2．4　积化和差与和差化积公式（教师版）

2．4　积化和差与和差化积公式
1.了解利用两角和与差的正弦、余弦公式推导积化和差、和差化积公式的过程．　2.会用积化和差、和差化积公式求值、化简和证明．
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和差化积公式最早出现在法国数学家韦达(1540～1603)写的三角学著作《应用于三角形的数学定律》中，他还发现我们熟知的韦达定理．韦达不仅是代数学家，而且也是三角学家，更难得的是他能用三角知识求解代数方程．同学们，好好学习三角函数知识，理解它们的逻辑脉络，达到综合贯通的目的．
思考1　利用Cα±β公式，表示出cos αcos β及sin αsin β.
提示：cos αcos β＝[cos (α＋β)＋cos (α－β)]；sin αsin β＝－[cos (α＋β)－cos (α－β)].
思考2　利用Sα±β公式，表示出sin αcos β及cos αsin β.
提示：sin αcos β＝[sin (α＋β)＋sin (α－β)]；
cos αsin β＝[sin (α＋β)－sin (α－β)].
cos αcos β＝__________________；
sin αsin β＝____________________；
sin αcos β＝____________________；
cos αsin β＝____________________．
[答案自填] [cos (α＋β)＋cos (α－β)]
－[cos (α＋β)－cos (α－β)]　[sin (α＋β)＋sin (α－β)]　[sin (α＋β)－sin (α－β)]
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　把下列各式化为和差形式：
(1)sin αsin 3α；
(2)cos (α＋β)cos (α－β)；
(3)sin cos .
【解】　(1)sin αsin 3α
＝－[cos (α＋3α)－cos (α－3α)]
＝－(cos 4α－cos 2α)
＝cos 2α－cos 4α.
(2)cos (α＋β)cos (α－β)
＝{cos [(α＋β)＋(α－β)]＋cos [(α＋β)－(α－β)]}＝(cos 2α＋cos 2β)
＝cos 2α＋cos 2β.
(3)sin cos
＝
＝[cos (A＋B)＋sin (A－B)]
＝cos (A＋B)＋sin (A－B).
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
(1)积化和差公式的记忆口决：积化和差得和差，余弦在后要相加，异名函数取正弦，正弦相乘取负号．
(2)积化和差公式可以将两个三角函数值的积化为另两个三角函数值的和或差乘常数的形式，所以使用积化和差公式可以达到降次的效果．
[跟踪训练1] 计算：cos 10°cos 30°cos 50°cos 70°＝____________．
解析：cos 10°cos 30°cos 50°cos 70°
＝cos 10°cos 50°cos 70°
＝
＝cos 70°＋cos 40°cos 70°
＝cos 70°＋(cos 110°＋cos 30°)
＝cos 70°＋cos 110°＋＝.
答案：
sin x＋sin y＝2sin cos ；
sin x－sin y＝____________________；
cos x＋cos y＝2cos cos ；
cos x－cos y＝______________________．
[答案自填] 2cos sin 　－2sin ·sin
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(对接教材例10)化简下列各式：
(1)sin (30°＋α)－sin (30°－α)；
(2)sin ＋sin ；
(3)cos －cos ；
(4)；
(5)sin 20°＋sin 40°－sin 80°.
【解】　(1)sin(30°＋α)－sin(30°－α)
＝2cos 30°sin α＝sin α.
(2)sin ＋sin
＝2sin cos α＝cos α.
(3)cos －cos
＝－2sin sin φ＝－sin φ.
(4)
＝
＝－＝－.
(5)sin 20°＋sin 40°－sin 80°＝2sin 30°cos(－10°)－cos 10°＝cos 10°－cos 10°＝0.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
积化和差与和差化积公式中的“和差”与“积”都是指三角函数值之间的关系，并不是指角的关系.
[跟踪训练2] (1)求cos 105°＋cos 15°的值；
解：cos 105°＋cos 15°
＝2cos cos
＝2cos 60°cos 45°
＝2××
＝.
(2)将2sin x＋化成积的形式；
解：2sin x＋＝2＝2
＝2×2sin cos
＝4sin cos .
(3)已知cos α－cos β＝，sin α－sin β＝－，求tan 的值．
解：因为cos α－cos β＝，
所以－2sin sin ＝.①
又因为sin α－sin β＝－，
所以2cos sin ＝－.②
因为sin ≠0，所以由①②得－tan ＝－，
所以tan ＝.
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　在△ABC中，求证：2sin cos ＋sin B－sin C＝4sin sin cos .
【证明】　由A＋B＋C＝π，得＝－，
左边＝2sin cos ＋2cos ·sin
＝2cos (sin ＋sin )
＝2cos ·2sin cos
＝4sin sin cos ＝右边，
所以原等式成立．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
(1)在△ABC中注意隐含条件A＋B＋C＝π的应用，常用关系式有sin (A＋B)＝sin C，cos (A＋B)＝－cos C等．
(2)证明三角恒等式的基本思路是根据等式两端特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归一、变更论证等方法，使等式两端的“异”化为“同”，分式不好证时，可变形为整式来证．
[跟踪训练3] 在△ABC中，求证：sin A＋sin B＋2sin cos ＝4cos cos cos .
证明：由A＋B＋C＝180°，
得C＝180°－(A＋B)，即＝90°－，
所以cos ＝sin .
所以sin A＋sin B＋2sin cos
＝2sin cos ＋2sin cos
＝2sin
＝2cos ·2cos ·cos
＝4cos cos cos ，
所以原等式成立．
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1. (教材P161T2改编)计算sin 105°cos 75°的值是(　　)
A． B． C．－ D．－
解析：选B.sin 105°cos 75°＝(sin 180°＋sin 30°)＝.故选B.
2．求值：sin 42°－cos 12°＋sin 18°＝________．
解析：sin 42°－cos 12°＋sin 18°＝sin 42°－sin 78°＋sin 18°＝－2cos 60°sin 18°＋sin 18°＝sin 18°－sin 18°＝0.
答案：0
3.＝________．
解析：原式＝
＝＝tan 30°＝.
答案：
4．函数y＝sin 2x·sin 的单调递增区间是____________．
解析：因为y＝sin 2x·sin
＝－
＝－cos (4x＋)＋.
当2kπ≤4x＋≤2kπ＋π，k∈Z时，
－≤x≤＋，k∈Z，
所以函数的单调递增区间是[－，＋](k∈Z).
答案：(k∈Z)
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT )
1．已学习：积化和差、和差化积．
2．须贯通：熟练应用公式进行积化和差、和差化积．
3．应注意：(1)公式sin αsin β＝－[cos (α＋β)－cos (α－β)]中的系数为－，而其他积化和差公式中系数均为.(2)和差化积公式中不同名的需化为同名．