1．1　复数的概念（教师版）

INCLUDEPICTURE "数学BSBX2第五章lll.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../数学BSBX2第五章lll.TIF" \* MERGEFORMAT
§ 1　复数的概念及其几何意义
1．1　复数的概念
1.了解数集的扩充过程，了解引进复数的必要性．　2.理解复数及其相关概念：实部、虚部、虚数、纯虚数等，明确复数的分类．　3.理解复数的代数表示法．　4.掌握复数相等的充要条件，并能应用这一条件解决有关问题．
INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
数系的扩充过程，也可以从方程是否有解的角度来理解：
因为类似x＋4＝3的方程在自然数范围内无解，所以人们引入了负数并将自然数扩充成整数，使得类似x＋4＝3的方程在整数范围内有解；
因为类似2x＝5的方程在整数范围内无解，所以人们引入了分数并将整数扩充成有理数，使得类似2x＝5的方程在有理数范围内有解；
因为类似x2＝7的方程在有理数范围内无解，所以人们引入了无理数并将有理数扩充成实数，使得类似x2＝7的方程在实数范围内有解．
思考　我们已经知道，类似x2＝－1的方程在实数范围内无解．那么，能否像前面一样，引入一种新的数，使得这个方程有解并将实数进行扩充呢？
提示：能．引入虚数单位i，使i2＝－1，则方程x2＝－1的解为x＝±i.
1．虚数单位
为了使像x2＝－1这样一个简单的方程有解，我们引进一个新数i，叫作________，并规定：
(1)它的平方等于－1，即i2＝－1；
(2)实数与它进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立．
2．复数的概念及表示
形如a＋bi(其中a，b∈R)的数叫作________，通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a称为复数z的________，记作Re z，b称为复数z的____________，记作Im z．
3．复数的分类
4．复数集
全体复数构成的集合称为复数集，记作C.显然R________C.
[答案自填] 虚数单位　复数　实部　虚部
?
角度1　复数的概念
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(多选)下列命题中，不正确的是(　　)
A．1－ai(a∈R)是一个复数
B．形如a＋bi(b∈R)的数一定是虚数
C.若a＝0，则a＋bi为纯虚数
D．－1没有平方根
【解析】　由复数的概念可知命题A正确；形如a＋bi(b∈R)的数，当b＝0时，它不一定是虚数，故命题B不正确；当a＝b＝0时，a＋bi＝0为实数，故命题C不正确；－1的平方根为±i，故命题D不正确．故选BCD.
【答案】　BCD
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
判断与复数有关的命题是否正确的方法
(1)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这种类型的题时，可按照“先特殊后一般，先否定后肯定”的方法进行解答.
(2)化代数形式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋bi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实部、虚部．
[注意]　解答复数概念题时，一定要紧扣复数的定义，牢记i的性质．
[跟踪训练1] (1)复数1－i的虚部是(　　)
A．－1 B．－i C．i D．1
解析：选A.复数1－i的虚部是－1.故选A.
(2)一个实部和虚部互为相反数的虚数是______．(写出一个即可)
解析：由于实部和虚部互为相反数，故满足题意的一个虚数为1－i.
答案：1－i(答案不唯一)
角度2　复数的分类
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　当实数m取何值时，复数z＝＋(m2－2m－15)i是下列数？
(1)虚数；(2)纯虚数．
【解】　(1)当即m≠5且m≠－3时，复数z是虚数．
(2)当即m＝3或m＝－2时，复数z是纯虚数．
【变式探究】
(设问变式)若本例条件不变，当m为何值时z＞0
解：因为z＞0，所以z为实数，
需满足解得m＝5.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
解决复数分类问题的方法与步骤
(1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
(2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可．
(3)下结论：设所给复数为z＝a＋bi(a，b∈R)，
①z为实数 b＝0；
②z为虚数 b≠0；
③z为纯虚数 a＝0且b≠0.
[跟踪训练2] (1)已知i是虚数单位，复数z＝(x2－4)＋(x＋2)i是纯虚数，则实数x的值为(　　)
A．2 B．－2 C．±2 D．4
解析：选A.由z＝(x2－4)＋(x＋2)i是纯虚数，得解得x＝2.故选A.
(2)复数z＝(a＋1)＋(a2－3)i，若z＜0，则实数a的值是(　　)
A． B．－ C．－1 D．1
解析：选B.能比较大小的两个数一定都是实数，故a2－3＝0，解得a＝±，又z＜0，即a＋1＜0，所以a＜－1，故a＝－.
两个复数a＋bi与c＋di(a，b，c，d∈R)相等定义为：它们的实部相等且虚部相等，即a＋bi＝c＋di当且仅当______________．
[答案自填] a＝c且b＝d
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(对接教材例2)(1)若xi－2i2＝y＋2yi，x，y∈R，则复数x＋yi＝(　　)
A．－2＋i B．4＋2i
C．1－2i D．1＋2i
(2)若a，b∈R，i是虚数单位，且b＋(a－2)i＝1＋i，则a＋b的值为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】　(1)由i2＝－1，
得xi－2i2＝2＋xi，
则2＋xi＝y＋2yi，
根据复数相等的充要条件得
解得故x＋yi＝4＋2i.
(2)因为b＋(a－2)i＝1＋i，
所以
所以所以a＋b＝4.
【答案】　(1)B　(2)D
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
解决复数相等问题的方法
(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解；
(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现．
[跟踪训练3] (1)(多选)下列说法正确的是(　　)
A．如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等
B．ai是纯虚数(a∈R)
C．如果复数x＋yi(x，y∈R)是实数，那么x＝0，y＝0
D．复数a＋bi(a，b∈R)可能是实数
解析：选AD.若两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，则它们的实部、虚部分别相等，即这两个复数相等，故A正确；
当a＝0时，ai＝0是实数，故B错误；
要使复数x＋yi(x，y∈R)是实数，只需y＝0，所以C错误；当b＝0时，复数a＋bi是实数，故D正确．
(2)已知x－2y＋3＋(x＋y)i＝0，x，y∈R，则x＝________，y＝________．
解析：因为x－2y＋3＋(x＋y)i＝0，
所以
所以
答案：－1　1
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1．下列各数－2－i，i，i2，0，(1－)i中，虚数共有(　　)
A．5个 B．4个
C．3个 D．2个
解析：选C.复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当b≠0时为虚数，故有3个虚数．
2．(教材P180习题5－1A组T1改编)已知复数z＝(m－m2)＋mi(m∈R)为纯虚数，则实数m的值为(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．0或1
解析：选C.因为z＝(m－m2)＋mi(m∈R)为纯虚数，所以
解得m＝1.故选C.
3．若复数z＝(m＋1)＋(m2－9)i＜0，m∈R，则实数m的值为________．
解析：因为z＜0，
所以
解得m＝－3.
答案：－3
4．若复数z＝＋i(m∈R)是虚数，则实数m的取值范围是__________________________________________．
解析：因为复数z＝＋i(m∈R)是虚数，所以
解得m>1或m<0且m≠－2.
故实数m的取值范围是(－∞，－2)∪(－2，0)∪(1，＋∞).
答案：(－∞，－2)∪(－2，0)∪(1，＋∞)
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT )
1．已学习：复数的概念与分类、复数相等的充要条件．
2．须贯通：两个复数一般不能比较大小，如有大小关系，则它们一定是实数；两个复数相等的充要条件是实部与虚部分别相等；复数问题实数化是求解复数的基本方法，体现了转化与化归的数学思想．
3．应注意：(1)复数代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)是否规范；
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)是纯虚数的充要条件是b≠0且a＝0.