章末综合检测(四)（教师版）

章末综合检测(四)
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设i是虚数单位，则复数z＝－2＋3i2 025的共轭复数在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选C.因为i2 025＝i4×506＋1＝(i4)506·i＝i，所以z＝－2＋3i2 025＝－2＋3i，所以＝－2－3i在复平面内对应的点为(－2，－3)，在第三象限．故选C.
2．已知复数z＝(i是虚数单位)，则|z|＝(　　)
A． B．2 C．1 D．
解析：选A.方法一：z＝＝＝＝＋i，|z|＝＝＝.故选A.
方法二：|z|＝＝＝＝.故选A.
3.是z的共轭复数，若z＋＝2，z－＝2i(i为虚数单位)，则z＝(　　)
A．1＋i B．－1－i
C．－1＋i D．1－i
解析：选A.因为z＋＝2 ①，z－＝2i ②，①＋②得2z＝2＋2i，所以z＝1＋i.故选A.
4．若复数z的实部是虚部的两倍，且满足z＋a＝，则实数a＝(　　)
A．－1 B．5
C．1 D．9
解析：选A.z＝－a＝－a＝－a＝(3－a)＋2i，由题意得3－a＝2×2，解得a＝－1.故选A.
5．已知i是虚数单位，1＋i是关于x的方程x2－2x－m＝0(m∈R)的一个根，则m＝(　　)
A．4 B．－4
C．2 D．－2
解析：选D.因为1＋i是方程x2－2x－m＝0(m∈R)的一个根，所以1－i是方程的另一个根，所以－m＝(1＋i)(1－i)＝2，解得m＝－2.故选D.
6．在复平面内，O为坐标原点，复数z1＝i(－4＋3i)，z2＝7＋i对应的点分别为Z1，Z2，则∠Z1OZ2的大小为(　　)
A． B． C． D．
解析：选C.因为z1＝i(－4＋3i)＝－3－4i，z2＝7＋i，所以1＝(－3，－4)，2＝(7，1)，所以1·2＝－21－4＝－25，所以cos ∠Z1OZ2＝ eq \f(1·2,|1||2|) ＝－＝－.又∠Z1OZ2∈[0，π]，所以∠Z1OZ2＝.
7．2(cos 75°＋isin 75°)×＝(　　)
A．－＋i B．＋i
C．－i D．＋i
解析：选B.因为－i＝(－i)＝(cos 315°＋isin 315°)，所以2(cos 75°＋isin 75°)×＝2(cos 75°＋isin 75°)×(cos 315°＋isin 315°)＝(cos 390°＋isin 390°)＝＋i.故选B.
8．已知复数z满足|z＋i|＝|z－i|，则|z＋1＋2i|的最小值为(　　)
A．1 B．2 C． D．
解析：选B.设复数z在复平面内对应的点为Z，因为复数z满足|z＋i|＝|z－i|，所以由复数的几何意义可知，点Z到点(0，－1)和(0，1)的距离相等，所以在复平面内点Z的轨迹为实轴，又|z＋1＋2i|表示点Z到点(－1，－2)的距离，所以问题转化为实轴上的动点Z到定点(－1，－2)的距离的最小值，所以|z＋1＋2i|的最小值为2.故选B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知复数z1，z2是关于x的方程x2＋bx＋1＝0(－2A．1＝z2
B．∈R
C．|z1|＝|z2|＝1
D．若b＝1，则z＝z＝1
解析：选ACD.由题易知b2－4<0，所以方程的根为x＝，不妨设z1＝－＋i，z2＝－－i，易知1＝z2，A正确；
因为z1z2＝1，所以＝ eq \f(z,z1z2) ＝z＝－i，当b≠0时， R，B错误；|z1|＝|z2|＝＝1，C正确；
当b＝1时，z1＝－＋i，z2＝－－i，计算得z＝－－i＝z2，所以z＝z1z2＝1，同理得z＝1，D正确．故选ACD.
10．设z1，z2，z3为复数，z1≠0，下列命题中正确的是(　　)
A．若|z2|＝|z3|，则z2＝±z3
B．若z1·z2＝z1·z3，则z2＝z3
C．若2＝z3，则|z1·z2|＝|z1·z3|
D．若z1·z2＝|z1|2，则z1＝z2
解析：选BC.由复数模的概念可知，|z2|＝|z3|不能得到z2＝±z3，例如z2＝1＋i，z3＝1－i，A错误；
由z1·z2＝z1·z3可得z1(z2－z3)＝0，因为z1≠0，所以z2－z3＝0，即z2＝z3，B正确；
因为|z1·z2|＝|z1||z2|，|z1·z3|＝|z1||z3|，而2＝z3，所以|2|＝|z3|＝|z2|，所以|z1·z2|＝|z1·z3|，C正确；
取z1＝1＋i，z2＝1－i，显然满足z1·z2＝|z1|2，但z1≠z2，D错误．故选BC.
11．已知复数z满足|z|＝|z－1|＝1，且复数z在复平面内对应的点在第一象限，则下列结论正确的是(　　)
A．复数z的虚部为i
B．＝－i
C．z2＝z－1
D．复数z的共轭复数为－＋i
解析：选BC.设z＝a＋bi(a，b∈R，且a，b>0)，因为|z|＝|z－1|＝1，
即|a＋bi|＝|(a－1)＋bi|＝1，
所以
解得所以z＝＋i.
对于A，复数z的虚部为，故A不正确；对于B，＝＝＝－i，故B正确；对于C，因为z2＝＝＋i－＝－＋i，z－1＝＋i－1＝－＋i，所以z2＝z－1，故C正确；对于D，z的共轭复数为－i，故D不正确．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．在复平面内，把与复数－i对应的向量绕原点按逆时针方向旋转45°，所得向量对应的复数为z，则z的代数形式是________．
解析：z＝(－i)(cos 45°＋isin 45°)
＝(－i)＝－i.
答案：－i
13．设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝3＋i，则|z1－z2|＝________．
解析：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R).由已知得a2＋b2＝c2＋d2＝4，a＋c＝3，b＋d＝，则z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i，|z1－z2|2＝(a－c)2＋(b－d)2＝a2＋b2＋c2＋d2－2ac－2bd＝2(a2＋b2＋c2＋d2)－(a＋c)2－(b＋d)2＝2(4＋4)－9－3＝4，则|z1－z2|＝2.
答案：2
14．已知复数ω满足ω－4＝(3－2ω)i(i为虚数单位)，z＝＋|ω－2|.写出一个以z为根的实系数一元二次方程为______________．
解析：由题知ω(1＋2i)＝4＋3i，即ω＝＝2－i，故z＝＋|－i|＝3＋i.若实系数一元二次方程有虚根z＝3＋i，则必有共轭虚根＝3－i，因为z＋＝6，z·＝10，所以所求的一个一元二次方程可以是x2－6x＋10＝0.
答案：x2－6x＋10＝0(答案不唯一)
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分13分)已知复数z1＝2－3i，z2＝.求：
(1)z1·z2；(2).
解：z2＝＝＝＝＝1－3i，
则(1)z1·z2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i.
(2)＝＝＝＝＋i.
16．(本小题满分15分)已知复数z1＝a＋i，z2＝1－i，a∈R.
(1)当a＝1时，求z1·2的值；
(2)若z1－z2是纯虚数，求a的值；
(3)若在复平面内对应的点在第二象限，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝1时，z1·2＝(1＋i)(1＋i)＝1＋2i＋i2＝2i.
(2)由题意z1－z2＝a－1＋2i为纯虚数，则a－1＝0，所以a＝1.
(3)＝＝＝＝＋i，
该复数在复平面内对应的点在第二象限，则解得－1故实数a的取值范围是(－1，1).
17．(本小题满分15分)已知复数z满足|z|＝，z2的虚部为2.
(1)求复数z；
(2)设z，z2，z－z2在复平面内对应的点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
解：(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，
由已知条件得a2＋b2＝2，z2＝a2－b2＋2abi，
所以2ab＝2.
所以a＝b＝1或a＝b＝－1，
即z＝1＋i或z＝－1－i.
(2)当z＝1＋i时，z2＝(1＋i)2＝2i，z－z2＝1－i.
所以点A(1，1)，B(0，2)，C(1，－1)，
所以S△ABC＝×AC×1＝×2×1＝1.
当z＝－1－i时，z2＝(－1－i)2＝2i，z－z2＝－1－3i.
所以点A(－1，－1)，B(0，2)，C(－1，－3)，
所以S△ABC＝×AC×1＝×2×1＝1.
即△ABC的面积为1.
18．(本小题满分17分)求同时满足下列条件的所有复数z.
①z＋∈R，且1②z的实部和虚部都是整数．
解：设z＝x＋yi(x，y∈Z)，则z＋
＝x＋yi.
因为z＋∈R，所以y＝0，所以y＝0或x2＋y2＝10.
又1当y＝0时，(*)式可以化为1当x<0时，x＋<0，不合题意．
当x＞0时，x＋≥2＞6，不合题意．故当y＝0时，无解；
当x2＋y2＝10时，(*)式可化为1<2x≤6，解得因为x，y∈Z，所以可得或
故z＝1＋3i或1－3i或3＋i或3－i.
综上，z＝1＋3i或1－3i或3＋i或3－i.
19．(本小题满分17分)已知虚数z＝a＋icos θ，其中a，θ∈R，i为虚数单位．
(1)若对满足条件的任意实数θ，均有|z＋2－i|≤3，求实数a的取值范围；
(2)若z，z2恰好是某实系数一元二次方程的两个解，求a，θ的值．
解：(1)虚数z＝a＋icos θ，
则cos θ≠0，不等式|z＋2－i|≤3 |a＋2＋(cos θ－1)i|≤3 (a＋2)2＋(cos θ－1)2≤9.
又θ∈R，所以－2≤cos θ－1≤0，且cos θ－1≠－1，则(cos θ－1)2有最大值4，依题意，(a＋2)2≤5，解得－2－≤a≤－2＋，所以实数a的取值范围是[－2－，－2＋].
(2)虚数z＝a＋icos θ，
则z2＝a2－cos2θ＋2aicosθ，
因为z，z2恰好是某实系数一元二次方程的两个解，
所以z，z2互为共轭复数．
因此而cos θ≠0，
解得
则a＝－，θ＝kπ±，k∈Z，
所以a＝－，θ＝kπ±，k∈Z.