3．2　半角公式（教师版）

3．2　半角公式
1.能用二倍角公式推导半角公式．
2．能熟练运用半角公式求值、化简或证明．
思考1　我们知道二倍角公式中“倍角是相对的”，那么对余弦的二倍角公式，若用 替换α，结果怎样？
提示：cos α＝2cos2－1＝1－2sin2＝cos2－sin2.
思考2　根据思考1的结果，试用sinα，cos α表示sin ，cos ，tan .
提示：因为cos2＝，所以cos ＝±，同理，sin ＝± ，tan ＝± .
名称 公式 适用范围
半角的正弦公式 sin ＝± α∈R
半角的余弦公式 cos ＝±
半角的正切公式 tan ＝± α≠(2k＋1)π，k∈Z
tan ＝
tan ＝ α≠kπ，k∈Z
　(对接教材例5)已知cos α＝，α为第四象限角．求sin ，cos ，tan .
【解】　因为α为第四象限角，所以为第二、四象限角.
当为第二象限角时，
sin ＝＝，cos ＝－＝－，tan ＝－＝－；
当为第四象限角时，
sin ＝－＝－，cos ＝＝，tan ＝－＝－.
利用半角公式求值的思路
(1)观察角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．
(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此，求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．
(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan ＝＝，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正弦、余弦值时，常先利用sin2＝，cos2＝计算．
(4)下结论：结合(2)求值．
[跟踪训练1] (1)在△ABC中，sin ＝，则tan ＝(　　)
A． B．
C．2－ D．－1
解析：选C.因为在△ABC中，sin ＝，所以cos A＝，且A为锐角，所以tan ＝＝2－.故选C.
(2)已知α为锐角，cos α＝，则tan ＝(　　)
A． B． C．2 D．3
解析：选D.因为α为锐角，cos α＝，
所以sin α＝，则tan ＝＝＝，
所以tan ＝＝＝3.
故选D.
　化简：
(1)·；
(2).
【解】　(1)原式
＝·＝·＝＝tan .
(2)因为tan ＝，
所以tan ·(1＋cos α)＝sin α.
因为0<α<π，0<<，所以sin >0，
所以sin ＝，
即＝sin .
又因为cos ＝－sin α，
所以原式＝
＝－＝－2cos .
探究三角函数式化简的要求、思路和方法
(1)化简的要求：①能求出值的应求出值；②尽量使三角函数种数最少；③尽量使项数最少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数．
(2)化简的思路：对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用．另外，还可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法．
[跟踪训练2] 化简：··＝____________．
解析：原式＝··
＝·＝·＝＝tan .
答案：tan
　求证：＝tan 2.
【证明】　左边＝＝＝tan 2＝右边．
探究证明三角恒等式的原则与步骤
(1)观察恒等式的两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低次，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想．
(2)证明恒等式的一般步骤：
①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；
②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的．
[跟踪训练3] 求证：＝sin 2α.
证明：左边＝
＝＝sin αcos α
＝sin 2α＝右边．
故等式成立．
1．若cos α＝，α∈(0，π)，则cos 的值为(　　)
A． B．－ C． D．－
解析：选C.因为α∈(0，π)，所以∈(0，)，所以cos >0，cos ＝＝.故选C.
2．已知点P(4，3)是角α的终边上一点，则tan ＝(　　)
A． B．－3
C．－3或 D．3或－
解析：选A.由三角函数的定义可得sin α＝＝，cos α＝＝，所以tan ＝＝＝.故选A.
3．(教材P167练习T1改编)已知180°<α<270°且sin (α＋270°)＝，则sin ＝____________，tan ＝____________．
解析：因为sin (α＋270°)＝－cos α＝，所以cos α＝－，又90°< <135°，
所以sin ＝＝＝，tan ＝－＝－＝－3.
答案：　－3
4．已知sin α＝，且α为钝角，则cos 的值为__________．
解析：因为α为钝角，即α∈(，π)，
所以cos α＝－＝－，
又∈(，)，所以cos＝ ＝.
答案：
1．已学习：半角公式、半角公式在化简求值和证明中的应用．
2．须贯通：半角公式在三角恒等变换的综合应用．
3．应注意：半角公式符号的判断，实际问题中角的范围．