故选BC.
12．(多选)已知α，β，γ∈，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则下列结论中正确的是(　　)
A．cos (β－α)＝
B．cos (β－α)＝－
C．β－α＝
D．β－α＝－
解析：选AC.由已知，得sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β.
两式分别平方相加，得(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝1，所以－2cos (β－α)＝－1，
所以cos (β－α)＝，所以A正确，B错误；
因为α，β，γ∈，
所以sin γ＝sin β－sin α＞0，所以β＞α，
所以β－α＝，所以C正确，D错误．故选AC.
13．化简：＝____________．
解析：原式＝
＝
＝
＝＝.
答案：
14．已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0<β<α<π.
(1)若|a－b|＝，求证：a⊥b；
(2)设c＝(0，1)，若a＋b＝c，求cos (α－β)的值.
解：(1)证明：a－b＝(cos α－cos β，
sin α－sin β)，故|a－b|
＝＝，
即cos2α－2cosαcos β＋cos2β＋sin2α－2sinαsin β＋sin2β＝2，化简得cosαcos β＋sin αsin β＝0，
即a·b＝0，故a⊥b.
(2)a＋b＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0，1)，
所以
两式平方相加得cos2α＋sin2α＋cos2β＋sin2β＋2cosαcos β＋2sin αsin β＝1，
故cos αcos β＋sin αsin β＝cos (α－β)＝－.
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15．若0＜α＜，－＜β＜0，cos (α＋)＝，cos (－)＝，则cos (α＋)＝________．
解析：因为0＜α＜，－＜β＜0，
所以＜α＋＜，＜－＜，
因为cos (α＋)＝，cos (－)＝，
所以sin (α＋)＝ ＝，sin (－)＝ ＝，所以cos (α＋)＝cos [(α＋)－(－)] ＝cos (α＋)cos (－)＋sin (α＋)sin (－)＝×＋×＝.
答案：
16．已知cos (2α－β)＝－，sin (α－2β)＝，且＜α＜，0＜β＜，求α＋β的值．
解：因为＜α＜，0＜β＜，
所以＜2α－β＜π.
因为cos (2α－β)＝－＜0，
所以＜2α－β＜π，
所以sin (2α－β)＝.
因为＜α＜，0＜β＜，
所以－＜α－2β＜.
因为sin (α－2β)＝＞0，
所以0＜α－2β＜，
所以cos (α－2β)＝，
所以cos (α＋β)＝cos [(2α－β)－(α－2β)]
＝cos (2α－β)cos (α－2β)＋sin (2α－β)sin (α－2β)＝－×＋×＝0.
因为＜α＜，0＜β＜，
所以＜α＋β＜，所以α＋β＝.