3．1　空间图形基本位置关系的认识 3．2　刻画空间点、线、面位置关系的公理(一)（教师版）

§3　空间点、直线、平面之间的位置关系
3．1　空间图形基本位置关系的认识 3．2　刻画空间点、线、面位置关系的公理(一)
1.会用符号表示图形中点、直线、平面之间的位置关系．　2.掌握空间中点与直线、点与平面、直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系．　3.了解基本事实1，2，3及推论1，2，3.
空间图形是丰富的，观察所给的图片，它由一些基本的图形：点、线、面组成，点动成线，线动成面，面动成体，可见点是空间图形最基本的元素，线和面都是点的集合，掌握它们的位置关系，对于我们认识空间图形是很重要的．
思考　平面α是由点组成的，直线l也是由点组成的，从集合的观点看，点P与直线l有几种位置关系？点P与平面α有几种位置关系？直线l与平面α有几种位置关系？
提示：点P与直线l有P在直线上，P在直线外两种位置关系；点P与平面α有P在平面α内，P在平面α外两种位置关系；直线l与平面α有直线在平面α内，直线与平面α交于一点，直线与平面α无交点三种位置关系．
1．空间点与直线的位置关系
点与直线的位置关系 图形表示 符号表示
点在直线上 B________l
点在直线外 B________l
2.空间点与平面的位置关系
点与平面的位置关系 图形表示 符号表示
点在平面内 B________α
点在平面外 A________α
3.直线与直线的位置关系
直线与直线的位置关系 图形表示 符号表示
相交 a∩b＝P
不相交 a∩b＝
4.直线与平面的位置关系
直线与平面的位置关系 图形表示 符号表示
直线在平面内 a____α
直线与平面相交 a∩α＝A
直线与平面平行 a∥α
直线与平面平行的性质与判断关系：
a∥α a∩α＝ .
5．平面与平面的位置关系
平面与平面的位置关系 图形表示 符号表示
平行 α∥β
相交 α∩β＝l
平面与平面平行的性质与判断关系：
α∥β α∩β＝ .
[答案自填] ∈　 　∈　 　
　用符号表示下列语句，并画出图形：
(1)点A在平面α内但在平面β外；
(2)直线a经过平面α内一点A，平面α外一点B；
(3)直线a在平面α内，也在平面β内．
【解】　(1)因为点A在平面α内但在平面β外，所以可以用图1表示，用符号表示为A∈α，A β.
(2)因为直线a经过平面α内一点A，平面α外一点B，所以可以用图2表示，用符号表示为A∈α，B α，A∈a，B∈a.
(3)因为直线a在平面α内，也在平面β内，所以可以用图3表示，
用符号表示为a α，a β.
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线，且相互之间的位置关系如何，再用文字语言、符号语言表示．
(2)要注意符号语言的意义，如点与直线的位置关系只能用“∈”或“ ”，直线与平面的位置关系只能用“ ”或“ ”．
(3)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．
　
[跟踪训练1] 画图表示下列语句(其中P，M，A表示点，l，m表示直线，α，β表示平面)：
(1)P∈l，P α，l∩α＝M；
(2)α∩β＝m，P∈α，P m；
(3)l∩α＝A，l β；
(4)P∈α，P∈β，α∩β＝m.
解：
1．基本事实1
(1)文字语言：过不在一条直线上的________，有且只有一个平面．
(2)图形语言：
2．基本事实2
(1)文字语言：如果一条直线上的__________在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．
(2)图形语言：
(3)符号语言：若A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α，则l________α.
3．三个推论
(1)推论1：一条直线和该直线外一点确定一个平面；
推论2：两条相交直线确定一个平面；
推论3：两条平行直线确定一个平面．
(2)结论：基本事实1及以上推论给出了确定平面的依据．
4．基本事实3
(1)文字语言：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
(2)图形语言：
(3)符号语言：P∈α，P∈β α∩β＝l，且P∈l，其中l表示一条直线．
(4)不重合的平面与平面有两种位置关系：两个平面相交于一条直线，两个平面平行．
[答案自填] 三个点　两个点　
角度1　点、线共面问题
　如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．
【证明】　方法一(纳入平面法)：因为l1∩l2＝A，所以l1和l2确定一个平面α.因为l2∩l3＝B，所以B∈l2.又因为l2 α，所以B∈α，同理可证C∈α.因为B∈l3，C∈l3，所以l3 α，所以直线l1，l2，l3在同一平面内．
方法二(辅助平面法)：因为l1∩l2＝A，所以l1和l2确定一个平面α.因为l2∩l3＝B，所以l2和l3确定一个平面β.因为A∈l2，l2 α，所以A∈α.又因为A∈l2，l2 β，所以A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.所以不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内，所以平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．
证明点、线共面的常用方法
(1)纳入法：先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内．
(2)重合法：先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合．
(3)反证法：假设不共面，结合题设推出矛盾．
　
[跟踪训练2] 已知△ABC的三个顶点都在平面α内，求证：该三角形的内心I也在平面α内．
证明：记∠A的平分线与BC交于点D，则I∈AD.
因为B∈α，C∈α，所以BC α.又D∈BC，所以D∈α.因为A∈α，所以AD α，因为I∈AD，所以I∈α.
角度2　三点共线或三线共点问题
　如图，△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝Q，BC∩α＝R.求证：P，Q，R三点共线．
【证明】　因为AB∩α＝P，所以P∈AB，P∈α.
又AB 平面ABC，所以P∈平面ABC.
由基本事实3，可知点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证点Q，R也在平面ABC与平面α的交线上，故P，Q，R三点共线．
(1)证明三点共线的方法
(2)证明三线共点的步骤
　
[跟踪训练3] 如图所示，
已知E，F，G，H分别是正方体ABCD A1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中点．求证：EF，HG，DC三线共点．
证明：如图所示，连接C1B，GF，HE，由题意知HC1∥EB，且HC1＝EB，所以四边形HC1BE是平行四边形，
所以HE綊C1B.
又F，G分别是BC，CC1的中点，
所以GF∥C1B，且GF＝C1B，
所以GF∥HE，且GF≠HE，所以HG与EF相交．
设交点为K，所以K∈HG，
又HG 平面D1C1CD，所以K∈平面D1C1CD.
因为K∈EF，EF 平面ABCD，
所以K∈平面ABCD，
因为平面D1C1CD∩平面ABCD＝DC，
所以K∈DC，所以EF，HG，DC三线共点．
三　平面个数的确定和平面划分空间问题
　(1)过空间任意一点引三条直线，它们所确定的平面个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．1或3
(2)将一个正方体的各面延展成平面后，这些平面可将空间分成________部分．
【解析】　(1)过空间任意一点引三条直线，当三条直线在同一个平面内时，它们所确定的平面个数是1；当三条直线不在同一个平面内时，它们所确定的平面个数是3.
(2)可取玩具三阶魔方作为实物图，可以设想正方体是魔方正中间的正方体块，空间就是魔方形状，把正方体各面延展成平面后，分割空间的块数恰好是27，即魔方被分割的块数．
【答案】　(1)D　(2)27
解决此类问题时要充分发挥空间想象能力，结合图形的特征进行正确的逻辑划分．在解一些不便于想象的几何问题时，注意对一些常见几何模型的应用，比如四面体、正方体、三棱柱等．
[跟踪训练4] (1)空间中三个平面，把空间分成不同区域的个数最多为(　　)
A．4 B．6
C．7 D．8
解析：选D.如图所示，α，β，γ三个平面最多将空间分成8个区域．故选D.
(2)由正方体ABCD A1B1C1D1各个面的对角线所确定的平面共有________个．
解析：在正方体各个面中，相对两平行平面中有两组平行对角线，可以确定两个平面，这样有6个平面．又因为每个顶点的相邻三个顶点共面，即每个顶点对应一个符合条件的平面，这样又有8个平面．每个面上的两条相交的对角线确定6个平面，则共有6＋8＋6＝20个平面．
答案：20
　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，N，P分别是A1B1，AD，BB1的中点．画出过点M，N，P的平面与平面ABCD的交线．
【解】　如图所示，连接MN，MP，NP，因为MP 平面ABB1A1，MP与AB不平行，所以MP与AB必相交．延长MP，AB，设MP与AB的交点为Q，连接NQ.因为NQ 平面ABCD，NQ 平面MNP，所以直线NQ就是过点M，N，P的平面与平面ABCD的交线．
求两平面的交线的关键是求两个平面的公共点．本题中两平面已有一个公共点N，由于直线MP与AB在同一平面内且不平行，因此，它们的延长线必相交于一点，进而推出该点也为两平面的公共点，这两点确定的直线即为所求交线．
　
[跟踪训练5] 如图，在直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线．
解：易知点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在平面SBD和平面SAC的交线上．
由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示，因为E∈AC，AC 平面SAC，所以E∈平面SAC.同理，可证E∈平面SBD.所以点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连接SE，则直线SE就是平面SBD和平面SAC的交线．
1．(教材P222T2改编)如果直线a 平面α，直线b 平面α，M∈a，N∈b，且M∈l，N∈l，则(　　)
A．l α B．l α
C．l∩α＝M D．l∩α＝N
解析：选A.因为M∈a，a α，所以M∈α，又因为N∈b，b α，所以N∈α，又M∈l，N∈l，所以l α，所以A正确，B错误；l∩α＝l，所以C，D错误．
2．已知平面α，β相交，在α，β内各取两点，这四点都不在平面α与β的交线上，这四点能确定________个平面．
解析：当四点确定的两条直线平行或相交时，则四个点确定1个平面；当四点确定的两条直线不共面时，这四个点能确定4个平面，如三棱锥的顶点和底面上的顶点．
答案：1或4
3．在正方体ABCD A1B1C1D1中，O为平面ABCD的中心，则平面A1AC与平面DBC1的交线为________．
解析：平面A1AC即平面A1ACC1，因为AC 平面A1AC，BD 平面DBC1，又AC∩BD＝O，C1∈平面A1AC，C1∈平面DBC1，所以平面A1AC∩平面DBC1＝OC1.
答案：OC1
4．如图所示，AB∥CD，AB∩α＝B，CD∩α＝D，AC∩α＝E.求证：B，E，D三点共线.
证明：因为AB∥CD，所以AB，CD共面．
设AB β，CD β，则AC β.
又E∈AC，所以E∈β.
由AB∩α＝B，CD∩α＝D，AC∩α＝E，
可知B，E，D为平面α与平面β的公共点，
所以B，E，D三点共线．
1．已学习：点、线、面之间的位置关系，空间点、线、面位置关系的公理及推论，平面个数的确定和平面划分空间问题，平面的交线问题．
2．须贯通：规范立体几何中三种语言，能熟练进行它们之间的相互转换；在处理点线共面、点共线及线共点问题时初步体会三个基本事实的作用；平面的交线问题．
3．应注意：(1)三种语言的相互转化；
(2)三个基本事实及推论的条件．