2．1　课后达标 检测（教师版）

INCLUDEPICTURE "课后达标检测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../课后达标检测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "基础达标.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../基础达标.TIF" \* MERGEFORMAT
1．i为虚数单位，若1＋z＝2＋3i，则复数z的虚部为(　　)
A．1 B．3 C．i D．3i
解析：选B.因为1＋z＝2＋3i，所以z＝2－1＋3i＝1＋3i，故复数z的虚部为3.故选B.
2．设复数z1＝2－i，z2＝－3＋5i，则z1＋z2在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B.因为z1＋z2＝(2－i)＋(－3＋5i)＝－1＋4i，所以z1＋z2在复平面内对应的点的坐标为(－1，4)，位于第二象限．故选B.
3．已知复数z对应的向量如图所示，则复数z＋1所对应的向量正确的是(　　)
INCLUDEPICTURE "../../../A25BB1a.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "../../../A25BB1.TIF" \* MERGEFORMAT
解析：选A.由题图可知z＝－2＋i，
所以z＋1＝－1＋i，则复数z＋1所对应的点的坐标为(－1，1).
又|z＋1|＝，故选A.
4．已知i为虚数单位，复数z＝－＋i的共轭复数为，则＋|z|＝(　　)
A．－＋i B．－i
C．＋i D．－－i
解析：选B.复数z的共轭复数＝－－i，复数z的模为|z|＝＝1，则＋|z|＝－－i＋1＝－i.故选B.
5．(多选)|(3＋2i)－(1＋i)|可表示(　　)
A．点(3，2)与点(1，1)之间的距离
B．点(3，2)与点(－1，－1)之间的距离
C．点(2，1)到原点的距离
D．坐标为(－2，－1)的向量的模
解析：选ACD.由复数的几何意义，知复数3＋2i，1＋i分别对应复平面内的点(3，2)与点(1，1)，所以|(3＋2i)－(1＋i)|可表示点(3，2)与点(1，1)之间的距离，故A正确，B错误；|(3＋2i)－(1＋i)|＝|2＋i|，|2＋i|可表示复平面内点(2，1)到原点的距离，故C正确；|(3＋2i)－(1＋i)|＝|(1＋i)－(3＋2i)|＝|－2－i|，|－2－i|可表示复平面内坐标为(－2，－1)的向量的模，故D正确．故选ACD.
6．(多选)在复平面内有一个平行四边形OABC，点O为坐标原点，点A表示的复数为z1＝1＋i，点B表示的复数为z2＝1＋2i，点C表示的复数为z3，则下列结论正确的是(　　)
A．点C位于第二象限
B．z1＋z3＝z2
C．|z1－z3|＝AC
D．|z2＋z3|＝
解析：选BC.如图，由题意，O(0，0)，A(1，1)，B(1，2)，＝(0，1).
因为OABC为平行四边形，所以＝＝(0，1), 则C(0，1)，
INCLUDEPICTURE "../../../23K215.TIF" \* MERGEFORMAT
所以z3＝i，点C位于虚轴上，故A错误；
z1＋z3＝1＋i＋i＝1＋2i＝z2，故B正确；
|z1－z3|＝|1＋i－i|＝1＝AC，故C正确；
|z2＋z3|＝|1＋2i＋i|＝|1＋3i|＝，故D错误．故选BC.
7．已知复数z满足|z|＋z＝1＋3i，则z＝________．
解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，|z|＝，
所以|z|＋z＝(＋x)＋yi＝1＋3i，
所以解得
所以z＝－4＋3i.
答案：－4＋3i
8．若z1＝1＋2i，z2＝2＋ai，a∈R，复数z2－z1在复平面内所对应的点在第四象限内，则实数a的取值范围是________．
解析：由题设z2－z1＝2＋ai－(1＋2i)＝1＋(a－2)i在复平面内所对应的点在第四象限，所以a－2＜0，即a＜2.
答案：(－∞，2)
9．若复数z＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)满足|z－2i|＝|z|，写出一个满足条件的复数：z＝__________．
解析：z＝a＋bi(a，b∈R)，故z－2i＝a＋(b－2)i.由|z－2i|＝|z|知，＝，化简得b＝1，故只要b＝1，即z＝a＋i(a可为任意实数)均满足题意，可取z＝1＋i.
答案：1＋i(答案不唯一)
10.已知四边形OACB是复平面内的平行四边形，O是原点，点A，B分别表示复数3＋i，2＋4i，M是OC，AB的交点，如图所示，求点C，M表示的复数，及点C，M间的距离CM.
INCLUDEPICTURE "../../../25RJAB-13.TIF" \* MERGEFORMAT
解：由题知，分别对应复数3＋i，2＋4i，
所以＝＋对应的复数为(3＋i)＋(2＋4i)＝5＋5i，即点C表示的复数为5＋5i.
又＝，所以对应的复数为＋i，即点M表示的复数为＋i.
所以CM＝＝.
INCLUDEPICTURE "能力提升.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../能力提升.TIF" \* MERGEFORMAT
11．在复平面内已知点A，B，C表示的复数分别为1＋3i，－i，2＋i，若＝，则点D表示的复数是(　　)
A．1－3i B．－3－i
C．3＋5i D．5＋3i
解析：选C.因为点A，B，C表示的复数分别为1＋3i，－i，2＋i，所以对应的复数为2＋i－(－i)＝2＋2i.设点D表示的复数为x＋yi(x，y∈R)，所以对应的复数为x－1＋(y－3)i，又＝，所以x－1＋(y－3)i＝2＋2i，由复数相等的定义得解得所以点D表示的复数为3＋5i.故选C.
12．(多选)已知复数z1＝2－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P1，复数z2满足|z2－i|＝1，则下列结论正确的是(　　)
A．P1点在复平面上的坐标为(2，－2)
B．1＝2＋2i
C．|z1－z2|的最大值为＋1
D．|z1－z2|的最小值为－1
INCLUDEPICTURE "../../../C-15.TIF" \* MERGEFORMAT
解析：选ABC.复数z1＝2－2i在复平面内对应的点为P1(2，－2)，故A正确；复数z1＝2－2i，所以复数＝2＋2i，故B正确；设复数z2在复平面内对应的点为P2，由复数差的几何意义可知，P2在以C(0，1)为圆心，1为半径的圆上，|z1－z2|表示的是复数z1和z2在复平面内对应的两点之间的距离，即P1P2.而P1P2的最大值是P1C＋1＝＋1＝＋1；P1P2的最小值是P1C－1＝－1.
所以|z1－z2|的最大值为＋1，最小值为－1，故C正确，D错误．故选ABC.
13．设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝＋i，则|z1－z2|＝________．
解析：方法一：设z1－z2＝a＋bi，a，b∈R.
因为z1＋z2＝＋i，所以2z1＝(＋a)＋(1＋b)i，2z2＝(－a)＋(1－b)i.
因为|z1|＝|z2|＝2，所以|2z1|＝|2z2|＝4，
所以＝4，①
＝4，②
由①2＋②2得a2＋b2＝12.
所以|z1－z2|＝＝2.
方法二：设复数z1，z2在复平面内分别对应向量，，则z1＋z2对应向量＋.
由题知||＝||＝|＋|＝2，如图所示，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，
INCLUDEPICTURE "../../../A25BB2.TIF" \* MERGEFORMAT
则z1－z2对应向量，由OA＝AC＝OC＝2，可得BA＝2OA sin 60°＝2.故|z1－z2|＝||＝2.
答案：2
14．已知复数z满足|z＋＋i|≤1，求：
(1)|z|的最大值和最小值；
(2)|z－1|2＋|z＋1|2的最大值和最小值．
解：(1)设在复平面内复数z对应的点为Z，则满足|z＋＋i|≤1的点Z的集合是圆心为M(－，－1)，半径为1的圆内区域(包括边界)，|z|表示点Z到原点O的距离．
INCLUDEPICTURE "../../../25RJAB-14.TIF" \* MERGEFORMAT
如图所示，对应的复数的模为|z|的最大值，对应的复数的模为|z|的最小值．
因为||＝
＝2，所以|z|max＝2＋1＝3，
|z|min＝2－1＝1.
即|z|的最大值为3，最小值为1.
(2)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|2＝a2＋b2，
|z－1|2＋|z＋1|2＝|a－1＋bi|2＋|a＋1＋bi|2＝(a－1)2＋b2＋(a＋1)2＋b2＝2(a2＋b2)＋2＝2|z|2＋2.
由(1)知1≤|z|≤3，
所以|z－1|2＋|z＋1|2的最大值为2×32＋2＝20，最小值为2×12＋2＝4.
INCLUDEPICTURE "素养拓展.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../素养拓展.TIF" \* MERGEFORMAT
15．著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小．”费马问题中所求的点称为费马点．已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°的点P即费马点．根据以上材料，若z∈C，则|z－2|＋|z＋2|＋|z＋2i|的最小值为(　　)
A．2－2 B．2＋2
C．－1 D．＋1
解析：选B.设z＝x＋yi(x，y∈R)，O为坐标原点，则|z－2|＋|z＋2|＋|z＋2i|表示点(x，y)到△ABC三个顶点A(2，0)，B(－2，0)，C(0，－2)的距离之和．依题意结合对称性可知△ABC的费马点P位于虚轴的负半轴上，且∠APB＝120°，则∠PAO＝∠PBO＝30°，此时|PA|＋|PB|＋|PC|＝×2＋(2－2tan 30°)＝2＋2.故选B.
16．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，存在实数t，使＝－3ati成立．
(1)求证：2a＋b为定值；
(2)若|z－2|≤a，求实数a的取值范围．
解：(1)证明：因为＝－3ati＝＋(－3at)i，则a－bi＝＋(－3at)i，
由复数相等得
消去t得2a＋b＝6，故2a＋b为定值．
(2)因为z－2＝a－2＋bi，且|z－2|≤a，
所以
又因为2a＋b＝6，即b＝6－2a，
则(a－2)2＋(6－2a)2≤a2，
整理得a2－7a＋10≤0，
所以原不等式组即为
解得2≤a≤5，
故实数a的取值范围为[2，5].