3 复数的三角表示（教师版）

*§3　复数的三角表示
1.了解复数的三角形式，了解复数的代数形式与三角形式之间的关系．会进行复数代数形式与三角形式的转化，了解辐角．　2.掌握复数的三角形式的乘、除及乘方运算．掌握复数的代数形式与三角形式的运算特点．
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我们知道，复数可以用a＋bi(a，b∈R)的形式来表示，复数a＋bi与复平面内的点Z(a，b)一一对应，与平面向量＝(a，b)也是一一对应的．
思考　你能用向量的模r和以x轴的非负半轴为始边，以向量所在射线(射线OZ)为终边的角θ来表示复数z吗？
提示：可以由复数z的模(即的模)和复平面内以x轴的非负半轴为始边、向量所在射线为终边的角来确定．
1.以原点O为顶点，x轴的非负半轴为始边、向量所在的射线为终边的角θ，称为复数z＝a＋bi的________．
INCLUDEPICTURE "../../../XJ7.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../XJ7.TIF" \* MERGEFORMAT
2．任何复数z＝a＋bi(a，b∈R)都可以表示为z＝____________________，其中r＝，cos θ＝，sin θ＝.
这个式子称为复数z＝a＋bi(a，b∈R)的三角表示式，简称三角形式．为了与三角形式区分，a＋bi称为复数的代数表示式，简称代数形式．
当z＝r(cos θ＋isin θ)≠0时，z的辐角有无穷多个值，这些值相差________的整数倍．为确定起见，将满足条件0≤θ<2π的辐角值，称为____________________，记作arg z，即0≤arg z＜2π.
[答案自填] 辐角　r(cos θ＋isin θ)　2π
辐角的主值
角度1　代数形式化为三角形式
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(对接教材例1)把下列复数的代数形式化成三角形式(辐角取主值).
(1)π；(2)－i.
【解】　(1)因为复数z＝π对应的点(π，0)在实轴正半轴上，所以arg z＝0，故z＝π(cos 0＋isin 0).
(2)设－i的辐角为θ，因为复数的模r＝＝2，cos θ＝，
又因为－i对应的点位于第四象限，
所以θ＝.所以－i＝2.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
复数的代数形式转化为三角形式的步骤
(1)先求复数的模；
(2)判断辐角所在的象限；
(3)根据象限求出辐角；
(4)写出复数的三角形式．
[跟踪训练1] (1)复数－1－i的三角形式是(　　)
A．－2
B．2
C．2
D．2
解析：选B.设－1－i的辐角为θ，因为|－1－i|＝2，所以cos θ＝－.又因为－1－i对应的点(－1，－)位于第三象限，所以θ＝＋2kπ，k∈Z，当k＝－1时，θ＝－.所以－1－i＝2.故选B.
(2)已知复数a＋bi(a，b∈R)的三角形式为r(cos θ＋isin θ)，则－a＋bi的三角形式是(　　)
A．r(cos θ＋isin θ)
B．r[cos (π－θ)＋isin(π－θ)]
C．r[cos (π＋θ)＋isin(π＋θ)]
D．r[cos (2π－θ)＋isin(2π－θ)]
解析：选B.由题知，－a＋bi＝r(－cos θ＋isin θ)，结合诱导公式知，cos (π－θ)＝－cos θ，sin (π－θ)＝sin θ.故选B.
角度2　三角形式化为代数形式
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　分别指出下列复数的模和辐角的主值，并把这些复数表示成代数形式．
(1)4；
(2)(cos 60°＋isin 60°)；
(3)2.
【解】　(1)复数4的模r＝4，辐角的主值为θ＝.4＝4cos ＋4isin
＝4×＋4×i＝2＋2i.
(2)复数(cos 60°＋isin 60°)的模r＝，辐角的主值为θ＝60°.(cos 60°＋isin 60°)＝×＋×i＝＋i.
(3)2
＝2
＝2.
所以复数的模r＝2，辐角的主值为θ＝.
2＝2cos ＋2isin
＝2×＋2×i＝1－i.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
复数的三角形式z＝r(cos θ＋isin θ)必须满足“模非负、余弦前、‘＋’相连、角统一、i跟sin ”，否则就不是三角形式，只有化为三角形式才能确定其模和辐角．
[跟踪训练2] 下列各式是不是复数的三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式．
(1)；
(2)－；
(3)；
(4)cos ＋isin .
解：根据复数三角形式的定义可知，(1)(2)(3)不是复数的三角形式，(4)是复数的三角形式．
(1)原式＝.
(2)原式＝
＝.
(3)原式＝[cos ＋isin (－)]
＝.
若复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，则
(1)z1·z2＝r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)＝______________________．
(2)＝(z2≠0)＝________________________．
即：两个复数相乘，积的模等于它们的模的积，积的辐角等于它们的辐角的________．
两个复数相除，商的模等于被除数的模________除数的模，商的辐角等于被除数的辐角________除数的辐角所得的差．
[答案自填] r1r2[cos (θ1＋θ2)＋isin (θ1＋θ2)]　[cos (θ1－θ2)＋isin (θ1－θ2)]　和　除以　减去
角度1　复数三角形式的乘、除运算
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(对接教材例4)计算下列各式，并把结果化为代数形式：
(1)2·3；
(2)(－1＋i)·；
(3)4÷.
【解】　(1)原式＝2×3
＝6＝－3＋3i.
(2)原式＝(cos ＋isin)·(cos ＋isin)
＝
＝＝i.
(3)原式＝2
＝2＝2i.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
(1)乘法法则：模相乘，辐角相加．
(2)除法法则：模相除，辐角相减．
(3)复数的n次幂相当于模的n次幂，辐角的n倍．
[跟踪训练3] (1)若z＝cos 30°＋isin 30°，则arg z2＝(　　)
A．30°　　B．60°　　C．90°　　D．120°
解析：选B.由z2＝(cos 30°＋isin 30°)2＝cos 60°＋isin 60°，所以arg z2＝60°.故选B.
(2)计算下列各式，并把结果化为代数形式：
①5(cos ＋isin )·2(cos ＋isin )；
②.
解：①5·2(cos ＋isin )
＝10＝10
＝＋i.
②＝
＝4＝4(－i)
＝2－2i.
角度2　复数三角形式乘、除运算的几何意义
INCLUDEPICTURE "例4LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(对接教材例2)已知复数z＝(m＋3)－(m＋1)i在复平面内对应的点在第一象限，i是虚数单位．
(1)求实数m的取值范围；
(2)当m＝－2时，求复数z的三角表示式(辐角取主值)；
(3)若在复平面内，向量对应(2)中的复数z，把绕点O按顺时针方向旋转60°得到1，求向量1对应的复数z1(结果用代数形式表示).
【解】　(1)因为复数z＝(m＋3)－(m＋1)i在复平面内对应的点在第一象限，
所以解得－3(2)当m＝－2时，z＝1＋i，所以z的模r＝＝，cos θ＝sin θ＝＝，所以θ＝45°，
所以z＝(cos 45°＋isin 45°).
(3)方法一(代数运算)：根据题意得z＝1＋i在复平面内对应的向量＝(1，1)，将其顺时针旋转60°后得到向量1，则1对应的复数z1＝＝＝＋i.
方法二(三角运算)：根据题意得z＝1＋i在复平面内对应的向量＝(1，1)，将其顺时针旋转60°后得到向量1，则z1＝＝
[cos (45°－60°)＋isin (45°－60°)]＝(cos 15°－isin 15°).
又因为cos 15°＝，sin 15°＝，
所以z1＝＝＋i.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
两个复数z1，z2相乘时，如图，先分别画出与z1，z2对应的向量1，2，然后把向量1绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把1绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是z1·z2，即z1·z2＝r1r2[cos (θ1＋θ2)＋isin (θ1＋θ2)]，当z1，z2相除时，＝[cos (θ1－θ2)＋isin (θ1－θ2)].
INCLUDEPICTURE "../../../QBB1.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../QBB1.TIF" \* MERGEFORMAT
[跟踪训练4] (1)在复平面内，把与复数＋i对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转，然后将其伸长为原来的2倍，则所得向量对应的复数为________．(用代数形式表示)
解析：＋i＝，由题意得
·2
＝×2
＝3＝3i，
即所得向量对应的复数为3i.
答案：3i
(2)在复平面内，把复数3－i对应的向量绕原点分别按逆时针方向和顺时针方向旋转，求所得向量对应的复数(结果用代数形式表示).
解：因为3－i＝2
＝2，
所以2·(cos ＋isin )
＝2
＝2
＝2
＝3＋i；
2·[cos ＋isin ]
＝2
＝2
＝－2i.
故把复数3－i对应的向量绕原点按逆时针方向旋转得到的复数为3＋i，按顺时针方向旋转得到的复数为－2i.
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1．(教材P194T1改编)复数z＝－i的三角形式为(　　)
A．2
B．2
C.2
D．2
解析：选D.因为|z|＝r＝2，所以cos θ＝，又z＝－i对应的点在第四象限，所以arg z＝，所以z＝－i＝2(cos ＋isin).故选D.
2．(多选)下列复数不是三角形式的是(　　)
A．5　
B．2
C．3
D．2
解析：选ABD.由复数三角形式的结构特征判断，A中角不同，B中是减号，且正弦在前，余弦在后，D中cos 前是负号，故A，B，D都不是三角形式. 故选ABD.
3．(教材P194T3改编)·(cos －isin )＝________．(结果用代数形式表示)
解析：原式＝·
＝＝＋i.
答案：＋i
4．把复数1＋i对应的向量绕原点，按顺时针方向旋转，所得到的向量对应的复数是________．(结果用代数形式表示)
解析：(1＋i)
＝[cos ＋isin ]
＝
＝＝1－i.
答案：1－i
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT )
1．已学习：复数三角形式、复数三角形式乘、除运算及其几何意义．
2．须贯通：复数的代数形式与三角形式的相互转化；运用复数乘除法的几何意义时，关键要明确模与辐角的变化，抓住向量与复数间的对应关系．
3．应注意：(1)复数的三角形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连；
(2)利用复数三角形式乘除时，复数必须是三角形式的标准形式．