2．2　2．3　课后达标 检测（教师版）

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1．i(2＋3i)＝(　　)
A．3－2i B．3＋2i
C．－3－2i D．－3＋2i
解析：选D.i(2＋3i)＝2i＋3i2＝－3＋2i，故选D.
2．在复平面内，设复数z＝2＋i对应的向量为，把沿原方向伸长3倍所得到的向量对应的复数是(　　)
A．－1＋2i B．6＋3i
C．6＋i D．－6－3i
解析：选B.把沿原方向伸长3倍所得到的向量对应的复数是(2＋i)·3＝6＋3i.故选B.
3．若复数(a∈R，i为虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为(　　)
A．－6 B．－4 C．4 D．6
解析：选A.由题意可知，＝＝为纯虚数，所以解得a＝－6.故选A.
4．在复平面内，设复数z＝－3＋2i对应的向量为，把绕原点O逆时针旋转所得到的向量对应的复数是(　　)
A．－3＋2i B．2－3i
C．2＋3i D．－2－3i
解析：选D.把绕原点O逆时针旋转所得到的向量对应的复数是(－3＋2i)·i＝－2－3i.故选D.
5．若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”．已知z＝＋bi(a，b∈R)为“理想复数”，则(　　)
A．a－5b＝0 B．3a－5b＝0
C．a＋5b＝0 D．3a＋5b＝0
解析：选D.因为z＝＋bi＝＋bi＝＋i.由题意知，＝－－b，则3a＋5b＝0.
6．(多选)已知复数z满足·z－3i＝2，则下列说法正确的是(　　)
A．z的实部为3 B．z的虚部为2
C．＝3＋2i D．z＝－3＋2i
解析：选BD.由于·z－3i＝2，可得z＝＝＝＝i(2＋3i)＝－3＋2i，故D正确；由z＝－3＋2i得z的实部为－3，虚部为2，故A错误，B正确；由共轭复数的定义可知＝－3－2i，故C错误．故选BD.
7．(2024·天津卷)已知i是虚数单位，复数(＋i)·(－2i)＝________．
解析：(＋i)(－2i)＝()2－2i＋i－2i2＝7－i.
答案：7－i
8．已知z是纯虚数，是实数，那么z＝________．
解析：设z＝bi(b∈R，b≠0)，则＝＝＝＝＋i是实数，所以b＋2＝0，b＝－2，所以z＝－2i.
答案：－2i
9．已知复数z满足z(1＋i)＝2ti(t∈R)，若|z|＝2，则t的值为________．
解析：由z(1＋i)＝2ti(t∈R)，得z＝＝＝ti(1－i)＝t＋ti.
因为|z|＝2，所以t2＋t2＝(2)2，解得t＝2或t＝－2.
答案：2或－2
10．已知复数z＝.
(1)求复数z；
(2)若z2＋az＋b＝1－i，求实数a，b的值．
解：(1)z＝＝
＝＝1＋i.
(2)把z＝1＋i代入z2＋az＋b＝1－i，
得(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i，
整理得a＋b＋(2＋a)i＝1－i，
所以解得
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11．方程z2－4|z|＋3＝0在复数集内解的个数为(　　)
A．4 B．5 C．6 D．8
解析：选C.令z＝a＋bi(a，b∈R)，由题意得a2－b2＋2abi－4＋3＝0，
得
当b＝0时，|a|2－4|a|＋3＝0，解得|a|＝1或|a|＝3，即a＝±1或a＝±3；
当a＝0时，|b|2＋4|b|－3＝0，解得|b|＝－2＋或|b|＝－2－(舍去)，即b＝±(－2).
综上共有6个解：z＝±1，z＝±3，z＝±(－2)i.故选C.
12．(多选) 在下面四个命题中，真命题为(　　)
A．若复数z满足z2∈R，则z∈R
B．若复数z满足z∈R，则z2∈R
C．若复数z1，z2满足z1·z2＝0，则z1＝0或z2＝0
D．若复数z满足|z|2＝z2，则z∈R
解析：选BCD.若z＝i，则z2＝－1∈R，而z＝i R，故A不是真命题；当z∈R时，z2∈R，故B是真命题；复数z1，z2满足z1·z2＝0，不妨设z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，则z1·z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i＝0，则两式平方后相加得a2c2＋b2d2＋a2d2＋b2c2＝(a2＋b2)(c2＋d2)＝0，故a2＋b2＝0或c2＋d2＝0，即z1＝0或z2＝0，故C是真命题；设z＝m＋ni(m，n∈R)，则|z|2＝m2＋n2，z2＝m2－n2＋2mni，则m2＋n2＝m2－n2＋2mni，整理得n2＝mni，当n＝0时，z＝m∈R；当n≠0时，z＝m＋ni＝m＋mi2＝0∈R.故z∈R，故D是真命题．故选BCD.
13．复数z＝且||＝4，z在复平面内对应的点在第一象限，若复数0，z，对应的点是正三角形的三个顶点，则实数a＝__________，b＝________．
解析：z＝＝2i·i(a＋bi)＝－2a－2bi.
由|z|＝||＝4，得a2＋b2＝4.①
因为复数0，z，对应的点构成正三角形，所以|z－|＝|z|.
把z＝－2a－2bi代入化简得|b|＝1.②
又因为z在复平面内对应的点在第一象限，所以a<0，b<0.③
由①②③得故所求值为a＝－，b＝－1.
答案：－　－1
14．已知复数z满足z＋2i，均为实数，复数(z＋xi)2(x∈R)在复平面内对应的点位于第一象限，其中i为虚数单位．求：
(1)复数z；
(2)实数x的取值范围．
解：(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则z＋2i＝a＋(b＋2)i，
因为z＋2i为实数，所以b＋2＝0，解得b＝－2，所以＝＝＝＋i，因为为实数，所以＝0，
解得a＝4.所以z＝4－2i.
(2)因为复数(z＋xi)2＝[4＋(x－2)i]2＝16－(x－2)2＋8(x－2)i＝(12＋4x－x2)＋(8x－16)i，且复数(z＋xi)2在复平面内对应的点位于第一象限，
所以解得2即实数x的取值范围是(2，6).
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15．(多选)代数基本定理是数学中最重要的定理之一，它在代数学中起着基础作用．由代数基本定理可以得到：任何复系数一元n(n∈N*)次多项式方程f(x)＝0有n个复数根(重根按重数计).若f(x)＝(x－1)(x2＋x＋1)，记ω为方程f(x)＝0的一个虚数根，则(　　)
A．ω2＋ω＋1＝0 B．ω＝－＋i
C．ω·＝1 D．ω2＝
解析：选ACD.令f(x)＝(x－1)(x2＋x＋1)＝0，得x＝1或x2＋x＋1＝0，由x2＋x＋1＝0，得(x＋)2＝－，所以x＋＝±i，则x＝－±i，所以－±i是f(x)＝0的两个复数根．对于A，因为ω为方程f(x)＝0的一个虚数根，即ω满足x2＋x＋1＝0，所以ω2＋ω＋1＝0，故A正确；对于B，ω＝－±i，故B错误；对于C，因为－＋i与－－i互为共轭复数，所以ω·＝(－＋i)(－－i)＝1，故C正确；对于D，由ω2＋ω＋1＝0，得ω2＝－ω－1，若ω＝－＋i，则ω2＝－ω－1＝－－i＝；若ω＝－－i，则ω2＝－ω－1＝－＋i＝．综上，ω2＝，故D正确．故选ACD.
16．在①z22＝10(a＞0)；②复平面上表示的点在一次函数x＋2y＝0的图象上；③z1(a－i)＞0.这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．
已知复数z1＝1＋i，z2＝a＋3i，a∈R，i为虚数单位，满足________．
(1)若z＝＋，求复数z以及|z|；
(2)若z2是实系数一元二次方程x2＋mx＋4－3m＝0的根，求实数m的值．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
解：方案一：选条件①，因为z2＝a＋3i，所以z22＝a2＋9＝10，
解得a2＝1，又a＞0，所以a＝1.
方案二：选条件②，因为z1＝1＋i，z2＝a＋3i，
所以＝＝＋i，其在复平面内对应的点的坐标为(，)，
根据题中条件，有＋2×＝0，
解得a＝1.
方案三：选条件③，因为z1＝1＋i，
所以z1(a－i)＝(1＋i)(a－i)＝(a＋1)＋(a－1)i＞0，
所以解得a＝1.
(1)z＝＋＝＋＝－i，
|z|＝＝1.
(2)若z2是实系数一元二次方程x2＋mx＋4－3m＝0的根，则2也是该方程的根，所以m＝－(z2＋2)＝－(1＋3i＋1－3i)＝－2.