2　课后达标 检测（教师版）

1．利用斜二测画法得到的下列结论中正确的是(　　)
A．三角形的直观图可能不是三角形
B．正方形的直观图是正方形
C．菱形的直观图是菱形
D．平行四边形的直观图是平行四边形
解析：选D.根据斜二测画法的规则可知，平行于坐标轴的直线平行性不变，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度变为原来的一半．对于A，三角形的直观图中，三角形的高与底边的夹角为45°，长度为原来的一半，依然是三角形，故A错误；对于B，正方形的直角在直观图中变为45°或135°，所以不是正方形，故B错误；对于C，菱形的对角线互相垂直平分，在直观图中对角线的夹角变为45°，所以菱形的直观图不是菱形，故C错误；对于D，根据平行线不变，可知平行四边形的直观图还是平行四边形，故D正确．故选D.
2．下面每个选项的2个边长为1的等边三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是(　　)
解析：选C.可分别画出各组图形的直观图，观察可得结论．故选C.
3．已知一个建筑物上部分为四棱锥，下部分为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，长方体的长、宽、高分别为20 m，5 m，10 m，四棱锥的高为8 m．如果按1∶500的比例画出它的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为(　　)
A．4 cm，1 cm，2 cm，1.6 cm
B．4 cm，0.5 cm，2 cm，0.8 cm
C．4 cm，0.5 cm，2 cm，1.6 cm
D．4 cm，0.5 cm，1 cm，0.8 cm
解析：选C.由比例尺可知，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为4 cm，1 cm，2 cm和1.6 cm，再结合直观图的画法，知长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为4 cm，0.5 cm，2 cm，1.6 cm.故选C.
4.如图所示，△A′O′B′表示用斜二测画法得到的水平放置的△AOB的直观图，B′在x′轴上，A′O′与x′轴垂直，且A′O′＝2，则△AOB的边OB上的高为(　　)
A．2 B．4
C．2 D．4
解析：选D.设△AOB的边OB上的高为h，因为S原图形＝2S直观图，所以×OB×h＝2××2×O′B′.又OB＝O′B′，所以h＝4.故选D.
5．(多选)如图，四边形ABCD的斜二测直观图为等腰梯形A′B′C′D′，已知A′B′＝2C′D′＝4，则(　　)
A.A′D′＝
B．BC＝2
C．四边形ABCD的周长为6＋2＋2
D．四边形ABCD的面积为6
解析：选ACD.由已知等腰梯形中，∠D′A′B′＝45°，A′B′＝2C′D′＝4，所以A′D′＝，由斜二测画法得，在原图直角梯形ABCD中，AB＝2CD＝4，AD＝2，∠BAD＝90°，易得BC＝2，所以四边形ABCD的周长为6＋2＋2，面积为×2＝6.故选ACD.
6.(多选)如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中O′C′＝O′A′＝2O′B′＝2，则以下说法正确的是(　　)
A．△ABC是钝角三角形
B．△ABC的面积是△A′B′C′的面积的2倍
C．△ABC是等腰直角三角形
D．△ABC的周长是4＋4
解析：选CD.根据斜二测画法的规则可知，在原图形中，O为AC的中点，AC⊥OB.因为O′C′＝O′A′＝2O′B′＝2，所以OC＝OA＝2，AC＝4，OB＝2，CB＝AB＝＝2，则△ABC是斜边为4的等腰直角三角形，如图所示.
所以△ABC的周长是4＋4，面积是4，故A错误，C，D正确．由斜二测画法的规则可知，△ABC的面积是△A′B′C′的面积的2倍，故B错误．故选CD.
7．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________．
解析：将直观图△A′B′C′复原，其平面图形为Rt△ABC，且AC＝3，BC＝4，故斜边AB＝5，所以AB边上的中线长为.
答案：
8．已知两个底面半径相等的圆锥，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为________cm.
解析：其直观图如图所示，由图可得，直观图中这两个顶点之间的距离为5 cm.
答案：5
9．如图，边长为2的正方形O′A′B′C′是一个水平放置的平面图形OABC的直观图，若a＝(1，m)，且(－)∥a，则m的取值为________．
解析：由直观图还原平面图形OABC，如图所示，OA＝BC＝2，OB＝2×2＝4，则O(0，0)，B(0，4)，C(－2，4)，所以＝(2，－4)，＝(0，4)，－＝(－2，8).因为(－)∥a，所以8＝－2m，所以m＝－4.
答案：－4
10．用斜二测画法画出如下水平放置的平面图形直观图．
解：如图所示，画出坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°，
在x′轴作线段O′B′＝OB＝2，在y′轴作线段O′A′＝OA＝，再由A′C′∥x′轴，且A′C′＝AC＝4，B′D′∥y′轴，且B′D′＝BD＝1，作出点C′，D′，连接B′C′，C′D′，D′A′，即可得出该平面图形的直观图．
11．已知一个菱形的边长为4 cm，一个内角为60°，将菱形水平放置并且使较长的对角线成横向，则此菱形的直观图的面积为(　　)
A．8 cm2 B．4 cm2
C．2 cm2 D． cm2
解析：选C.由题意及余弦定理可知，较长的对角线的长度是＝4(cm)，易知较短的对角线的长度是4 cm，则菱形直观图的面积S＝×4×4×＝2 (cm2).故选C.
12.已知直三棱柱ABC A1B1C1的直观图如图，且AB＝4，AC＝2，侧棱AA1＝5，则底面ABC、侧面BB1C1C的真实形状的面积分别为____________________________________．
解析：由直观图的斜二测画法得，底面ABC的真实形状为腰长为4的等腰直角三角形，斜边长为4，其面积为×4×4＝8.又AA1＝5，所以侧面BB1C1C的真实形状为长、宽分别为4，5的矩形，其面积为4×5＝20.故底面ABC、侧面BB1C1C的真实形状的面积分别为8和20.
答案：8，20
13．如图所示，一块多边形菜地水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形．∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为________．
解析：如图，过点A作AE⊥BC于点E.
在直观图中，因为∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，所以EC＝1，BE＝，所以BC＝1＋，故原平面图形的上底为1，下底为1＋，高为2，所以这块菜地的面积为S＝×(1＋1＋)×2＝2＋.
答案：2＋
14．在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′，如图，其对角线A′C′在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的平面图形并求出其面积．
解：四边形ABCD的平面图形如图所示，因为A′C′在水平位置，四边形A′B′C′D′为正方形，
所以∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°，
所以在四边形ABCD中，DA⊥AC，AC⊥BC.
因为DA＝2D′A′＝2，AC＝A′C′＝，
所以S四边形ABCD＝AC·AD＝2.
15．已知△ABC的斜二测画法的直观图是边长为2的正三角形A′B′C′(如图所示)，则点C的坐标为________．
解析：在直观图中，在x′轴上取点D′，使得D′C′∥y′轴，如图1.则A′C′＝2，∠C′D′A′＝45°，∠D′A′C′＝120°，∠D′C′A′＝15°，由正弦定理可得＝＝，又sin 15°＝sin (60°－45°)＝sin 60°cos 45°－cos 60°·sin 45°＝，可得D′C′＝×＝，A′D′＝×＝－1，故将直观图还原为平面图.
　
在平面直角坐标系中如图2，连接DC，AD＝A′D′＝－1，DC＝2D′C′＝2.
故C(1－，2).
答案：(1－，2)
16．用斜二测画法得到的多边形A1A2…An的直观图为多边形A′1A′2…A′n，试探索多边形A1A2…An与多边形A′1A′2…A′n的面积之间有无确定的数量关系．
解：①设在△ABC中，CH为高，边AB平行于x轴，用斜二测画法得到其直观图为△A′B′C′，则有C′H′＝CH，△A′B′C′的高为C′M＝C′H′＝CH，
所以S△A′B′C′＝A′B′·C′M＝S△ABC.
②对多边形A1A2…An，可连接A1A3，A1A4，…，A1An－1，得到(n－2)个三角形，即△A1A2A3，△A1A3A4，…，△A1An－1An，由①知S多边形A′1A′2…A′n＝S△A′1A′2A′3＋S△A′1A′3A′4＋…＋S△A′1A′n-1A′n＝(S△A1A2A3＋S△A1A3A4＋…＋S△A1A n-1A n)＝S多边形A1A2…A n.
综上，可知多边形A1A2…An与其直观图多边形A′1A′2…A′n的面积之间有确定的数量关系，且S多边形A′1A′2…A′n＝S多边形A1A2…A n.