1．1　1．2　课后达标 检测（教师版）

1．下列关于棱柱的说法错误的是(　　)
A．三棱柱的底面为三角形
B．一个棱柱至少有五个面
C．若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等
D．五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形
解析：选C.显然A正确；底面边数最少的棱柱是三棱柱，它有五个面，故B正确；底面是正方形的四棱柱，有一对侧面与底面垂直，另一对侧面不垂直于底面，此时侧面并不全等，故C错误；由棱柱的定义知，D正确．
2．下面说法中错误的是(　　)
A．棱锥的侧面只能是三角形
B．棱台的侧面一定不会是平行四边形
C．由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥
D．棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥
解析：选D.
由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形，A说法正确；棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形，B说法正确；由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥，C说法正确；如图所示，四棱锥被过顶点的平面截成的两部分都是棱锥，D说法错误．
3．如图所示，在三棱台A′B′C′-ABC中，沿平面A′BC截去三棱锥A′-ABC，则剩余的部分是(　　)
A．三棱锥 B．四棱锥
C．三棱柱 D．组合体
解析：选B.在三棱台A′B′C′-ABC中，沿平面A′BC截去三棱锥A′-ABC，剩余的部分是以A′为顶点，四边形BCC′B′为底面的四棱锥A′-BCC′B′.故选B.
4．(多选)棱台具备的特点是(　　)
A．所有的侧面不存在两个面互相平行
B．侧面都是等腰梯形
C．侧棱长都相等
D．侧棱延长后都交于一点
解析：选AD.根据棱台的定义“用一个平行于底面的平面去截棱锥，截面与底面之间的部分称为棱台”，可知，棱台的侧面所在面有一个公共点，且该公共点为侧棱延长线的交点，故A，D正确；当棱锥不是正棱锥时，所截得棱台的侧棱长不相等，侧面也不是等腰梯形，故B，C错误．
5．(多选)如图是一个正方体的平面展开图，将其复原为正方体后，互相重合的点是(　　)
A．A与B B．D与E
C．B与D D．C与F
解析：选ABD.将平面展开图还原为正方体如图所示．
所以互相重合的点是A与B，D与E，C与F.故选ABD.
6.(多选)对如图中的组合体的结构特征有以下几种说法，其中正确的是(　　)
A．由一个长方体割去一个四棱柱所构成的
B．由一个长方体与两个四棱柱组合而成的
C．由一个长方体挖去一个四棱台所构成的
D．由一个长方体与两个四棱台组合而成的
解析：选AB.如图，该组合体可由一个长方体割去一个四棱柱所构成，也可以由一个长方体与两个四棱柱组合而成，如图所示：
故选AB.
7．在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，若AB⊥AD且AB＝3，AD＝4，AA1＝5，则BD1的长为________．
解析：依题意得，BD＝AB2＋AD2＋AA＝32＋42＋52＝50，所以BD1＝5.
答案：5
8．已知正四棱台的上、下底面边长分别是5和7，侧棱长为9，则棱台的斜高为________．
解析：由题意知，正四棱台的侧面是等腰梯形，其上底长为5，下底长为7，腰长为9，则由勾股定理得棱台的斜高h＝＝4.
答案：4
9.如图所示，在三棱锥A BCD中，截面EFG平行于底面，且AE∶AB＝1∶3，已知△BDC的周长是18，则△EFG的周长为________．
解析：由题意得EFG BDC为三棱台，所以EF∥BD，FG∥DC，EG∥BC，所以△EFG∽△BDC，所以＝.又因为＝＝，所以＝，所以△EFG的周长为18×＝6.
答案：6
10．试从如图所示的正方体ABCD A1B1C1D1的八个顶点中取若干个顶点，连接后构成以下空间几何体，并且用适当的符号将其表示出来．
(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥；
(2)四个面都是等边三角形的棱锥；
(3)三棱柱．
解：(1)如图1所示，三棱锥A1 AB1D1.(答案不唯一)
(2)如图2所示，三棱锥B1 ACD1.(答案不唯一)
(3)如图3所示，三棱柱ABD A1B1D1.(答案不唯一)
11.如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是(　　)
A．A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4
B．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3
C．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4
D．AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1
解析：选C.根据棱台是由棱锥截成的可知，选项A中，≠，故A不正确；选项B中，≠，故B不正确；选项C中，＝＝，故C正确；选项D中，满足这个条件的几何体是三棱柱，不是三棱台，故D不正确．故选C.
12.(多选)如图，长方体ABCD A1B1C1D1被一个平面截成两个几何体，其中EF∥B1C1∥BC，则(　　)
A．几何体ABCD A1EFD1是一个六面体
B．几何体ABCD A1EFD1是一个四棱台
C．几何体AA1EB DD1FC是一个四棱柱
D．几何体BB1E CC1F是一个三棱柱
解析：选ACD.在长方体ABCD A1B1C1D1中，EF∥B1C1∥BC，EB1∥FC1，故四边形EB1C1F为平行四边形，所以EF＝B1C1.因为几何体ABCD A1EFD1有六个面，所以几何体ABCD A1EFD1是一个六面体，故A正确；因为AA1∥DD1，所以侧棱的延长线不能交于一点，故几何体ABCD A1EFD1不是四棱台，故B错误；因为几何体AA1EB DD1FC的侧棱平行且相等，四边形AA1EB与四边形DD1FC是平行且全等的四边形，所以几何体AA1EB DD1FC为四棱柱，同理几何体BB1E CC1F是一个三棱柱，故C，D正确．
13.如图，向由透明塑料制成的长方体ABCD A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列三个说法：
①水的部分始终呈棱柱状；
②水面四边形EFGH的面积不改变；
③当E在AA1上时，AE＋BF是定值．
其中，正确的说法是________．(填序号)
解析：显然水的部分呈三棱柱或四棱柱状，故①正确；容器倾斜度越大，水面四边形EFGH的面积越大，故②不正确；由于水的体积不变，四棱柱ABFE DCGH的高不变，所以梯形ABFE的面积不变，而高线始终为AB，所以AE＋BF是定值，故③正确．
答案：①③
14．如图所示是一个正三棱台，下底面边长为2，上底面边长和侧棱长都为1.O与O′分别是下底面与上底面的中心．求：
(1)棱台的斜高；
(2)棱台的高．
解：(1)因为几何体是正三棱台，所以侧面都是全等的等腰梯形．如图所示，
在梯形ACC′A′中，分别过A′，C′作AC的垂线A′E与C′F，则由AC＝2，AA′＝A′C′＝C′C＝1，可知AE＝FC＝，从而A′E＝C′F＝，即棱台的斜高为.
(2)由题意得，BO＝2B′O′＝.
假设正三棱台A′B′C′-ABC是由正三棱锥V-ABC截去正三棱锥V-A′B′C′得到的，则由已知可得VO是正三棱锥V-ABC的高，VO′是正三棱锥V-A′B′C′的高，O′O是所求棱台的高．因此△VBO是一个直角三角形，如图所示，则B′O′是△VBO的中位线．
因为棱台的侧棱长为1，所以BB′＝1，VB＝2，从而VO＝＝＝，因此O′O＝VO＝.因此棱台的高为.
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15.(多选)如图，我们常见的足球是由若干个正五边形和正六边形皮革缝合而成．如果我们把足球抽象成一个多面体，它有60个顶点，每个顶点发出的棱有3条，设其顶点数V、面数F与棱数E，满足V＋F－E＝2，据此判断，关于这个多面体的说法正确的是(　　)
A．共有20个正六边形 B．共有10个正五边形
C．共有90条棱 D．共有32个面
解析：选ACD.由题意，设共有m个正五边形，n个正六边形，＋(m＋n)－＝2，解得m＝12，所以B错误；因为顶点数V＝＝60，解得n＝20，所以A正确；面数F＝m＋n＝32，所以D正确；棱数E＝＝90，所以C正确．故选ACD.
16．一个正棱锥的侧棱长与底面边长相等，此正棱锥可能是几棱锥？(请写出所有可能)
解：设正棱锥的侧棱长为a，底面边长为b，底面边数为n，底面的中心到底面的顶点距离为c，则正棱锥的侧棱在底面上的投影的长度为c.
当n＝3，4，5时，都有b＞c，此时b＝a都有可能成立，即正棱锥可能是三棱锥、四棱锥、五棱锥；当n＝6时，有b＝c，此时只有b＜a，即正棱锥不可能是六棱锥；
当n＞6时，都有b＜c，此时只有b＜a，即正棱锥不可能是n(n＞6)棱锥．
综上，正棱锥可能是三棱锥、四棱锥、五棱锥，且底面边数n最多为5.