3．2　课后达标 检测（教师版）

1．若平面α和直线a，b满足a∩α＝A，b α，则a与b的位置关系是(　　)
A．相交 B．平行
C．异面 D．相交或异面
解析：选D.因为a∩α＝A，b α，所以当A b时，由异面直线的定义可得a与b异面，当A∈b时，a∩b＝A，即a与b相交．故选D.
2．已知直线a，b，c，若a，b异面，b∥c，则a，c的位置关系是(　　)
A．异面 B．相交
C．平行或异面 D．相交或异面
解析：选D.在如图所示的正方体ABCD A1B1C1D1中，AB与DD1是异面直线，DD1∥BB1，AB∩BB1＝B；C1D1与AD是异面直线，AD∥BC，C1D1与BC是异面直线．所以两直线a与b是异面直线，b∥c，则a，c的位置关系是相交或异面．故选D.
3.如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为BC，BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是(　　)
A．直线AA1 B．直线A1B1
C．直线A1D1 D．直线B1C1
解析：选D.根据异面直线的概念可看出直线AA1，A1B1，A1D1都和直线EF为异面直线；B1C1和EF在同一平面内，且这两直线不平行．所以直线B1C1和直线EF相交，即D正确．故选D.
4.如图，三棱柱ABC A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是(　　)
A．CC1与B1E是异面直线
B．C1C与AE共面
C．AE与B1C1是异面直线
D．AE与B1C1的夹角为60°
解析：选C.由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故CC1与B1E是共面的，所以A错误；由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误；同理AE与B1C1是异面直线，C正确；AE与B1C1的夹角就是AE与BC的夹角，E为BC的中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，故AE与B1C1的夹角是90°，D错误．故选C.
5．(多选)已知a，b，c是空间中的三条直线，下列说法中正确的是(　　)
A．若a∥b，b∥c，则a∥c
B．若a与b相交，b与c相交，则a与c也相交
C．若a，b分别在两个相交平面内，则这两条直线可能平行、相交或异面
D．若a与c相交，b与c异面，则a与b异面
解析：选AC.由平行线的传递性知A正确；若a与b相交，b与c相交，则a与c可能平行、相交或异面，B错误；若a与b分别在两个相交平面内，则a与b可能平行、相交或异面，C正确；若a与c相交，b与c异面，则a与b可能相交、平行或异面，故D错误．故选AC.
6．(多选)设α是给定的平面，A，B是不在α内的任意两点，则下列命题一定是真命题的是(　　)
A．在α内存在直线与直线AB异面
B．在α内存在直线与直线AB相交
C．存在过直线AB的平面与α相交
D．存在过直线AB的平面与α平行
解析：选AC.对于A，无论直线AB与α平行，还是相交，在α内都存在直线与直线AB异面，故A正确；对于B，当直线AB与α平行时，平面α内不存在直线与直线AB相交，故B错误；对于C，无论直线AB与α平行，还是相交，都存在过直线AB的平面与α相交，故C正确；对于D，若直线AB与α相交，则不存在过直线AB的平面与α平行，故D错误．故选AC.
7．在空间中，AB∥EF，直线BC，EF为异面直线，若∠ABC＝120°，则异面直线BC，EF夹角的大小为________．
解析：直线BC，EF为异面直线，且AB∥EF，所以AB与BC的夹角即为异面直线BC，EF的夹角，因为∠ABC＝120°，且异面直线夹角θ的范围是0°<θ≤90°，所以异面直线BC，EF夹角的大小为60°.
答案：60°
8．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
①AB⊥EF；②AB与CM的夹角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.
以上结论中正确的序号为________．
解析：把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，连接CM，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．
答案：①③
9.如图，圆锥的底面直径AB＝4，高OC＝2，D为底面圆周上一点，且∠AOD＝120°，则直线AD与BC的夹角为________．
解析：如图，延长DO交底面圆于点E，连接BE，CE，由AB，DE均为圆的直径知AD∥BE，且AD＝BE，所以∠CBE为异面直线AD与BC的夹角．
在△AOD中，AD＝2OA sin 60°＝2，
在Rt△COB中，CB＝＝2，在△CBE中，CB＝CE＝BE＝2，所以△CBE为正三角形．所以∠CBE＝60°.
答案：60°
10.如图，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，若EF＝，求异面直线AD，BC夹角的大小．
解：如图，取BD的中点M，连接EM，FM.因为E，F分别是AB，CD的中点，所以EM綊AD，FM綊BC，则∠EMF或其补角就是异面直线AD，BC的夹角．
因为AD＝BC＝2，所以EM＝MF＝1，
由余弦定理得cos ∠EMF＝＝＝－，所以∠EMF＝120°.
所以异面直线AD，BC的夹角为∠EMF的补角，即异面直线AD，BC的夹角为60°.
11.如图，在三棱锥P ABC中，PA＝PB＝CA＝CB＝5，AB＝PC＝2，点D，E分别为AB，PC的中点，则异面直线PD，BE夹角的余弦值为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选B.如图，连接CD，取CD的中点F，连接EF，BF，则EF∥PD，∠BEF或其补角为异面直线PD，BE的夹角．由题意可知，PD＝CD＝BE＝2，EF＝，BF＝＝，
所以cos ∠BEF＝
＝＝.故选B.
12．(多选)如图，A，B，C，D为三棱柱的顶点或所在棱的中点，下列图形中，直线AB与CD是异面直线的为(　　)
解析：选ACD.对于A，因为CD 平面BCD，B∈平面BCD，B CD，A 平面BCD，由异面直线的定义可知，直线AB与CD是异面直线，故A正确；对于B，如图1，因为C，D分别为所在棱的中点，所以CD∥EF，又AB∥EF，由平行线的传递性可得AB∥CD，故B错误；对于C，如图2，取HG的中点F，连接DF，AF，则DF∥GE且DF＝GE，又AC∥GE且AC＝GE，所以DF∥AC且DF＝AC，
所以A，C，D三点确定平面ACDF，因为B 平面ACDF，A CD，所以直线AB与CD是异面直线，故C正确；对于D，因为AB 平面ABC，C∈平面ABC，C AB，D 平面ABC，由异面直线的定义可知，直线AB与CD是异面直线，故D正确．故选ACD.
13．在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，四边形ABCD是菱形，且AB＝2，∠ABC＝120°，若A1B⊥AD1，则AA1的长是________．
解析：如图所示，连接CD1，AC.在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC＝2，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥CD1，所以∠AD1C(或其补角)为异面直线A1B和AD1的夹角，因为A1B⊥AD1，即异面直线A1B和AD1的夹角为90°，所以∠AD1C＝90°.又易知AD1＝D1C，所以△ACD1是等腰直角三角形，所以AD1＝AC.因为AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，所以AC＝2×sin 60°×2＝6，所以AD1＝AC＝3，所以AA1＝ eq \r(AD－A1D) ＝.
答案：
14.如图，点A在△BCD所在平面外，M，N分别是△ABC和△ACD的重心．
(1)求证：MN∥BD；
(2)若BD＝6，求MN的长．
解：(1)证明：连接AM并延长，交BC于点E，连接AN并延长，交CD于点F，连接EF.
因为M，N分别是两个三角形的重心，所以AM∶AE＝2∶3，AN∶AF＝2∶3，于是MN∥EF.
因为M，N分别是△ABC和△ACD的重心，所以E，F分别是BC和DC的中点，从而EF∥BD，所以MN∥BD.
(2)由(1)知，E，F分别是BC和DC的中点，从而EF＝BD＝3.而由AM∶AE＝AN∶AF＝2∶3，MN∥EF，∠MAN＝∠EAF，得△AMN∽△AEF，所以MN＝EF＝2.
15.如图所示，在正方体ABCD-A′B′C′D′ 中，点P在线段AD′上运动，则异面直线CP与BA′的夹角θ的取值范围是________．
解析：连接AC，CD′(图略)，根据正方体性质可得D′A′∥CB，D′A′＝CB，所以四边形D′A′BC是平行四边形，所以BA′∥CD′，直线CP与BA′的夹角即为直线CP与CD′的夹角，在正方体中，易得CD′＝AD′＝AC，所以∠ACD′＝，由于直线CP与BA′异面，所以θ∈.
答案：
16．如图，已知在棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1中，AN＝CM＝.
(1)四边形MNA1C1是何图形？如何证明？
(2)∠DNM与∠D1A1C1有何关系？
解：(1)四边形MNA1C1是等腰梯形，证明如下：
连接AC，因为AN＝CM＝，则＝，
所以MN∥AC且MN≠AC，
在正方体ABCD A1B1C1D1中，AA1∥CC1且AA1＝CC1，所以四边形AA1C1C为平行四边形，所以AC∥A1C1且AC＝A1C1，所以MN∥A1C1且MN≠A1C1，又因为A1N＝ eq \r(AA＋AN2) ＝a，同理可得C1M＝a，则A1N＝C1M，
所以四边形MNA1C1为等腰梯形．
(2)因为ND∥A1D1，NM∥A1C1，且∠DNM与∠D1A1C1的两条边的方向相同，
因此，∠DNM＝∠D1A1C1.