3．1　课后达标 检测（教师版）

1．sin cos ＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：选B.由题意得，sin cos ＝sin (－)cos ＝cos2＝＝＝.故选B．
2．化简－的结果是(　　)
A．cos 10° B．－cos 10°
C．sin 10° D．－sin 10°
解析：选D.原式
＝
－　
＝|cos 10°－sin 10°|－|cos 10°|
＝(cos 10°－sin 10°)－cos 10°
＝－sin 10°.故选D.
3．函数f(x)＝sin x cos x＋cos2x的最小正周期和振幅分别是(　　)
A．π，2 B．π，1
C．2π，2 D．2π，1
解析：选B.f(x)＝sinx cos x＋cos2x＝sin2x＋cos 2x＋＝sin (2x＋)＋，所以f(x)的最小正周期是＝π，振幅是1.故选B.
4．已知tan α＝，tan β＝，且α，β均为锐角，则α＋2β的值为(　　)
A. B．
C． D．
解析：选C.tan 2β＝＝，tan(α＋2β)＝＝1.因为α，β均为锐角，且tan α＝<1，tan β＝<1，所以α，β∈，所以α＋2β∈，所以α＋2β＝.故选C.
5．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝，若C＝，则B＝(　　)
A． B． C． D．
解析：选B.因为＝＝＝，C＝，所以sin B＝cos A cos B－sin A sin B＝cos (A＋B)＝－cos C＝，又06．(多选)若α∈(0，π)，sin α－cos α＝，则(　　)
A．sin 2α＝ B．tan α＝
C．cos 2α＝－ D．sin α＋cos α＝
解析：选BCD.对于A，已知α∈(0，π)，sin α－cos α＝，两边同时平方得1－2sin αcos α＝，
即sin αcos α＝，所以sin 2α＝，故A错误；
对于B，联立又α∈(0，π)，得所以tan α＝，故B正确；
对于C，由B选项得cos α＝，所以cos 2α＝2cos2α－1＝－，故C正确；
对于D，由B选项可得sinα＋cos α＝，故D正确．故选BCD.
7．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝－3x上，则tan ＝__________．
解析：由题意得tan θ＝－3，所以tan 2θ＝＝＝，所以tan ＝＝7.
答案：7
8．已知α为锐角，且sin ＋cos ＝，则sin α＝__________，tan 2α＝____________．
解析：因为sin ＋cos ＝，所以sin2＋cos2＋2sin cos ＝，所以sin α＝.因为α为锐角，所以cos α＝，tan α＝，所以tan 2α＝＝＝.
答案：　
9．函数f(x)＝sinx＋cos 2x的值域为________．
解析：f(x)＝sin x＋cos 2x＝－2sin2x＋sinx＋1＝－2(sin x－)2＋，因为sin x∈[－1，1]，所以当sin x＝时，f(x)取最大值，最大值为；当sin x＝－1时，f(x)取最小值，最小值为－2.所以函数f(x)的值域为.
答案：
10．已知cos α＝－，sin β＝，α是第三象限角，β∈.求：
(1)sin 2α；
(2)cos (2α＋β).
解：(1)因为α是第三象限角，cos α＝－，
所以sin α＝－＝－，
所以sin2α＝2sin αcos α＝2××＝.
(2)因为β∈，sin β＝，
所以cos β＝－＝－，
cos2α＝2cos2α－1＝2×－1＝，
所以cos(2α＋β)＝cos 2αcos β－sin 2αsin β
＝×－×＝－.
11．已知函数f(x)＝sin2x＋sin2(x＋)，若函数f(x＋a)的图象关于y轴对称，则|a|的最小值为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选B.f(x)＝sin2x＋sin2(x＋)＝＋＝
＋
＝sin 2x－cos 2x＋1＝sin (2x－)＋1，
所以f(x)＝sin (2x－)＋1，
由函数f(x＋a)＝sin (2x＋2a－)＋1的图象关于y轴对称，则有2a－＝＋kπ，k∈Z，所以a＝＋，k∈Z，所以当k＝－1时，|a|最小，最小值为.故选B.
12．(多选)密位制是度量角的一种方法，把一个周角等分为6 000份，每一份叫做1密位的角．在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如7密位写成“0—07”，478密位写成“4—78”．若(sin α－cos α)2＝2sin αcos α，则角α可取的值用密位制表示正确的是(　　)
A．12—50 B．2—50
C．13—50 D．32—50
解析：选ABD.因为(sin α－cos α)2＝2sin αcos α，即sin2α－2sinαcos α＋cos2α＝2sinαcos α，即4sin αcos α＝1，所以sin 2α＝，所以2α＝＋2kπ，k∈Z或2α＝＋2kπ，k∈Z，解得α＝＋kπ，k∈Z或α＝＋kπ，k∈Z.对于A，密位制12—50对应的角为×2π＝，符合题意；对于B，密位制2—50对应的角为×2π＝，符合题意；对于C，密位制13—50对应的角为×2π＝，不符合题意；对于D，密位制32—50对应的角为×2π＝，符合题意．故选ABD.
13．已知tan α＝，tan β＝－，且α，β∈(0，π)，则2α－β＝________．
解析：因为tan α＝>0，tan β＝－<0，α，β∈(0，π)，所以α∈(0，)，β∈(，π)，
因为tan 2α＝＝＝>0，
所以2α∈(0，)，β∈(，π)，
因此－π<2α－β<0，
因为tan(2α－β)＝
＝＝1，
所以2α－β＝－.
答案：－
14．已知函数f(x)＝sin x cos x－3cos2x＋.
(1)求函数f(x)的最小正周期及其图象的对称轴；
(2)若x∈，求函数f(x)的单调区间及最值．
解：(1)f(x)＝sin2x－(2cos2x－1)
＝sin2x－cos 2x＝sin (2x－)，
则函数f(x)的最小正周期T＝＝π；
由2x－＝＋kπ，k∈Z，得函数f(x)图象的对称轴为直线x＝＋，k∈Z.
(2)由(1)知f(x)＝sin .
当x∈时，－≤2x－≤.
由－≤2x－≤，得0≤x≤，
所以函数f(x)的单调递增区间为；
由≤2x－≤，得≤x≤，
所以函数f(x)的单调递减区间为.
所以当2x－＝，即x＝时，函数f(x)取最大值；当2x－＝－，即x＝0时，函数f(x)取最小值－.
15．已知五角星的每个内角都是36°，利用三倍角公式等恒等变换可以求得cos 36°的值．先利用sin 3α＝sin (2α＋α)可求得sin 3α＝________(用单角α的正弦值表示)；再求得cos 36°＝________．
解析：sin 3α＝sin (2α＋α)
＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α
＝2sin αcos2α＋(1－2sin2α)sinα
＝2sin α(1－sin2α)＋(1－2sin2α)sinα
＝3sin α－4sin3α.
因为sin72°＝sin 108°，
所以2sin 36°cos 36°＝3sin 36°－4sin336°，
即2cos36°＝3－4sin236°＝3－4(1－cos236°)，
令cos36°＝x>0，则4x2－2x－1＝0，
解得x＝或x＝(舍去).
答案：3sin α－4sin3α　
16.焊接工王师傅遇到了一个难题：如图所示，有一块扇形钢板，半径为1米，圆心角θ＝，施工要求按图中所画的那样，在钢板OPQ上裁下一块平行四边形钢板ABOC，要求使裁下的钢板面积最大．试问A在何处时，才能使裁下的钢板符合要求？最大面积为多少？
解：如图，连接OA，
设∠AOP＝α，过点A作AH⊥OP，垂足为H，
在Rt△AOH中，OH＝cosα，AH＝sin α，
所以BH＝＝sin α，
所以OB＝OH－BH＝cos α－sin α，
设平行四边形ABOC的面积为S，
则S＝OB·AH＝·sin α
＝sin αcos α－sin2α＝sin2α－(1－cos 2α)
＝sin 2α＋cos 2α－
＝－
＝sin －.
由于0＜α＜，所以＜2α＋＜，
当2α＋＝时，即α＝时，Smax＝－＝，
所以当点A是的中点时，所裁钢板的面积最大，最大面积为 平方米．