2．2　两角和与差的正弦、正切公式及其应用（教师版）

2．2　两角和与差的正弦、正切公式及其应用
1.能利用两角和与差的余弦公式及诱导公式推导两角和与差的正弦公式．　2.能利用两角和与差的余弦公式、正弦公式推导两角和与差的正切公式．　3.能利用两角和与差的三角函数公式进行简单的化简、求值等．
INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
同学们，大家知道川剧中的“变脸”表演吗？其神奇的表演让观众叹为观止，在三角函数中也有这样的“表演者”，上一节我们学习的两角和与差的余弦公式就是这样的“表演者”之一，今天我们就利用两角和与差的余弦公式的“变脸”，对公式进一步拓展．
思考　你能把两角和与差的正弦用两角和与差的余弦公式和诱导公式表示出来吗？
提示：sin ＝cos [－]
＝cos ，sin
＝cos
＝cos .
两角和与差的正弦、正切公式
名称 公式 简记符号 条件
两角和的正弦 sin (α＋β)＝________________________ Sα＋β α，β为任意角
两角差的正弦 sin (α－β)＝________________________ Sα－β
两角和的正切 tan (α＋β)＝________________ Tα＋β α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)
两角差的正切 tan (α－β)＝________________ Tα－β α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)
[答案自填] sin αcos β＋cos αsin β　sin αcos β－cos αsin β　　
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(1)＝(　　)
A．－ B．
C． D．1
(2)求值：＝________．
【解析】　(1)因为cos 85°＝sin 5°，
所以＝
＝＝＝.故选C.
(2)＝
＝tan (－)＝tan (－)
＝－tan ＝－.
【答案】　(1)C　(2)－
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
解决给角求值问题的方法
(1)一看“角”，首先要清楚题目中有几个角，如果有多个角度，可以考虑先统一角度；其次看已知条件和要求的式子中的角度，是否存在等量关系．
(2)二看“名”，即函数名称．看题目中正弦、余弦、正切，考虑变函数名，如用诱导公式将正弦余弦相互转化．
(3)三看“结构”，即看式子的结构特征，包括整体特征和局部特征，根据特征联想合适的式子．
[跟踪训练1] (1)tan 87°＋tan 48°－tan 87°tan 48°的值为(　　)
A．－1 B．1
C． D．
解析：选A.87°＋48°＝135°，令α＝87°，β＝48°，则tan (α＋β)＝tan 135°＝＝－1，所以tan α＋tan β－tan αtan β＝－1，即tan 87°＋tan 48°－tan 87°tan 48°＝－1.故选A.
(2)计算：sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝_________．
解析：原式＝sin 14°cos 16°＋sin(90°－14°)·cos(90°－16°)
＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°
＝sin＝sin 30°＝.
答案：
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(1)(对接教材例3)若α∈(0，)，且cos (α－)＝，则sin α的值为(　　)
A． B．
C． D．
(2)(对接教材例4)已知tan (α＋β)＝2，tan (α－β)＝4，则tan 2α＝________．
(3)已知0＜α＜＜β＜π，cos β＝－，sin (α＋β)＝，则tan α＝________．
【解析】　(1)因为α∈(0，)，
所以α－∈(－，)，
又因为cos (α－)＝＜cos (－)＝，
所以α－∈(，)，
所以sin (α－)＝＝，
则sinα＝sin [(α－)＋]＝sin (α－)＋cos (α－)＝.故选A.
(2)tan 2α＝tan [(α＋β)＋(α－β)]
＝＝－.
(3)由题意，sin β＝＝，且＜α＋β＜，故cos(α＋β)＝－＝－.
故sinα＝sin [(α＋β)－β]
＝sin (α＋β)cos β－cos (α＋β)sin β
＝×(－)－(－)×＝.故cos α＝＝，tan α＝＝＝.
【答案】　(1)A　(2)－　(3)
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
解决给值求值问题的策略
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后运用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
[跟踪训练2] (1)若cos α＝－，α∈，则sin ＝____________．
解析：因为cos α＝－，α∈，
所以sin α＝＝＝，
所以sin＝sin αcos ＋cos αsin ＝×＋×＝.
答案：
(2)若＝3，tan (α＋β)＝3，则tan β＝______．
解析：＝＝3，即tan α＝2，故tan β＝tan (α＋β－α)＝＝＝.
答案：
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(1)已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，则α－β＝________．
(2)若α，β∈(－，)，且tan α，tan β是方程x2＋4x＋5＝0的两个根，则α＋β＝________．
【解析】　(1)因为α，β均为锐角，且sin α＝，cos β＝，所以cos α＝，sin β＝，
所以sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝－，
又因为α，β均为锐角，
所以－<α－β<，
所以α－β＝－.
(2)由韦达定理可得tan α＋tan β＝－4，tan αtan β＝5，
所以tan (α＋β)＝＝＝，
因为α，β∈(－，)，且tan α＜0，tan β＜0，
所以α，β∈(－，0)，则α＋β∈(－π，0)，
所以α＋β＝－.
【答案】　(1)－　 (2)－
【变式探究】
(综合变式)本例(1)条件“sin α＝”变为“sin α＝”，其他条件不变，则α＋β＝________．
解析：因为α，β为锐角，sin α＝，cos β＝，
所以cos α＝，sin β＝，所以cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝－.又因为0<α＋β<π，所以α＋β＝.
答案：
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
解决给值求角问题的方法
解决此类题目的关键是求出所求角的某个三角函数值，而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定，当所求角的范围是(0，π)或(π，2π)时，选取求余弦值，当所求角的范围是(，)或(－，)时，选取求正弦值．
[跟踪训练3] (1)如图，有三个相同的正方形相接，若∠ABC＝α，∠ACD＝β，则α＋β＝(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
解析：选B.设正方形的边长为1，由题图可得tan α＝，tan β＝，则tan (α＋β)＝＝1，又0＜α＋β＜π，所以α＋β＝.故选B.
(2)已知α为钝角，β为锐角，且满足cos α＝－，sin β＝，则α－β＝________．
解析：由题意知，sin α＝，cos β＝，且0＜α－β＜π，所以cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－×＋×＝－.所以α－β＝.
答案：
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1．若tan α＝3，tan β＝5，则tan (α－β)的值为(　　)
A．－ B．－
C． D．－
解析：选A.tan (α－β)＝＝＝－，故选A.
2．(多选)下列式子正确的是(　　)
A．sin 158°cos 48°＋cos 22°sin 48°＝1
B．sin 20°cos 110°＋cos 160°sin 70°＝1
C．＝
D．sin 14°cos 74°－cos 14°sin 74°＝－
解析：选CD.对于A，易得sin 158°cos 48°＋cos 22°·sin 48°＝sin 22°cos 48°＋cos 22°sin 48°＝sin (22°＋48°)＝sin 70°≠1，故A错误；对于B，sin 20°cos 110°＋cos 160°sin 70°＝sin 20°·(－cos 70°)＋(－cos 20°)sin 70°＝－sin (20°＋70°)＝－1≠1，故B错误；对于C，＝＝tan (45°＋15°)＝tan 60°＝，故C正确；对于D，sin 14°cos 74°－cos 14°·sin 74°＝sin (14°－74°)＝－sin 60°＝－，故D正确．故选CD.
3．在△ABC中，tan A＝，tan B＝－2，则角C＝__________．
解析：tan (A＋B)＝＝＝－1，因为A＋B∈，所以A＋B＝，所以C＝π－(A＋B)＝.
答案：
4．已知α∈(0，π)，β∈(0，π)，sin (α－β)＝，＝－5，求α＋β的值．
解：由sin (α－β)＝，得sin αcos β－cos αsin β＝，由＝－5，得sin αcos β＝－5cos αsin β，于是sin αcos β＝，cos αsin β＝－，而α∈(0，π)，β∈(0，π)，显然sin α＞0，sin β＞0，则cos α＜0，cos β＞0，即α∈(，π)，β∈(0，)，于是α＋β∈(，)，又sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝＋(－)＝，所以α＋β＝.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT )
1．已学习：两角和与差的正弦、正切公式的正用、逆用、变形用；给角求值、给值求值、给值求角．
2．须贯通：利用和角、差角公式求值(化简)时，关键是找出已知式子与待求式子之间的联系及函数名称和结构的差异，弄清已知角与所求角之间的关系，恰当的运用拆角、拼角技巧，化异角为同角．
3．应注意：(1)两角和与差的正弦、正切公式的结构特征；(2)给值求角问题中角的范围．