2．1　两角和与差的余弦公式及其应用（教师版）

§2　两角和与差的三角函数公式
2．1　两角和与差的余弦公式及其应用
1.能利用三角函数的定义和向量知识推导出两角和与差的余弦公式．　2.熟记两角和与差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算．
INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
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同学们，大家知道求一个任意角的三角函数值，我们可以利用诱导公式将它转化为锐角的三角函数值，再通过查表或使用计算器，就可以得出相应的三角函数值，但在实际应用中，我们将会遇到这样一类问题：已知α，β的三角函数值，求α－β的三角函数值，为此，我们需要有解决此类问题的办法及相应的计算公式．
思考1　cos 15°＝cos (45°－30°)＝cos 45°－cos 30°成立吗？
提示：不成立．cos 15°>0，cos 45°－cos 30°＝－<0，则cos 15°≠cos 45°－cos 30°.
思考2　已知角α的终边与圆心在原点的单位圆的交点为P，请写出点P的坐标．
提示：P(cos α，sin α).
思考3　观察下图，并阅读教材P152以及右下角的注解部分，分组讨论，你能得到哪些结论？
提示：A(1，0)，P(cos (α－β)，sin (α－β))，A1(cos β，sin β)，P1(cos α，sin α).根据圆的旋转对称性，易知AP＝A1P1.
cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.(Cα＋β)
cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.(Cα－β)
角度1　　给角求值
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(1)cos 47°cos 137°＋sin 47°sin 137°＝(　　)
A．0 B．1
C．－1 D．
(2)sin 20°cos 40°＋sin 70°sin 40°＝(　　)
A． B．
C． D．
【解析】　(1)cos 47°cos 137°＋sin 47°sin 137°＝cos (137°－47°)＝cos 90°＝0.故选A.
(2)由题知，sin 20°＝sin (90°－70°)＝cos 70°.
原式＝cos 70°cos 40°＋sin 70°sin 40°＝cos (70°－40°)＝cos 30°＝，故选D.
【答案】　(1)A　(2)D
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
解决给角求值问题的方法
(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角函数公式的形式，则整体变形，否则进行局部变形．
(2)一般将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时需要逆用或变形公式．
[跟踪训练1] (1)cos 15°＋sin 15°的值为(　　)
A． B．－
C． D．－
解析：选A.cos 15°＋sin 15°＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°＝cos (60°－15°)＝cos 45°＝.故选A.
(2)求下列各式的值：
①cos ；
②cos cos －cos sin .
解：①cos ＝cos ＝－cos
＝－cos ＝－cos
＝－
＝－
＝－.
②原式＝cos cos －cos sin
＝cos cos －sin sin
＝cos
＝cos ＝－.
角度2　给值求值
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(对接教材例2)(1)已知cos α＝，α是第四象限角，sin β＝，β是第二象限角，求cos (α－β)的值；
(2)已知α，β∈(0，)，且sin α＝，cos (α＋β)＝－，求cos β的值．
【解】　(1)由题意可知sin α＝－＝－，cosβ＝－＝－，所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－－＝－.
(2)由题意可知0＜α＋β＜π，所以sin (α＋β)＝＝，且cosα＝，
所以cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α＝－×＋×＝.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
给值求值问题的解题策略
(1)从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角变换．
(2)常见角的变换：①α＝(α－β)＋β；②α＝＋；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β).
[跟踪训练2] (1)已知sin α＝，α∈(，π)，则cos (－α)的值为(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
解析：选B.因为sin α＝且α∈(，π)，所以cos α＝－，所以cos (－α)＝cos cos α＋sin sin α＝－.故选B.
(2)已知cos α＝，cos (α－β)＝且0<β<α<，则cos β＝________．
解析：因为0<β<α<，
所以0<α－β<.
因为cos α＝，所以sin α＝＝，
又cos(α－β)＝，
所以sin (α－β)＝＝，
所以cosβ＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos (α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝.
答案：
角度3　　给值求角
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　已知sin α＝，且cos (α－β)＝，0＜β＜α＜，求角β的值．
【解】　因为sin α＝，0＜α＜，
所以cos α＝＝＝，
因为0＜β＜α＜，
所以0＜α－β＜，
又cos (α－β)＝，
所以sin (α－β)＝
＝＝，
所以cosβ＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β)＝×＋×＝，
因为0＜β＜，所以β＝.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
已知三角函数值求角的解题步骤
(1)根据条件确定所求角的范围；
(2)求出所求角的某个三角函数值，为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数；
(3)结合三角函数值及角的范围求角．
[注意]　由三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案．
[跟踪训练3] 已知cos (α＋β)＝－，tan (π＋α)＝3，其中α，β为锐角．求：
(1)sin α的值；
(2)β的值．
【解】　(1)因为α，β为锐角，tan (π＋α)＝tan α＝3，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(＝3，,sin2α＋cos2α＝1，))解得
(2)因为0＜α＜，0＜β＜，
所以0＜α＋β＜π，由cos (α＋β)＝－可得sin (α＋β)＝＝，
所以cos β＝cos [(α＋β)－α]
＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α
＝－×＋×＝＝，
因为β∈(0，)，所以β＝.
INCLUDEPICTURE "例4LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(1)cos 24°cos 36°－sin 24°cos 54°＝(　　)
A．cos 12° B．－cos 12°
C．－ D．
(2)求值：cos 40°＋cos 80°＋cos 160°＝________．
【解析】　(1)cos 24°cos 36°－sin 24°·cos 54°＝cos 24°·cos 36°－sin 24°·sin 36°＝cos (24°＋36°)＝cos 60°＝.故选D.
(2)cos 40°＋cos 80°＋cos 160°
＝cos (60°－20°)＋cos (60°＋20°)＋cos (180°－20°)
＝cos 60°cos 20°＋sin 60°sin 20°＋cos 60°cos 20°－sin 60°sin 20°－cos 20°
＝2cos 60°cos 20°－cos 20°＝cos 20°－cos 20°＝0.
【答案】　(1)D　(2)0
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
化简含有非特殊角的三角函数式时，要学会观察非特殊角之间的关系，一般就是根据条件合理拆角，查看两个非特殊角的和与差是否是特殊角，构造特殊角是解决这类问题的突破口．
[跟踪训练4] (1)求值：＝______．
解析：原式＝
＝
＝＝cos 30°＝.
答案：
(2)求值：－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°＝________．
解析：原式＝－sin (180°－13°)sin (180°＋43°)＋sin (180°＋77°)·sin(360°－47°)
＝sin 13°sin 43°＋sin 77°sin 47°
＝sin 13°sin 43°＋cos 13°cos 43°
＝cos(13°－43°)＝cos(－30°)＝.
答案：
INCLUDEPICTURE "例5LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../例5LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　在平面直角坐标系xOy中，点P(x0，y0)在单位圆O上，设∠xOP＝α，且α∈(，).若sin (α＋)＝，则x0的值为(　　)
A． B．－
C． D．－
【解析】　因为α∈(，)，所以α＋∈(，π)，
因为sin (α＋)＝，所以cos (α＋)＝－，
则x0＝cos α＝cos ＝cos (α＋)cos ＋sin (α＋)sin ＝－×＋×＝－.
故选B.
【答案】　B
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
两角和与差的余弦公式常常与三角函数的定义、两点间的距离公式、三角形以及平面向量等知识点综合考查，是两角和与差的余弦公式应用的基础题型，解决此类问题只需牢记公式结构，熟悉解题通性通法．
[跟踪训练5] 设A，B为锐角三角形ABC的两个内角，向量a＝(2cos A，2sin A)，b＝(3cos B，3sin B)，若a，b的夹角为，则A－B＝_____________．
解析：由题意得，cos ＝
＝
＝cos A cos B＋sin A sin B＝cos (A－B)＝，
因为A，B∈(0，)，所以－所以A－B＝±.
答案：±
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1．cos 的值是(　　)
A． B．
C． D．
解析：选C.cos ＝cos ＝cos cos ＋sin sin ＝×＋×＝.故选C.
2．(多选)(教材P154T2改编)若sin α＝，则cos (－α)的值可能为(　　)
A．－ B．－
C． D．－
解析：选BC.因为sin α＝，所以cos α＝±，当cos α＝时，cos (－α)＝cos cos α＋sin sin α＝×＋×＝；当cos α＝－时，cos (－α)＝cos cos α＋sin sin α＝×(－)＋×＝－.故选BC.
3．求值：＝____________．
解析：原式＝
＝
＝＝.
答案：
4．在△ABC中，已知cos A＝，cos B＝，则cos C＝________．
解析：在△ABC中，A＋B＋C＝π，故A，B，C∈(0，π)，因为cos A＝，cos B＝，所以sin A＝＝，sinB＝＝，所以cosC＝cos (π－A－B)＝－cos (A＋B)＝sin A sin B－cos A cos B＝×－×＝－.
答案：－
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT )
1．已学习：两角和与差的余弦公式的推导；给角求值、给值求值、给值求角．
2．须贯通：两角和与差的余弦公式既可正用，也可逆用，结合题设条件，将未知的角分解为已知角的和或差，再利用公式求解．
3．应注意：(1)两角和与差的余弦公式的结构特征；
(2)给值求角问题中角的范围．