3 课后达标 检测（教师版）

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1．若复数z＝(a＋i)2的辐角的主值是，则实数a的值为(　　)
A．1 B．－1
C．－ D．－
解析：选B.z＝(a＋i)2＝a2－1＋2ai，arg z＝，所以所以a＝－1.故选B.
2．复数z＝sin －icos ，若zn＝ (n∈N)，则n的最小值是(　　)
A．1 B．3 C．5 D．7
解析：选C.z＝sin －i cos
＝cos (－)＋isin，＝cos ＋isin
＝＝cos ＋isin，由于n∈N，所以n最小值为5.故选C.
3.(cos ＋isin )·(cos －isin )＝(　　)
A．－i B．＋i
C．＋i D．－i
解析：选C.原式＝(cos ＋isin )·[cos (－)＋isin (－)]＝(cos ＋isin )＝＋i.
4．设π<θ<，则复数的辐角的主值为(　　)
A．2π－3θ B．3θ－2π
C．3θ D．3θ－π
解析：选B.＝
＝cos 3θ＋isin 3θ.
因为π<θ<，所以3π<3θ<，
所以π<3θ－2π<.故选B.
5．(多选)已知单位向量1，2分别对应复数z1，z2，且1·2＝0，则可能为(　　)
A．i B．1
C．－1 D．－i
解析：选AD.因为单位向量1，2分别对应复数z1，z2，设复数z1＝cos θ1＋isin θ1，z2＝cos θ2＋isin θ2，因为1·2＝0，所以1⊥2，即θ1－θ2＝±，所以＝＝cos (θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)＝cos ＋isin＝±i.故选AD.
6．(多选)已知复数z＝－＋i(i为虚数单位)，则以下命题正确的是(　　)
A．z2＝ B．z·＝1
C．z2 025＝z D．z2 025＝1
解析：选ABD.因为z＝－＋i，所以z2＝－－i＝－－i＝，故A正确；
z·＝＝＋＝1，故B正确；
z＝－＋i＝cos ＋isin ，z2 025＝(z3)675＝＝1675＝1，故C错误，D正确．故选ABD.
7．将复数z＝5化为代数形式为__________________．
解析：z＝5＝＋i.
答案：z＝＋i
8．复数的三角形式为______________．
解析：＝＝－－i＝(－－i)＝(cos ＋isin ).
答案：(cos ＋isin )
9．将复数1＋i所对应的向量绕原点按逆时针方向旋转θ角(0＜θ＜2π)所得的向量对应的复数为－2，则θ＝________．
解析：因为arg(1＋i)＝，arg(－2)＝π，|1＋i|＝2，所以将1＋i所对应的向量绕原点逆时针旋转θ＝，所得向量对应的复数为－2.
答案：
10．计算，并将最终结果化为代数形式：
(1)3·2；
(2)·；
(3)(1－i)÷.
解：(1)3·2(cos －isin )
＝6(cos ＋isin )·
＝6＝6.
(2)·
＝·[cos
＋isin]＝cos ＋isin ＝i.
(3)(1－i)÷＝[cos (－)＋isin(－)]÷(cos ＋isin )＝[cos (－－)＋isin]＝[(×－×)－i]＝－i.
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11．设z1＝1－2i，z2＝1＋i，z3＝－1＋3i，则arg z1＋arg z2＋arg z3＝(　　)
A． B． C． D．
解析：选C.arg z1＋arg z2＋arg z3＝arg(z1z2z3)＋2kπ，k∈N.又z1z2z3＝(1－2i)·(1＋i)(－1＋3i)＝10i，所以arg(z1z2z3)＝.又＜arg z1＜2π，arg z2＝，＜arg z3＜π，所以arg z1＋arg z2＋arg z3∈，故arg z1＋arg z2＋arg z3＝. 故选C.
12．设45°＜α＜90°，把复数z1＝2sin α＋icos α在复平面上对应的向量按照顺时针方向旋转135°后得到复数为z2＝r(sin β＋icos β)，那么tan β＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：选B.根据复数三角形式乘法的几何意义可得r(sin β＋icos β)＝(2sin α＋icos α)·，整理得到r(sin β＋icos β)＝(2sin α＋icos α)·＝－sin α＋cos α＋i，
故tan β＝＝.故选B.
13．在复平面上，一个正方形的四个顶点按逆时针方向依次为Z1，Z2，Z3，O(其中O是原点)，已知Z1对应复数z1＝1＋i.则Z1和Z3表示的复数的乘积z1·z3＝________．
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解析：由题可得|z3|＝|z1|＝2，复平面上线段OZ1与实轴正半轴的夹角为，则线段OZ3与实轴正半轴的夹角为，所以z3＝2＝－＋i，
所以z1·z3＝(1＋i)(－＋i)＝－2－2i.
答案：－2－2i
14．把复数z1与z2在复平面内对应的向量，分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知z2＝－1－i，求复数z1的代数形式和它的辐角的主值．
解：由题意及复数乘法的几何意义得
z1＝z2.
因为z2＝－1－i＝2，
所以z1＝
＝2
＝2(cos ＋isin )＝－＋i，z1的辐角的主值为.
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15．设i为虚数单位，n为正整数，θ∈[0，2π).
观察(cos θ＋isin θ)2＝cos 2θ＋isin 2θ，(cos θ＋isin θ)3＝cos 3θ＋isin 3θ，(cos θ＋isin θ)4＝cos 4θ＋isin 4θ，…猜测：(cos θ＋isin θ)n＝____________(直接写出结果)；设复数z＝－i，利用该结论计算z10＝____________．
解析：由观察得(cos θ＋isin θ)n＝cos nθ＋isin nθ.z＝－i＝2＝2，
由结论得z10＝210
＝210
＝210
＝210
＝210＝210
＝512＋512i.
答案：cos nθ＋isin nθ　512＋512i
16．设复数z1＝＋i，复数z2满足|z2|＝2，且z1·z在复平面内对应的点在虚轴的负半轴上，且arg z2∈(0，π)，求z2的代数形式．
解：因为z1＝＋i＝2(cos ＋isin )，
设z2＝2(cos α＋isin α)，α∈(0，π)，
所以z1·z＝2(cos ＋isin )×4(cos 2α＋isin 2α)＝8[cos (2α＋)＋isin (2α＋)].
由题设知2α＋＝2kπ＋(k∈Z)，所以α＝kπ＋(k∈Z).又α∈(0，π)，所以α＝，
所以z2＝2(cos ＋isin )＝－1＋i.