2．3　课后达标 检测（教师版）

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1．函数f(x)＝sin x－cos 的值域为(　　)
A．[－2，2] B．[－，]
C．[－1，1] D．
解析：选B.因为f(x)＝sin x－cos ＝sin x－cos x＋sin x＝sin x－cos x＝sin ，所以f(x)的值域为[－，].故选B.
2．计算：cos ＋sin ＝(　　)
A． B．2 C．2 D．
解析：选B.cos ＋sin
＝2
＝2
＝2sin ＝2sin ＝2.故选B.
3．若f(x)＝cos x－sin x在[0，a]上单调递减，则a的最大值是(　　)
A． B．
C． D．π
解析：选C.f(x)＝cos x－sin x＝cos .当x∈[0，a]时，x＋∈，所以结合题意可知，4．已知f(x)＝sin －cos ，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 023)的值为(　　)
A．2 B．
C．1 D．0
解析：选B.因为f(x)
＝sin －cos ＝
2sin ＝2sin x，
所以f(x)的一个周期为6，且f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝0，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 023)＝f(2 023)＝f(1)＝.故选B.
5．(多选)已知cos α－cos (α＋)＝，则α的可能取值为(　　)
A．0 B． C． D．
解析：选AD.由cos α－cos (α＋)＝，得cos α＋sin α＝，即sin (α＋)＝，所以α＋＝2kπ＋，k∈Z或α＋＝2kπ＋，k∈Z，即α＝2kπ，k∈Z或α＝2kπ＋，k∈Z.当k＝0时，α＝0或α＝.故选AD.
6．(多选)将函数y＝sin 2x＋cos 2x的图象沿x轴向左平移φ个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的值可以是(　　)
A． B． C． D．
解析：选AC.由已知y＝sin 2x＋cos 2x＝2sin (2x＋)，其图象沿x轴向左平移φ个单位长度后，得到y＝2sin ＝2sin (2x＋2φ＋)的图象．因为y＝2sin (2x＋2φ＋)为偶函数，所以2φ＋＝＋kπ，k∈Z，即φ＝＋，k∈Z.当k＝0时，φ＝，当k＝1时，φ＝.故选AC.
7．把y＝sin ＋cos 2x化成y＝A sin (ωx＋φ)(A，ω>0，0≤φ<2π)的形式：__________．
解析：y＝sin ＋cos 2x＝－cos 2x＋sin 2x＋cos 2x＝cos 2x＋sin 2x＝sin (k∈Z)，因为0≤φ<2π，所以y＝sin .
答案：y＝sin
8．函数f(x)＝sin 2x sin －cos 2x cos 在上的单调递增区间为____________．
解析：f(x)＝sin 2x sin －cos 2x cos ＝sin 2x sin ＋cos 2x cos ＝cos .当2kπ－π≤2x－≤2kπ(k∈Z)，即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)时，函数f(x)单调递增．取k＝0，得－≤x≤，故函数f(x)在上的单调递增区间为.
答案：
9．已知sin x＋3cos x＝2sin (x＋φ)，φ∈(－π，π)，则sin 2φ＝__________．
解析：sin x＋3cos x＝2＝2sin ＝2sin (x＋φ)，所以x＋＝x＋φ＋2kπ(k∈Z)，又因为φ∈(－π，π)，所以φ＝，所以sin 2φ＝sin ＝sin ＝.
答案：
10．已知函数f(x)＝cos －sin (ω>0).
(1)求f(x)的最小值；
(2)若函数y＝f(x)图象的两个相邻对称轴之间的距离为， 求其单调递增区间．
解：(1)因为f(x)＝cos －sin ＝cos ωx＋sin ωx－cos ωx＝sin ωx－cos ωx＝sin ，
所以f(x)的最小值为－1.
(2)由题意知f(x)的最小正周期为π，
即＝π，得ω＝2，
所以f(x)＝sin .
令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间为
，k∈Z.
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11．已知函数f(x)＝sin (2ωx＋φ)＋cos (2ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)，若f(x)的最小正周期为π，且f(－x)＝－f(x)，则f(x)的解析式为(　　)
A．f(x)＝－sin 2x
B．f(x)＝sin 2x
C．f(x)＝－cos 2x
D．f(x)＝cos 2x
解析：选A.由三角函数的叠加公式可得f(x)＝sin ，因为f(x)的最小正周期为π，所以2ω＝＝＝2，解得ω＝1，则f(x)＝sin .又因为f(－x)＝－f(x)，即f(x)为奇函数，所以φ＋＝kπ(k∈Z)，即φ＝kπ－(k∈Z).又因为0<φ<π，则令k＝1，得φ＝，所以f(x)＝sin (2x＋π)＝－sin 2x.故选A.
12．若a＝sin 14°－cos 14°，b＝sin 16°－cos 16°，c＝－，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a＞c＞b B．a＞b＞c
C．b＞c＞a D．b＞a＞c
解析：选C.a＝sin 14°－cos 14°＝sin(14°－45°)＝－sin 31°，b＝sin 16°－cos 16°＝sin (16°－45°)＝－sin 29°，c＝－＝－sin 30°，由于y＝sin x(0°＜x＜90°)单调递增，所以sin 29°＜sin 30°＜sin 31°，所以b＞c＞a.故选C.
13．关于函数f(x)＝cos (2x－)＋cos (2x＋)，有下列命题：①其最大值为2；②其最小正周期为π；③在(，)上单调递减；④将函数y＝cos 2x的图象向左平移个单位长度后将与已知函数图象重合. 其中正确的命题是________．(填序号)
解析：f(x)＝cos (2x－)＋cos (2x＋)＝cos (2x＋－)＋cos (2x＋)
＝sin (2x＋)＋cos (2x＋)
＝
＝sin (2x＋＋)
＝sin (2x＋)，
所以函数f(x)的最大值是，①错误；最小正周期T＝＝＝π，②正确；当x∈(，)时，2x＋∈(，)，所以此时f(x)单调递减，③正确；将函数y＝cos 2x的图象向左平移个单位长度后得到的函数图象的解析式为y＝cos 2(x＋)＝cos (2x＋)＝sin (2x＋)，与f(x)的图象不重合，④错误．
答案：②③
14．已知函数y＝－a cos 2x－a sin 2x＋2a＋b，x∈，若函数的值域是[－5，1]，求常数a，b的值．
解：y＝－a(cos 2x＋sin 2x)＋2a＋b
＝－2a＋2a＋b
＝－2a cos ＋2a＋b.
因为x∈，所以2x－∈.
所以≤cos ≤1.
当a＞0时，ymax＝－2a×＋2a＋b＝1，①
ymin＝－2a×1＋2a＋b＝－5.②
由①②解得a＝6，b＝－5.
当a＝0时，y＝b与值域为[－5，1]矛盾，所以a≠0.
当a＜0时，ymax＝－2a×1＋2a＋b＝1，③
ymin＝－2a×＋2a＋b＝－5.④
由③④解得a＝－6，b＝1.
综上所述，或
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15．(多选)已知a＝(cos θ，sin θ)，b＝(cos φ，sin φ)，则下列选项中可能成立的是(　　)
A．|a＋b|＝|a－b|
B．|a－b|＝1
C．(a＋b)·(a－b)＝1
D．|4a－5b|＝6
解析：选ABD.a＋b＝(cos θ＋cos φ，sin θ＋sin φ)，a－b＝(cos θ－cos φ，sin θ－sin φ)，|a＋b|2＝(cos θ＋cos φ)2＋(sin θ＋sin φ)2＝2＋2(cos θcos φ＋sin θsin φ)＝2＋2cos (θ－φ)，|a－b|2＝(cos θ－cos φ)2＋(sin θ－sin φ)2＝2－2(cos θcos φ＋sin θsin φ)＝2－2cos (θ－φ)，若θ＝φ＋，此时|a＋b|2＝|a－b|2＝2，故|a＋b|＝|a－b|，故A可能成立；若θ＝φ＋，此时|a－b|2＝1，|a－b|＝1，故B可能成立；(a＋b)·(a－b)＝cos2θ－cos2φ＋sin2θ－sin2φ＝(cos2θ＋sin2θ)－(cos2φ＋sin2φ)＝1－1＝0，故C一定不成立；|4a－5b|2＝(4cosθ－5cos φ)2＋(4sin θ－5sin φ)2＝16＋25－40(cos θcos φ＋sin θsin φ)＝41－40cos (θ－φ)，当cos (θ－φ)＝时，|4a－5b|2＝36，故|4a－5b|＝6，故D可能成立．故选ABD.
16．已知函数f(x)＝sin 2x－cos 2x.
(1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间；
(2)设△ABC的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f(＋)＝1，且a＝2，求b＋c的取值范围．
解：(1)f(x)＝sin 2x－cos 2x＝sin (2x－)，则T＝＝π，函数f(x)的最小正周期为π.
当＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z时，f(x)单调递减，即＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以f(x)的单调递减区间为
(k∈Z).
(2)因为f(＋)＝1，所以sin (A＋)＝1，
因为A∈(0，π)，所以A＝，因为a＝2，
则由正弦定理可得b＝＝，c＝，所以b＋c＝(sin B＋sin C)＝[sin B＋sin (A＋B)]＝sin B＋sin (＋B)＝sin B＋·＝(sin B＋cos B)＝4sin (B＋)，因为A＝，所以B∈(0，)，所以B＋∈(，)，所以sin (B＋)∈，则4sin (B＋)∈(2，4]，所以b＋c的取值范围为(2，4].