2．2　课后达标 检测（教师版）

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INCLUDEPICTURE "基础达标.TIF"
1.＝(　　)
A．－ B．1 C． D．2
解析：选A.原式＝
＝
＝＝－.
故选A.
2．若＝，则tan (α＋)＝(　　)
A．－ B．
C．－2 D．2
解析：选B.由＝＝＝tan .故选B.
3．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴非负半轴，终边过点P(－3，1)，则sin ＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
解析：选A.因为角θ的终边过点P(－3，1)，所以sin θ＝＝，cos θ＝＝－，所以sin ＝sin cos θ－cos sin θ＝×－×＝－.故选A.
4．已知tan α＝2，tan (α＋β)＝－1，则＝(　　)
A． B． C．2 D．
解析：选D.由题tan β＝tan [(α＋β)－α]＝＝＝3，
所以＝
＝＝＝.故选D.
5．(多选)下列化简结果正确的是(　　)
A．sin 105°＝
B．＝
C．cos 22°sin 52°－sin 22°cos 52°＝－
D．sin －cos ＝－
解析：选BD. 对于A，sin 105°＝sin (60°＋45°)
＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°
＝×＋×＝，故A错误；
对于B，＝tan (24°＋36°)
＝tan 60°＝，故B正确；
对于C，cos 22°sin 52°－sin 22°cos 52°＝sin (52°－22°)＝sin 30°＝，故C错误；
对于D，sin －cos ＝2(sin －cos )
＝2(cos sin －sin cos )＝2sin (－)＝2sin (－) ＝－2sin ＝－，故D正确．故选BD.
6．(多选)已知锐角α，β满足＝sin (2α＋β)，则下列选项正确的是(　　)
A．sin 2α＝sin β
B．sin 2α＝cos β
C．cos 2α＝sin β
D．cos 2α＝－cos β
解析：选BC.由题意，得sin [(2α＋β)＋α]＝sin (2α＋β)cos α＋cos (2α＋β)sin α＝sin (2α＋β)cos α，所以cos (2α＋β)sin α＝0.又α，β是锐角，故sin α≠0，所以cos (2α＋β)＝0，因为0<2α＋β<，所以2α＋β＝，即2α＝－β，所以sin 2α＝cos β，cos 2α＝sin β.故选BC.
7.＝________．
解析：
＝
＝
＝＝sin 30°＝.
答案：
8．计算：tan 73°－tan 193°－tan 73°tan 13°＝____________．
解析：原式＝tan 73°－tan 13°－tan 73°·tan 13°＝tan (73°－13°)(1＋tan 73°tan 13°)－tan 73°·tan 13°＝.
答案：
9．已知角α，β满足0<α<，<β<，cos (＋α)＝，sin (＋β)＝，则sin (α－β)＝________．
解析：因为0<α<，则<α＋<，因为<β<，则<β＋<π，
所以sin (＋α)＝
＝，cos(＋β)＝－
＝－，则sin(α－β)＝sin ＝sin (α＋)·cos (β＋)－cos (α＋)sin (β＋)
＝×(－)－×＝－.
答案：－
10．在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P(－，)，角α的终边逆时针旋转得到角β的终边．求：
(1)tan β的值；
(2)sin (α－β)的值．
解：(1)由题意，tan α＝－，β＝α＋，
所以tan β＝tan (α＋)＝
＝＝－.
(2)因为OP＝＝1，
则sin α＝，cos α＝－.
sin β＝sin (α＋)＝(sin α＋cos α)＝，
cos β＝cos (α＋)＝(cos α－sin α)＝－，所以sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝×(－)－(－)×＝－.
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11．在△ABC中，3sin A＋4cos B＝6，3cos A＋4sin B＝1，则C的大小为(　　)
A． B．
C．或 D．或
解析：选A.由题知
由①2＋②2得9＋16＋24sin (A＋B)＝37，
则sin (A＋B)＝，所以在△ABC中，sin C＝，所以C＝或C＝.若C＝，则A＋B＝，又1－3cos A＝4sin B>0，
所以cos A<，又<，
所以A>，不符合题意．
所以C＝.故选A.
12．(多选)已知α∈(，π)，角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，若sin (α＋)＝－，则下列点在角α的终边上的是(　　)
A．(－3，4) B．(－4，3)
C．(－6，8) D．(－8，6)
解析：选BD.因为α∈(，π)，所以α＋∈(，)，则cos (α＋)＝－，即tan (α＋)＝，所以tan α＝tan [(α＋)－]＝＝－，选项A，C中，tan α＝－，故A，C不符合题意；选项B，D中，tan α＝－，故B，D符合题意．故选BD.
13．已知tan (α－β)＝，tan β＝－，α，β∈(0，π)，则2α－β的值是________．
解析：因为tan β＝－，tan (α－β)＝，
所以tan α＝tan [(α－β)＋β]＝
＝＝，tan (2α－β)＝tan [(α－β)＋α]
＝＝＝1.
因为tan α＝>0，tan β＝－<0，所以α∈，β∈，所以α－β∈(－π，0).又因为tan (α－β)＝>0，所以α－β∈，2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0).又tan (2α－β)＝1，所以2α－β＝－.
答案：－
14．(1)已知角α，β∈(0，π)，tan (α＋β)＝，cos β＝，求tan (2α＋β)的值；
(2)已知＜α＜，0＜β＜，且cos (－α)＝，sin (＋β)＝，求sin (α＋β)的值．
解：(1)因为角α，β∈(0，π)，由cos β＝得sin β＝＝，则tanβ＝＝，
所以tan α＝tan [(α＋β)－β]
＝＝＝，
所以tan (2α＋β)＝tan [(α＋β)＋α]
＝＝＝1.
(2)因为＜α＜，所以－＜－α＜－，
则－＜－α＜0，所以sin (－α)
＝－＝－，
又因为0＜β＜，所以＜β＋＜，
所以cos(＋β)＝＝，
所以sin(α＋β)＝sin [(＋β)－(－α)]
＝sin (＋β)cos (－α)－cos (＋β)sin (－α)
＝×＋×＝.
INCLUDEPICTURE "素养拓展.TIF"
15．在△ABC中，tan B＝4tan A，则当B－A取最大值时，sin C＝________．
解析：由在△ABC中，tan B＝4tan A，
知tan A>0，0tan (B－A)＝＝
＝≤，
当且仅当4tan2A＝1，即tanA＝时取等号，
因为y＝tan x在(0，)上单调递增，
所以当tan A＝时B－A取最大值，且tan B＝2，
所以tan A tan B＝＝1，
即sin A sin B＝cos A cos B，得cos (A＋B)＝0，
所以A＋B＝，sin (A＋B)＝sin (π－C)＝sin C＝1，所以 sin C＝1.
答案：1
16．是否存在锐角α，β，使得①α＋2β＝，②tan tan β＝2－同时成立？若存在，求出锐角α，β的值；若不存在，请说明理由．
解：假设存在锐角α，β使得①α＋2β＝，
②tan tan β＝2－同时成立．
由①得＋β＝，
所以tan ＝＝.
又因为tan tan β＝2－，
所以tan ＋tan β＝3－.
因为tan ，tan β可以看成方程
x2－(3－)x＋2－＝0的两个根，设方程的两根分别为x1，x2，
解得x1＝1，x2＝2－.
若tan ＝1，则α＝，这与α为锐角矛盾．
若tan ＝2－，tan β＝1，
则β＝，又因为＋β＝，所以α＝.
综上，满足条件的α，β存在，且α＝，β＝.