1．3　简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台（教师版）

1．3　简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台
1 .利用实物模型、计算机软件等观察空间图形，认识球、圆柱、圆锥、圆台的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．　2.了解柱体、锥体、台体之间的关系．
你到过孔子六艺城吗？在孔子六艺城中有一个地方是数学爱好者必去的，那就是“数厅”．如图，以圆柱体为基座，巨型球体悬其之上，形成了国内少有的圆形建筑物，甚为壮观．
思考　几何体球、圆柱和上节课学习的多面体有何区别？
提示：球、圆柱不是由平面多边形围成的多面体，它们是旋转体．
1．球的概念
以半圆的________所在的直线为旋转轴，将半圆旋转一周所形成的曲面称为球面．球面所围成的几何体称为________，简称球．半圆的________称为球心，如图．连接球心和球面上任意一点的线段称为球的半径，如图中的OA，OE等．连接球面上两点并且过球心的线段称为球的直径，如图中的BC，EF等．
2．球的表示
用表示球心的字母表示球，如球O.
3．球的性质
(1)球面上所有的点到球心的距离都等于球的半径；
(2)用任何一个平面去截球面，得到的截面都是圆，其中过球心的平面截球面得到的圆的半径最大，等于球的半径．
[答案自填] 直径　球体　圆心
　在球心同侧有相距9 cm的两个平行截面，它们的面积分别为49π cm2和400π cm2，求这个球的半径．
【解】　如图所示为球的轴截面，由球的截面性质知，AO1∥BO2，且O1，O2分别为两截面圆的圆心，则OO1⊥AO1，OO2⊥BO2.设球的半径为R cm.
因为π·BO＝49π，所以BO2＝7 cm.
同理，AO1＝20 cm.设OO1＝x cm，则OO2＝(x＋9)cm.
在Rt△OO1A中，R2＝x2＋202，
在Rt△OO2B中，R2＝(x＋9)2＋72，
所以x2＋202＝72＋(x＋9)2，
解得x＝15，所以R2＝x2＋202＝252，
所以R＝25 cm，即这个球的半径为25 cm.
球的截面的性质
(1)球心和截面圆心的连线垂直于截面；
(2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r有如下关系：r＝.
　
[跟踪训练1] 已知球O的半径为5，球内一点M到球心O的距离为4，过点M的平面截球的截面面积为S，则S的最小值为________．
解析：设球的半径为R，截面的半径为r，由题意可得r2≥R2－OM2，
所以当OM垂直于截面时，截面的半径最小，即截面的面积最小，
由r2＝R2－OM2＝25－16＝9，所以截面面积的最小值为S＝πr2＝9π.
答案：9π
1．圆柱、圆锥、圆台的概念
类别 定义 相关概念 图形表示
圆柱 以______的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的面所围成的几何体称为圆柱 高：在旋转轴上的这条边的长度；底面：垂直于旋转轴的边旋转而成的______；侧面：不垂直于旋转轴的边旋转而成的______________；母线：不垂直于旋转轴的边，无论转到什么位置，都称为侧面的母线
圆锥 以直角三角形的一条________所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的面所围成的几何体称为圆锥
圆台 以直角梯形________________________所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的面所围成的几何体称为圆台
2.圆柱、圆锥、圆台的性质
(1)平行于圆柱、圆锥、圆台的底面的截面都是圆；
(2)过圆柱、圆锥、圆台旋转轴的截面分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形．
[答案自填] 矩形　直角边　垂直于底边的腰
圆面　曲面
一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2，求：
(1)圆台的高；
(2)将圆台还原为圆锥后，圆锥的母线长．
【解】　(1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示).由已知可得O1A＝2 cm，OB＝5 cm.
又由题意知AB＝12 cm，
所以高AM＝＝3(cm).
(2)如图所示，延长BA，OO1，CD，交于点S，设截得此圆台的圆锥的母线长为l，
则由△SAO1∽△SBO，可得＝，
解得l＝20(cm)，
即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.
解决圆柱、圆锥、圆台中计算问题的方法策略
(1)巧用轴截面实现空间图形平面化：旋转体中有关底面半径、母线、高以及有关球的问题的计算，可巧用轴截面求解，即将立体问题转化为平面问题．
(2)在轴截面中借助直角三角形或三角形的相似关系建立高、母线长、底面圆的半径长的等量关系，求解即可．
　
[跟踪训练2] (1)一条排水管的截面如图．已知排水管的截面圆半径OB是10 cm，水面宽AB是16 cm.则截面水深CD是(　　)
A．3 cm B．4 cm
C．5 cm D．6 cm
解析：选B.由题意知OD⊥AB，交AB于点C，因为AB＝16 cm，所以BC＝AB＝×16＝8(cm)，在Rt△OBC中，因为OB＝10 cm，BC＝8 cm，所以OC＝＝＝6(cm)，所以CD＝OD－OC＝10－6＝4(cm).故选B.
(2)已知圆锥的底面半径为1，高为2，则圆锥的母线长为________．
解析：因为圆锥的底面半径r、高h、母线长l构成一个直角三角形，所以母线长l＝＝＝.
答案：
1．旋转体的概念
一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转一周所形成的曲面称为旋转面，封闭的旋转面围成的几何体称为旋转体．
2．特殊的旋转体
圆柱、圆锥、圆台、球．
　铜钱又称方孔钱，是古代钱币最常见的一种．如图所示为清朝时的一枚“嘉庆通宝”，由一个圆和一个正方形组成，若绕旋转轴(虚线)旋转一周，形成的几何体是(　　)
A．一个球
B．一个球挖去一个圆柱
C．一个圆柱
D．一个球挖去一个正方体
【解析】　圆及其内部绕旋转轴旋转一周后所得几何体为球，而矩形及其内部绕旋转轴旋转后所得几何体为圆柱，故题设中的平面图形绕旋转轴(虚线)旋转一周，形成的几何体为一个球挖去一个圆柱．
【答案】　B
(1)明确组合体的结构特征，主要弄清它是由哪些简单几何体组成的．
(2)会识别较复杂的图形是学好立体几何的第一步，因此我们应注意观察周围的物体，然后将它们“分拆”成几个简单的几何体，进而培养我们的空间想象能力和识图能力．
[跟踪训练3] (1)如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的(　　)
　
解析：选A.该几何体自上而下由圆锥、圆台、圆台、圆柱组合而成，故选A.
(2)将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括(　　)
A．一个圆台、两个圆锥
B．两个圆柱、一个圆锥
C．两个圆台、一个圆柱
D．一个圆柱、两个圆锥
解析：选D.图1是一个等腰梯形，CD为较长的底边，以CD边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体，如图2，包括一个圆柱、两个圆锥．
1．下列选项中的三角形绕直线l旋转一周，能得到如图所示几何体的是(　　)
　
解析：选B.由题意知，该几何体是组合体，上、下各一圆锥，显然B符合题意．
2．(多选)下列说法中不正确的是(　　)
A．将正方形旋转一周不可能形成圆柱
B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体
C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线
解析：选ABD.将正方形绕其一边所在直线旋转一周可以形成圆柱，所以A不正确；B中没有说明这两个平行截面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时正确，其他情况下结论不一定正确，所以B不正确；根据圆台定义可知C正确；通过圆台侧面上一点，只有一条母线，所以D不正确．故选ABD.
3．(教材P210T6改编)已知球O的半径为2，球心到平面α的距离为，则球O被平面α截得的截面面积为________．
解析：设截面圆半径为r，由球的性质可知，截面圆的半径r＝＝1，所以球O被平面α截得的截面面积为πr2＝π.
答案：π
4．(教材P210T5改编)把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比为1∶4，母线(原圆锥母线在圆台中的部分)长为9，则原圆锥的母线长为________．
解析：由题意可得，几何体如图所示，
取轴截面可知，圆台的上、下底面半径之比为＝，且CD∥AB，BD＝9.设圆锥的母线长为l，由题意得Rt△ECD∽Rt△EAB，则＝＝＝，解得l＝12，即原圆锥的母线长为12.
答案：12
1．已学习：圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征．
2．须贯通：圆柱、圆锥、圆台、球的轴截面在解决几何量中的特殊作用，体会空间几何体平面化的思想；处理台体常采用还台为锥的补体思想．
3．应注意：同一平面图形以不同的轴旋转形成的旋转体一般是不同的．