章末复习提升(四)（教师版）

章末复习提升(四)
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要点一　复数的概念
形如z＝a＋bi(a，b∈R)的复数，当b＝0时是实数，当b≠0时是虚数，当a＝0且b≠0时，为纯虚数．处理复数概念问题的两个注意点：
(1)当复数不是a＋bi(a，b∈R)的形式时，要通过变形化为a＋bi的形式，以便确定其实部和虚部．
(2)求解时，要注意实部和虚部本身对变量的要求，否则容易产生增根．
训练1　已知复数z与(z＋2)2＋8i都是纯虚数，则z的共轭复数为(　　)
A．2　　　　　　　　　　 B．－2
C．2i D．－2i
解析：选D.设z＝bi，b∈R且b≠0，则(z＋2)2＋8i＝(bi＋2)2＋8i＝4＋4bi＋b2i2＋8i＝4－b2＋(4b＋8)i为纯虚数，则有解得b＝2，故z＝2i，则＝－2i.故选D.
训练2　若复数(a∈R)的共轭复数的实部和虚部相等，则实数a的值为________．
解析：因为＝＝＝＋i，所以复数(a∈R)的共轭复数为－i，实部为，虚部为－，依题意可得＝－，解得a＝－.
答案：－
训练3　已知z＝lg (m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，试求实数m的值，使(1)z是纯虚数；(2)z是实数；(3)z在复平面内对应的点位于第二象限．
解：(1)由得m＝3.
所以当m＝3时，z是纯虚数．
(2)由得m＝－1或m＝－2.
所以当m＝－1或m＝－2时，z是实数．
(3)由得－1所以当－1要点二　复数的四则运算
1．进行复数代数运算的策略
(1)复数的运算的基本思路就是应用运算法则进行计算．
(2)复数的四则运算中含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式．
2．通过复数的运算，可以提升数学运算和逻辑推理的数学素养．
训练4　复数z满足z(＋1)＝1＋i，其中i是虚数单位，则z＝(　　)
A．1＋i或－2＋i　　　 B．i或1＋i
C．i或－1＋i D．－1－i或－2＋i
解析：选C.设z＝a＋bi(a，b∈R)，
由z(＋1)＝1＋i，得a2＋b2＋a＋bi＝1＋i，
所以b＝1，a2＋a＋1＝1，所以a＝0或a＝－1.
故z＝i或z＝－1＋i.故选C.
训练5　已知z＝－，则z100＋z50＋1的值为(　　)
A．i B．－i
C．1＋i D．1－i
解析：选B.因为(1－i)2＝1－2i＋i2＝－2i，所以z100＋z50＋1＝＋＋1＝·(1－i)100＋(1－i)50＋1＝(－2i)50＋(－2i)25＋1＝i50－i25＋1＝i2－i＋1＝－i.
训练6　已知i为虚数单位，则复数＝______________.
解析：＝＝＝－1－2i.
答案：－1－2i
训练7　已知复数z＝，则z＋z2＝_________.
解析：z＝＝－＋i，所以z2＝＝－i＋i2＝－i－＝－－i，所以z＋z2＝＋＝－1.
答案：－1
要点三　共轭复数
若两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数．常用结论：
(1)由共轭复数的定义可知，的共轭复数是z，|z|＝||.
(2)实数的共轭复数是它本身，即z＝ z∈R.
(3)若z≠0且z＝－，则z为纯虚数．
训练8　已知复数z＝，若z2＝(a＋bi)，a，b∈R，是z的共轭复数，则a＋b＝(　　)
A．0　　　B．1 C． －1　　　D．－2
解析：选B.因为z＝，所以z2＝＝，＝，因为z2＝(a＋bi)，所以1＝a＋bi.又a，b∈R，所以a＝1，b＝0，所以a＋b＝1.故选B.
训练9　复数z＝的共轭复数是________．
解析：由题意可得z＝＝＝1－i，故z的共轭复数是1＋i.
答案：1＋i
训练10　已知z∈C，且满足(1＋i)(－2)＝2i，则z＝________．
解析：由(1＋i)(－2)＝2i，得＝2＋＝2＋＝2＋i(1－i)＝3＋i，所以z＝3－i.
答案：3－i
要点四　复数的模
利用模的定义将复数的模的条件转化为其实、虚部满足的条件，是一种复数问题实数化思想，模的几何意义是复数所对应的点到原点的距离，复数z＝a＋bi(a，b∈R)模的计算公式|z|＝.
训练11　已知复数z＝(a∈R)，|z|＝，若z在复平面上对应的点在第三象限，则a＝(　　)
A．4 B.－4
C． D.－
解析：选B.因为z＝＝＝＝－i，则|z|＝＝＝，解得a＝±4.因为复数z在复平面上对应的点在第三象限，则解得－9＜a＜1，因此，a＝－4.故选B.
训练12　已知复数z＝＋i5，则|z|＝________．
解析：由题知，z＝＋i5＝＋i＝1＋2i，所以|z|＝＝.
答案：
训练13　已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，满足1≤|z|≤条件的点Z的集合，所构成的图形的面积为________．
解析：由题意复数z＝a＋bi满足1≤|z|≤，即1≤≤，即满足1≤|z|≤条件的点Z的集合，所构成的图形为半径为1和的两个圆之间的圆环(含边界)，则图形的面积为π×()2－π×12＝π.
答案：π
要点五　复数的几何意义
复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)一一对应，与以原点为起点的向量一一对应．|z1－z2|则是复平面上复数z1，z2对应的点Z1，Z2之间的距离．
复数运算与复数几何意义的综合运用是高考常见的考查题型，解答此类问题的关键是利用复数运算将复数化为代数形式，再利用复数的几何意义解题．
训练14　已知复数z1＝＋i，z2＝－＋i，则z＝在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D.因为z1＝＋i，z2＝－＋i，
所以z＝＝
＝＝－i，
所以复数z在复平面内对应的点为，位于第四象限．故选D.
训练15　(多选)已知非零复数z1，z2分别对应复平面内的向量，，且|z1＋z2|＝|z1－z2|，线段AB的中点M表示的复数为4＋3i，则(　　)
A．⊥ B．＝
C.|z1|2＋|z2|2＝10 D．|z1|2＋|z2|2＝100
解析：选AD.如图，由
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向量的加法及减法法则可知，＝＋，＝－.
由复数加法及减法的几何意义可知，|z1＋z2|对应的模，|z1－z2|对应的模．
又|z1＋z2|＝|z1－z2|，所以四边形OACB是矩形，则⊥.
又因为线段AB的中点M表示的复数为4＋3i，所以||＝2||＝10，所以|z1|2＋|z2|2＝||2＋||2＝||2＝100.
训练16　复数z满足|z＋3－i|＝，则|z|的最大值是________，|z|的最小值是 ______．
解析：设z对应的点为Z，|z＋3－i|＝表示点Z的轨迹是以点P(－3，)为圆心，以为半径的圆，如图所示，
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则|OP|＝＝＝2，
显然|z|max＝|OA|＝|OP|＋＝3，
|z|min＝|OB|＝|OP|－＝.
答案：3