3．2　课后达标 检测（教师版）

1．cos 的值是(　　)
A．　　　　　　 B．
C． D．
解析：选A.cos ＝＝＝＝＝.故选A.
2．已知cos α＝－，π<α<，则sin ＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
解析：选D.因为π<α<，所以<<，则sin ＝＝.故选D.
3．设π<α<3π，cos α＝m，cos ＝n，cos ＝p，下列各式中正确的是(　　)
A．n＝－ B．n＝
C．p＝ D．p＝－
解析：选A.因为<<，所以cos ＝－，即n＝－，此外由于<<，因此cos 的符号不能确定．故选A.
4．若α是第三象限角且sin (α＋β)cos β－sin βcos (α＋β)＝－，则tan ＝(　　)
A．－5 B．－
C． D．5
解析：选A.sin (α＋β)cos β－sin βcos (α＋β)＝sin [(α＋β)－β]＝sin α＝－.因为α是第三象限角，所以cos α＝－＝－，所以tan＝＝＝－5.故选A.
5．(多选)下列说法正确的是(　　)
A．cos ＝
B．存在α∈R，使得cos ＝cos α
C．对于任意α∈R，sin ＝sin α都不成立
D．若α是第一象限角，则tan ＝
解析：选BD.因为只有当－＋2kπ≤ ≤＋2kπ(k∈Z)，即－π＋4kπ≤α≤π＋4kπ(k∈Z)时，cos ＝，所以A错误；当cos α＝－＋1且π<α<时，cos ＝cos α成立，但一般情况下不成立，所以B正确；当α＝2kπ(k∈Z)时，sin ＝sin α成立，但一般情况下不成立，所以C错误；若α是第一象限角，则是第一或第三象限角，此时tan ＝成立，所以D正确．故选BD.
6．(多选)已知函数f(x)＝(cos x＋1－sin2x)·tan，则下列结论中正确的是(　　)
A．f(x)的最小正周期为π
B．f(x)的最小正周期为2π
C．f(x)是奇函数
D．f(x)是偶函数
解析：选BC.由题意得≠kπ＋(k∈Z)，即x≠2kπ＋π(k∈Z)，所以函数f(x)的定义域为{x∈R|x≠π＋2kπ，k∈Z}，关于原点对称．f(x)＝(cos x＋1－sin2x)·tan＝(cos x＋cos2x)＝sin 2x，则f(－x)＝－sin 2x＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数．但由于f(0)＝0，f(π)不存在，所以f(x)的最小正周期不是π，应该为2π.故选BC.
7．已知cos α＝，α∈，则sin ＝________．
解析：依题意，sin ＝－＝－＝－.
答案：－
8．若cos α＝－，α是第三象限角，则＝____________．
解析：因为α是第三象限角，cos α＝－，所以sin α＝－，所以tan ＝＝＝－3，所以＝＝－.
答案：－
9．在等腰三角形中，已知顶角的余弦值是，则底角的余弦值是________．
解析：设顶角为α，底角为β，则α＋2β＝π，cos α＝，则α∈，故∈(0，)，所以sin ＝＝＝，
所以cos β＝cos ()＝sin ＝.
答案：
10．在平面直角坐标系xOy中，以x轴的非负半轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，，求cos ＋sin ＋tan 的值．
解：依题意，得cos α＝，cos β＝.
因为α，β为锐角，
所以cos ＋sin ＋tan ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝.
11．设a＝cos212°－sin212°，b＝，c＝，则有(　　)
A．cC．a解析：选A.因为a＝cos212°－sin212°＝cos24°，b＝＝tan24°12．若sin θ＝，<θ<3π，则tan ＋cos ＝(　　)
A．3＋ B．3－
C．3＋ D．3－
解析：选B.因为sin θ＝，<θ<3π，所以cos θ＝－＝－.
因为<<，所以sin <0，cos <0，
所以sin ＝－＝－，cos ＝－＝－，所以tan ＝＝3，则tan ＋cos ＝3－.故选B.
13．已知向量m＝(cos θ，sin θ)，n＝(－sin θ，cos θ)，θ∈(π，2π)，若|m＋n|＝，则cos 的值是________．
解析：因为|m＋n|＝，所以|m＋n|2＝，即|m|2＋|n|2＋2m·n＝，所以cos2θ＋sin2θ＋(－sinθ)2＋cos2θ＋2[cosθ(－sin θ)＋sin θcos θ]＝，整理得(cos θ－sin θ)＝，所以cos ＝.又因为θ∈(π，2π)，所以＋∈，所以cos ＜0，故cos ＝－＝－＝－.
答案：－
14．在△ABC中，cos A－sin A＝－.
(1)求tan 的值；
(2)若sin B＝，求sin .
解：(1)因为cos A－sin A＝－，两边同时平方得1－2sin A cos A＝，
所以2sin A cos A＝.
在△ABC中，sin A>0，2sin A cos A>0，
所以cos A>0.
由2＝1＋2sin A cos A＝，
得cos A＋sin A＝，
由解得
所以tan ＝＝＝.
(2)由(1)得，cos A＝，sin A＝.
因为＝＝＝<1，
所以sin B＝由正弦定理得b所以cos B>0，可得cos B＝＝.
所以sin ＝sin B cos A－cos B sin A＝×－×＝.
15.我国古代数学家赵爽利用“勾股圆方图”巧妙地证明了勾股定理，后人称之为“赵爽弦图”．如图，它是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，设在Rt△AFB中AF＝a，BF＝b，较小的锐角∠FAB＝α.若(a＋b)2＝196，正方形ABCD的面积为100，则cos 2α＝________，sin －cos ＝________．
解析：由已知得a2＋b2＝100，(a＋b)2＝196，
又a＞b，解得a＝8，b＝6，
所以cos α＝＝，cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝.
因为0＜α＜，所以0＜＜，
所以sin＝＝，cos ＝＝，
所以sin －cos ＝－＝－.
答案：　－
16．已知α∈(0，)，sin (π－α)＝.
(1)求cos 的值；
(2)若β∈(0，π)，sin (α－)＝，求cos 的值．
解：(1)因为sin (π－α)＝，
所以sin α＝，
又因为α∈(0，)，
所以cos α＝＝＝.
因为∈(0，)，
所以cos ＝ ＝ ＝.
(2)由(1)中cos ＝，∈(0，)，
可得sin ＝.
因为β∈(0，π)，所以－∈(－，0)，
而α∈(0，)，所以α－∈(－，)，
又因为sin (α－)＝，
所以α－∈(0，)，所以cos (α－)＝，
所以cos ＝cos ＝cos (α－)cos ＋sin (α－)sin
＝×＋×＝.