1．1　构成空间几何体的基本元素 1．2　简单多面体——棱柱、棱锥和棱台（教师版）

§1　基本立体图形
1．1　构成空间几何体的基本元素 1．2　简单多面体——棱柱、棱锥和棱台
1.了解构成空间几何体的基本元素．　2.利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征．　3.能运用空间几何体的结构特征描述现实生活中简单物体的结构．
观察所给的图片，小到精巧的家居装饰，大到宏伟的建筑；从远古的金字塔，到现代的国家大剧院、埃菲尔铁塔，设计师、建筑师们匠心独具，为我们留下了精美绝伦的建筑物，每当看到这些建筑物都会给人以震撼的美．
思考　如何从以上具体物体中抽象出空间图形？
提示：如果我们只考虑这些物体的形状和大小，那么抽象出来的就是空间图形．
1．空间几何体的基本几何元素是__________、__________、__________等．
2．平面
(1)平面是空间________________的图形．平整的桌面、平静的湖面都给人平面的印象，平面是________________的．
(2)平面的画法
画法 一般地，用平行四边形表示平面
当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成45°，横边长画成邻边长的两倍 当两个平面相交时，把被遮挡部分画成虚线或不画
图示
(3)平面的表示方法
图1的平面可表示为________、平面ABCD、________或平面BD.
[答案自填] 点　线(直线和曲线)　面(平面和曲面)　最基本　无限延展　平面α
平面AC
【即时练】
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)我们常用一个平行四边形表示平面，所以平行四边形是一个平面．(　　)
(2)一个平面的面积可以是16 cm2.(　　)
(3)平面只能用希腊字母表示，如：平面α，平面β，平面γ.(　　)
(4)点相当于集合中的元素，直线、平面相当于集合．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．如图表示两相交平面，其中正确的有________．(填序号)
解析：对于①，没有画出两个平面的交线；对于②和③，被遮住的线没有画成虚线；对于④，符合相交平面的画法．
答案：④
立体几何中所说的平面是从现实物体中抽象出来的，是无限延展的，不能进行度量，即无边界，无大小，无厚薄．
1．多面体的概念
由平面多边形围成的____________，称为多面体．这些多边形称为多面体的面，两个相邻的面的公共边称为多面体的棱，棱与棱的公共点称为多面体的顶点．其中棱柱、棱锥、棱台是简单多面体．
2．棱柱、棱锥、棱台的定义与表示
类别 棱柱 棱锥 棱台
定义 有两个面是边数相同的多边形，且它们所在平面______，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都相互平行，由这些面围成的几何体称为棱柱 有一个面是________，其余各面都是有________公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体称为棱锥 用一个________于底面的平面去截棱锥，截面与底面之间的部分称为棱台
图形表示及其相关名称 棱柱ABCDE-A′B′C′D′E′(或棱柱AC′) 棱锥S-ABCDEF(或棱锥S-AC) 棱台ABC-A′B′C′(或棱台AC′)
3.棱柱、棱锥、棱台的分类及特殊几何体
(1)分类(按底面多边形)
棱柱 棱锥 棱台
(2)特殊几何体
①棱柱
②特殊的四棱柱
③正棱锥：底面是________________，顶点在____________________________的直线上．
④正棱台：由正棱锥截得的棱台．
[答案自填] 几何体　平行　多边形　一个
平行　正多边形　过底面中心且与底面垂直
角度1　棱柱的结构特征
　(1)下列命题中正确的有(　　)
①有两个面平行，其他各面都是平行四边形的几何体称为棱柱；②有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱；③过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形；④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
(2)如图所示的是一个五棱柱，则下列判断错误的是(　　)
A．该几何体的侧面是平行四边形
B．该几何体有七个面
C．该几何体恰有十二条棱
D．该几何体恰有十个顶点
【解析】　(1)①如图1，满足有两个面平行，其他各面都是平行四边形，显然不是棱柱，故①错误；
②如图2，满足侧面ABB1A1、侧面DCC1D1与底面垂直，但不是直棱柱，故②错误；
　
③如图3，四边形ACC1A1为矩形，即过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形可能是矩形，故③错误；
④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱不一定是正四棱柱，因为两底面不一定是正方形，如两底面都是菱形，故④错误．故选A.
(2)根据棱柱的定义可知，该几何体的侧面是平行四边形，故A正确；该五棱柱有七个面，十五条棱，十个顶点，故B，D正确，C错误，故选C.
【答案】　(1)A　(2)C
棱柱结构特征问题的解题策略
(1)有关棱柱概念辨析问题应紧扣棱柱定义：
①两个面互相平行；
②其余各面是四边形；
③相邻两个四边形的公共边都互相平行．
求解时，首先看是否有两个面平行，再看是否满足其他特征．
(2)多注意观察一些实物模型和图片便于排除反例．
　
[跟踪训练1] (1)(多选)下列关于棱柱的说法中不正确的是(　　)
A．棱柱的侧面是平行四边形，但它一定不是矩形
B．棱柱的一条侧棱的长叫作棱柱的高
C．棱柱的两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
D．棱柱的所有面中，至少有两个面互相平行
解析：选ABC.对于A，直棱柱的侧面是矩形，故A不正确；对于B，棱柱如果不是直棱柱，那么侧棱的长就不叫作棱柱的高，故B不正确；对于C，棱柱中，也有可能存在两个侧面互相平行，故C不正确；对于D，棱柱中，两个底面一定是平行的，故D正确．故选ABC.
(2)长方体是________．(填序号)
①直四棱柱 正四棱柱
③正方体 直棱柱
解析：长方体是底面为长方形的直四棱柱，所以长方体是直四棱柱，也属于直棱柱．
答案：①④
角度2　棱锥、棱台的结构特征
　(1)下列关于棱锥、棱台的说法正确的是(　　)
A．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
B．有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台
C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间那部分所围成的几何体叫作棱台
D．棱台的各侧棱延长后必交于一点
(2)(多选)下列说法中，正确的是(　　)
A．棱锥的各个侧面都是三角形
B．三棱锥的任何一个面都可以作为棱锥的底面
C．棱锥的侧棱平行
D．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体为棱台
【解析】　(1)有一个面是多边形，其余各面是三角形，若其余各面没有一个共同的顶点，则不是棱锥，如图1，故A错误；两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体不一定是棱台，还要满足各侧棱的延长线交于一点，如图2，故B错误，D正确；用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间那部分所围成的几何体叫作棱台，故C错误．
(2)由棱锥的定义，知棱锥的各个侧面都是三角形，故A正确；三棱锥就是由四个三角形所围成的空间图形，因此三棱锥的任何一个面都可以作为三棱锥的底面，故B正确；棱锥的侧棱交于一点，不平行，故C错误；有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形，只有当侧棱的延长线交于一点时，这样的几何体才是棱台，故D错误．
【答案】　(1)D　(2)AB
(1)判断有关多面体是不是棱锥的步骤
①定义面：只有一个面是多边形，此面即为底面；
②看侧棱：侧棱相交于一点．
(2)判断一个多面体是不是棱台的标准
一是共点，即各侧棱延长线要交于一点，二是平行，上、下两个底面要平行，二者缺一不可．
(3)常用判断方法：举反例法
结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．
　
[跟踪训练2] (1)如图所示的空间图形中，不是棱锥的为(　　)
解析：选A.结合棱锥的定义可知，只有A不符合其定义．
(2)《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在长方体ABCD A1B1C1D1中，鳖臑的个数为(　　)
A．48 B．36
C．24 D．12
解析：选C.在长方体ABCD A1B1C1D1中，当顶点为A时，三棱锥A A1D1C1，A A1B1C1，A DCC1，A DD1C1，A BCC1，A BB1C1均为鳖臑．所以8个顶点共对应8×6＝48个鳖臑．但每个鳖臑都重复一次，所以鳖臑的个数为＝24.故选C.
　若正三棱台的高为3，上、下底面边长分别为2和4，求该棱台的侧棱长和斜高．
【解】　如图，在正三棱台ABC-A1B1C1中，
两底面中心分别为O和O1，取AB和A1B1的中点分别是E，E1，连接OO1，EE1，O1A1，OA，O1E1，OE，则四边形OAA1O1与四边形OEE1O1都是直角梯形．在等边三角形ABC中，AB＝4，则OA＝，OE＝.在等边三角形A1B1C1中，A1B1＝2，则O1A1＝，O1E1＝.在直角梯形OAA1O1中，OO1＝3，所以AA1＝ eq \r(OO＋（OA－O1A1）2) ＝＝，即棱台的侧棱长为.在直角梯形OEE1O1中，EE1＝ eq \r(OO＋（OE－O1E1）2) ＝
＝，即棱台的斜高为.
与棱柱、棱锥、棱台有关问题的求解思路
把所求线段转化到直角三角形中，常用到两类直角三角形：
(1)正棱锥(台)的斜高、高、底面内切圆的半径构成的直角三角形；
(2)正棱锥(台)的侧棱、高、底面外接圆的半径构成的直角三角形．
　
[跟踪训练3] (1)若长方体的三条棱长分别是a，b，c，则长方体体对角线的长为(　　)
A． B．
C． D.
解析：选A.如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，
令AD＝a，DC＝b，DD1＝c，则BD＝，所以DB1＝ eq \r(BD2＋BB) ＝.故选A.
(2)已知正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为________．
解析：如图，连接DE，AE.在等边三角形ABC中，AE＝＝，同理可得，DE＝，所以AE＝DE＝，连接EF，因为F是AD的中点，所以EF⊥AD，所以EF＝＝.
答案：
1．如图所示，下列四个几何体不是棱柱的是(　　)
解析：选B.棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各个面都是四边形且每相邻两个四边形的公共边都互相平行．由此可知B中没有互相平行的平面，所以不是棱柱，故选B.
2．(教材P210练习T1改编)对于棱锥，下列叙述正确的是(　　)
A．四棱锥共有四条棱
B．五棱锥共有五个面
C．六棱锥的顶点有六个
D．任何棱锥都只有一个底面
解析：选D.对于A，四棱锥共有八条棱，故A错误；对于B，五棱锥共有六个面，故B错误；对于C，六棱锥的顶点有七个，故C错误；对于D，根据棱锥的定义可知D正确．故选D.
3．在五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱的对角线共有________条．
解析：如图所示，在五棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1中，若对角线的一个端点为A1，则满足条件的对角线为A1C，A1D，同理可知，端点B1，C1，D1，E1的对角线各有两条．综上所述，一个五棱柱的对角线共有2×5＝10(条).
答案：10
4．若棱台上、下底面的对应边长之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是________．
解析：由棱台的结构特征知，棱台上、下底面是相似多边形，面积之比为对应边长之比的平方，故上、下底面的面积之比是1∶4.
答案：1∶4
1．已学习：构成空间几何体的基本元素、多面体的概念、棱柱、棱锥、棱台的结构特征．
2．须贯通：棱柱、棱锥、棱台的定义是识别和区分多面体结构特征的关键；空间多面体中的计算问题，通常把所求线段转化到直角三角形中求解．
3．应注意：棱台的侧棱延长后交于一点．