3．1　二倍角公式（教师版）

§3　二倍角的三角函数公式
3．1　二倍角公式
1.理解二倍角公式的推导过程，知道二倍角公式与和角公式之间的内在联系．　2.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并能运用这些公式进行简单的恒等变换．
唐代诗人王维曾写出“独在异乡为异客，每逢佳节倍思亲”，一个“倍”字道出了思念亲人的急迫心情，这里的“倍”何止二倍、三倍，更是百倍、千倍，就像我们期待自己的成绩加倍提高一样，今天，就让我们共同探究三角函数中的“二倍”关系．
思考1　请写出两角和的正弦、余弦、正切公式．
提示：sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；　
cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；
tan (α＋β)＝.
思考2　当α＝β时，你能写出sin 2α，cos 2α，tan 2α的表达式吗？
提示：sin 2α＝sin (α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α＝2sin αcos α；
cos 2α＝cos (α＋α)＝cos αcos α－sin αsin α＝cos2α－sin2α；
tan2α＝tan (α＋α)＝.
sin2α＝______________．(S2α)
cos 2α＝cos2α－sin2α＝__________________＝______________．(C2α)
tan2α＝________________．(T2α)
[答案自填] 2sin αcos α　2cos2α－1　1－2sin2α　
角度1　　化简求值
　求下列各式的值：
(1)cos222.5°－sin222.5°；(2)1－sin215°；
(3)；(4)cos20°cos 40°cos 80°.
【解】　(1)原式＝cos (2×22.5°)＝cos 45°＝.
(2)原式＝1－＝＋cos 30°＝.
(3)原式＝tan 150°＝－tan 30°＝－.
(4)原式＝
＝＝
＝＝＝.
(1)二倍角公式的变形
①逆用
2sin αcos α＝sin 2α，2cos2α－1＝cos2α，1－2sin2α＝cos2α.
②变形
(ⅰ)cos2α＝，sin2α＝；
(ⅱ)1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.
(2)有关二倍角给角求值问题的策略
①直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对原式进行转化，一般可以化为特殊角．
②若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，可利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．
[跟踪训练1] 求下列各式的值：
(1)2cos222.5°－1；
(2)cos4－sin4；
(3)sincos cos cos ；
(4)＋32cos212°.
解：(1)原式＝cos45°＝.
(2)原式＝(cos2－sin2)(cos2＋sin2)＝cos2－sin2＝cos＝.
(3)原式＝×2sin cos cos cos
＝sin cos cos
＝×2sin cos cos
＝sin cos ＝×2sin cos
＝sin ＝×＝.
(4)原式＝＋16(2cos212°－1)＋16＝＋16cos 24°＋16
＝＋16cos 24°＋16
＝＋16cos 24°＋16
＝＋16cos 24°＋16＝16.
角度2　给值求值
　(对接教材例1)(1)若cos (2α－)＝，则sin 4α＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
(2)已知tan (α＋β)＝5，tan (α－β)＝2，则tan 4β＝__________．
【解析】　(1)由cos (2α－)＝可得cos (4α－)＝2cos2(2α－)－1＝－，
故sin4α＝cos (4α－)＝－.故选C.
(2)tan 2β＝tan [(α＋β)－(α－β)]
＝＝＝，
故tan 4β＝＝＝.
【答案】　(1)C　(2)
有关二倍角给值求值问题的策略
(1)解决此类问题有两种方法，一是对题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；二是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．
(2)注意几种公式的灵活应用，如：
①sin2x＝cos (－2x)＝cos [2(－x)]＝2cos2(－x)－1＝1－2sin2(－x)；
②cos2x＝sin (－2x)＝sin [2(－x)]＝2sin (－x)cos (－x).
[跟踪训练2] (1)已知cos θ－sin θ＝，则cos 4θ＝(　　)
A.－ B．－
C．－ D．－
解析：选A.由题意(cos θ－sin θ)2＝1－2sin θcos θ＝()2＝，所以sin 2θ＝，cos 4θ＝1－2sin22θ＝1－2×()2＝－.故选A.
(2)已知角α满足tan(α－)＝，则sin 2α＝________．
解析：因为tan (α－)＝，
即tan (α－)＝＝，
解得tan α＝2，所以sin 2α＝2sin αcos α＝＝＝＝.
答案：
　已知函数f(x)＝2sinx(cos x－sin x)＋1.
(1)求函数f(x)的单调递减区间；
(2)若x∈，求函数f(x)的值域．
【解】　(1)由题意，f(x)＝2sin xcos x－2sin2x＋1＝sin2x＋cos 2x＝sin (2x＋)，由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，所以函数f(x)的单调递减区间是(k∈Z).
(2)由(1)知，f(x)＝sin (2x＋)，
当x∈时，则2x＋∈，
令2x＋＝t，因为函数y＝sin t在上单调递增，在上单调递减，
且sin ＝，sin ＝1，sin ＝，
所以≤sin (2x＋)≤1，
所以≤sin (2x＋)≤，
所以函数f(x)的值域为.
二倍角公式与三角函数性质综合问题的解题策略
先通过正用、逆用二倍角公式并结合叠加公式将三角函数式化简，一般转化为y＝A sin (ωx＋φ)＋B或y＝A cos (ωx＋φ)＋B的形式，再将ωx＋φ看作一个整体，借助y＝sin x或y＝cos x的图象与性质来研究函数的性质．
[跟踪训练3] (1)函数f(x)＝sin 2x·tan x是(　　)
A．奇函数，且最小值为0
B．奇函数，且最大值为2
C．偶函数，且最小值为0
D．偶函数，且最大值为2
解析：选C.由题可知，f(x)＝sin 2x·tan x的定义域为{x}，关于原点对称，且f(x)＝sin 2x·tan x＝2sin x cos x·＝2sin2x，所以f(－x)＝2sin2(－x)＝2sin2x＝f(x)，即函数f(x)为偶函数；f(x)＝2sin2x＝1－cos2x，x≠＋kπ，k∈Z.又cos 2x∈(－1，1]，即f(x)＝1－cos 2x∈[0，2)，可得函数f(x)的最小值为0，无最大值．故选C.
(2)若函数y＝2cos2(ωx＋)(ω>0)的最小正周期为π，则ω＝________．
解析：因为y＝2cos2(ωx＋)＝cos(2ωx＋)＋1，因为函数的最小正周期为π，所以T＝＝π，解得ω＝1.
答案：1
　(对接教材例3)如图有一块半径为1，圆心角为的扇形铁皮AOB，P是圆弧AB上一点(不包括点A，B)，点M，N分别在半径OA，OB上．若四边形PMON为矩形，求其面积的最大值．
【解】　连接OP，如图，令∠AOP＝θ(0<θ<)，因为四边形PMON为矩形，
则OM＝OP cos θ＝cos θ，PM＝OP sin θ＝sin θ，
于是得矩形PMON的面积S矩形PMON＝OM·PM＝cos θ·sin θ＝sin 2θ，0<θ<，而0<2θ<π，
则当2θ＝，即θ＝时，sin 2θ取得最大值1，所以矩形PMON面积的最大值为.
(1)解决有关三角函数的实际问题，应首先设定主变量角α以及相关的常量与变量，建立含有角α的三角函数关系式，再利用三角函数的变换、性质等进行求解．求三角函数最值问题，一般需利用三角函数的有界性来解决．
(2)在三角形中讨论三角函数问题时，要注意三角形内角和定理A＋B＋C＝π，以及各角的范围是(0，π).
[跟踪训练4] 如图，该平面图形由Rt△ABC(∠ACB为直角)和以BC为直径的半圆拼接而成，点P为半圆弧上的一点(异于点B，C)，AB＝2，CH⊥AB交AB于点H，设A＝θ∈(，).若∠PBA＝，求CH＋CP的取值范围．
解：在Rt△ABC中，
S△ABC＝AC·BC＝AB·CH，
又CH＝AC·sin θ，CH＝BC·cos θ，BC＝2sin θ，所以CH＝2sin θcos θ，
在Rt△PBC中，CP＝BC·sin [－(－θ)]＝2sin θsin(θ－)，所以CH＋CP＝2sin θcos θ＋2sin θ(sin θ－cos θ)＝sin θcos θ＋sin2θ＝sin2θ－cos 2θ＋
＝sin (2θ－)＋，θ∈(，)，
由于2θ－∈(0，)，则sin (2θ－)∈(0，1]，
则CH＋CP∈(，1＋].
1．已知sin α＝，0<α<，则sin 2α＝(　　)
A．　　　　　　 B．
C． D．
解析：选D.因为sin α＝，
所以cos2α＝1－sin2α＝1－()2＝，
又因为0<α<，
所以cosα＝，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝.故选D.
2．(多选)(教材P165 T1改编)下列各式中值为1的是(　　)
A．sin 75°cos 75°
B．cos215°－sin215°
C．＋2sin215°
D．sin22024＋cos22024
解析：选CD.对于A，sin 75°cos 75°＝sin 150°＝，不符合题意；对于B，cos215°－sin215°＝cos30°＝，不符合题意；对于C，＋2sin215°＝＋1－cos30°＝＋1－＝1，符合题意；对于D，sin22024＋cos22024＝1，符合题意．故选CD.
3．(教材P165 T3改编)已知α是第二象限角，且sin α＝，则tan 2α＝________．
解析：由sin α＝，α是第二象限角，
可知cos α＝－＝－，
所以tanα＝＝－3，
所以tan 2α＝＝＝.
答案：
4．已知函数f(x)＝sin2x＋2cos2x，则函数f(x)的最小正周期是________．
解析：f(x)＝sin2x＋2cos2x＝sin2x＋cos 2x＋＝2sin (2x＋)＋，故最小正周期T＝＝π.
答案：π
1．已学习：二倍角公式的推导、二倍角公式的正用、逆用和变形用、二倍角公式在实际问题中的应用．
2．须贯通：二倍角公式中的“倍角是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如4α是2α的倍角，α是的倍角，在二倍角公式中，要特别关注二倍角的余弦公式及其变形．
3．应注意：化简求值开根号，易忽略角的范围，实际问题中隐含的条件．