2．1　复数的加法与减法（教师版）

§2　复数的四则运算
2．1　复数的加法与减法
1.掌握复数代数形式的加法、减法运算法则．　2.理解复数代数形式的加法、减法运算的几何意义．　3.能够利用复数代数形式的加法、减法运算法则及几何意义解决问题．
INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
任意两个实数可以相加，实数中的加法运算满足交换律和结合律．复数集是从实数扩充而来的，复数z和复平面内的向量一一对应，向量也有加减法．
思考1　怎么定义复数的加减法？
提示：若z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R).则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.
思考2　复数加法满足交换律和结合律吗？
提示：满足．
对任意两个复数a＋bi和c＋di(a，b，c，d∈R).
(a＋bi)＋(c＋di)＝__________________；
(a＋bi)－(c＋di)＝__________________．
复数的加法满足交换律、结合律，即对任意的复数z1，z2，z3∈C，都有z1＋z2＝__________(交换律)，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)(结合律).
[答案自填] (a＋c)＋(b＋d)i　(a－c)＋(b－d)i　z2＋z1
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(对接教材例1)计算：
(1)(1＋3i)＋(－2＋i)＋(2－3i)＝________．
(2)已知z1＝(3x－4y)＋(y－2x)i，z2＝(－2x＋y)＋(x－3y)i，x，y为实数，若z1－z2＝5－3i，则|z1＋z2|＝________．
【解析】　(1)原式＝(1－2＋2)＋(3＋1－3)i＝1＋i.
(2)因为z1－z2＝[(3x－4y)＋(y－2x)i]－[(－2x＋y)＋(x－3y)i]＝[(3x－4y)－(－2x＋y)]＋[(y－2x)－(x－3y)]i＝(5x－5y)＋(－3x＋4y)i＝5－3i，
所以解得所以z1＝3－2i，z2＝－2＋i，则z1＋z2＝1－i，
所以|z1＋z2|＝＝.
【答案】　(1)1＋i　(2)
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" )
(1)复数的加、减法类似于多项式的合并同类项．
①复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．
②把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项．
(2)两个复数的加法(或减法)运算可以推广到多个复数相加(或相减)的混合运算，运算的结果仍然是一个复数．
[跟踪训练1] (1)计算＋(2－i)－＝________．
解析：原式＝＋i＝1＋i.
答案：1＋i
(2)已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，则z＝________．
解析：方法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，因为z＋1－3i＝5－2i，所以x＋yi＋1－3i＝5－2i，即解得所以z＝4＋i.
方法二：因为z＋1－3i＝5－2i，所以z＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i.
答案：4＋i
设z1，z2∈C，向量1，2分别与复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)对应，且1，2不共线
类别 加法 减法
几何意义 复数的和z1＋z2与向量1＋2＝的坐标对应 复数的差z1－z2与向量1－2＝的坐标对应
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(对接教材例4)如图所示，在平行四边形OABC中，顶点O，A，C分别表示复数0，3＋2i，－2＋4i.求：
INCLUDEPICTURE "../../../25RJAB-11.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)所对应的复数，所对应的复数；
(2)对角线所对应的复数；
(3)对角线所对应的复数及的模．
【解】　(1)因为0－(3＋2i)＝－3－2i，所以所对应的复数为－3－2i.因为＝，所以所对应的复数为－3－2i.
(2)因为＝－，所以所对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)因为对角线＝＋，
所以所对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，所以||＝＝.
【变式探究】
1．(设问变式)若本例条件不变，试求点B所表示的复数．
解：因为＝＋，所以对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.所以点B所表示的复数为1＋6i.
2．(设问变式)若本例条件不变，求对角线AC，BO的交点M表示的复数．
解：由题意知，点M为OB的中点，则＝.由上题知点B的坐标为(1，6)，得点M的坐标为，所以点M表示的复数为＋3i.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" )
用复数加、减运算的几何意义解题的技巧
(1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理．
(2)数转化为形：复数的加减运算可以借助图形来解决，利用平行四边形法则、三角形法则进行运算；利用复数与向量的对应关系得到复数间的关系.
[跟踪训练2] 已知复数z1＝1＋3i，z2＝3＋i(i为虚数单位)，在复平面内，z1－z2对应的点在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B.因为z1＝1＋3i，z2＝3＋i，所以z1－z2＝1＋3i－(3＋i)＝(1－3)＋(3－1)i＝－2＋2i，故z1－z2在复平面内对应的点(－2，2)在第二象限．
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　已知z∈C，且|z＋3－4i|＝1，求|z|的最大值与最小值．
【解】　由于|z＋3－4i|＝|z－(－3＋4i)|＝1，所以在复平面内，复数z对应的点Z与复数－3＋4i对应的点C(－3，4)之间的距离等于1，故复数z对应的点Z的轨迹是以C(－3，4)为圆心，1为半径的圆，如图所示．
INCLUDEPICTURE "../../../C-10.TIF" \* MERGEFORMAT
而|z|表示复数z对应的点Z到原点O的距离，又OC＝＝5，所以点Z到原点O的最大距离为5＋1＝6，最小距离为5－1＝4.即|z|max＝6，|z|min＝4.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" )
(1)|z－z0|表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值内变为两复数代数形式差的形式．
(2)|z－z0|＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆.
(3)涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解.
(4)利用三角不等式||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|，求复数模的最值．
[跟踪训练3] 已知z1＝2－2i，且|z|＝1，则|z－z1|的最大值为________．
解析：如图所示，因为|z|＝1，所以z的轨迹可看作是半径为1，圆心为原点的圆，而z1对应复平面内的点为(2，－2)，所以|z－z1|的最大值可以看成点(2，－2)到圆上的点的最大距离，则|z－z1|的最大值为2＋1.
INCLUDEPICTURE "../../../C-11.TIF" \* MERGEFORMAT
答案：2＋1
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1．(教材P183T1改编)已知z＋5－6i＝3＋4i，则复数z＝(　　)
A．－4＋20i B．－2＋10i
C．－8＋20i D．－2＋20i
解析：选B.z＝3＋4i－(5－6i)＝(3－5)＋(4＋6)i＝－2＋10i.故选B.
2．(多选)已知m∈R，复数z1＝m＋3i，z2＝z1＋4－2i，且z2为纯虚数，复数z1的共轭复数为1，则(　　)
A．m＝－4
B．|z2|＝2
C．1＝－4－3i
D．复数1的虚部为－3i
解析：选AC.由题可知z2＝m＋3i＋4－2i＝(4＋m)＋i，对于A，因为z2为纯虚数，所以m＝－4，故A正确；对于B，|z2|＝1，故B错误；对于C，1＝－4－3i，故C正确；对于D，复数1的虚部为－3，故D错误．故选AC.
3．已知a∈R，复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i，且z1－z2为纯虚数，则a＝_________________.
解析：因为z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i(a∈R)为纯虚数，所以
解得a＝－1.
答案：－1
4．复数z1＝2＋2i与z2＝3－5i在复平面内对应的点之间的距离为________．
解析：由题意可知，z1，z2在复平面内对应的点之间的距离为|z1－z2|＝|－1＋7i|＝5.
答案：5
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" )
1．已学习：复数代数形式的加、减运算法则及其几何意义．
2．须贯通：对于复数z＝x＋yi(x，y∈R)，利用复数相等或模的概念，把条件转化为x，y满足的关系式，这是“复数问题实数化”思想的应用；d＝|z1－z2|表示复平面上两复数对应点间的距离，利用其直观性可求相关问题的最值．
3．应注意：(1)复数的差对应向量的方向；
(2)两个复数差的模的几何意义．