4．2　课后达标 检测（教师版）

1．经过平面外的两点作该平面的平行平面可以作(　　)
A．0个 B．1个
C．0个或1个 D．1个或2个
解析：选C.连接平面外的两点的直线，当该直线与平面平行时，过该直线的平行平面有1个，当该直线与平面相交时，过该直线的平行平面有0个．
2．设α，β表示两个不同平面，m表示一条直线，下列命题正确的是(　　)
A．若m∥α，α∥β，则m∥β
B．若m∥α，m∥β，则α∥β
C．若m α，α∥β，则m∥β
D．若m α，m∥β，则α∥β
解析：选C.若m∥α，α∥β，则m∥β或m β，A不正确；若m∥α，m∥β，则α∥β或α，β相交，B不正确；若m α，α∥β，可得m，β没有公共点，即m∥β，C正确；若m α，m∥β，则α∥β或α，β相交，D不正确，故选C.
3.如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形EFGH为截面，长方形ABCD为底面，则四边形EFGH的形状为(　　)
A．梯形
B．平行四边形
C．可能是梯形也可能是平行四边形
D．矩形
解析：选B.因为平面ABFE∥平面CGHD，且平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面CGHD＝GH，根据面面平行的性质可知EF∥GH，同理EH∥FG.所以四边形EFGH为平行四边形．故选B.
4.如图，空间图形A1B1C1－ABC是三棱台，在点A1，B1，C1，A，B，C中取3个点确定平面α，α∩平面A1B1C1＝m，且m∥AB，则所取的这3个点可以是(　　)
A．A，B1，C B．A1，B，C1
C．A，B，C1 D．A，B1，C1
解析：选C.由空间图形A1B1C1－ABC是三棱台，可得平面ABC∥平面A1B1C1，
当平面ABC1为平面α，平面α∩平面A1B1C1＝m时，又平面α∩平面ABC＝AB，
所以由面面平行的性质定理可知m∥AB，所以选项C符合要求．故选C.
5．(多选)在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G分别为线段AB，A1B1，AA1的中点，下列说法正确的是(　　)
A．平面AC1F∥平面B1CE
B．直线FG∥平面B1CE
C．直线CG与BF异面
D．直线C1F与平面CGE相交
解析：选AC.对于A，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G分别为线段AB，A1B1，AA1的中点，所以B1E∥AF，又AF 平面AC1F，B1E 平面AC1F，所以B1E∥平面AC1F，同理可证CE∥平面AC1F，又B1E∩CE＝E，B1E，CE 平面B1CE，所以平面AC1F∥平面B1CE，所以A正确；对于B，因为F，G分别是线段A1B1，AA1的中点，所以FG∥AB1，AB1∩B1E＝B1，所以FG与B1E相交，所以直线FG与平面B1CE相交，所以B错误；对于C，CG与BF不同在任何一个平面内，所以CG与BF是异面直线，所以C正确；对于D，因为CE∥C1F，CE 平面CGE，C1F 平面CGE，所以直线C1F∥平面CGE，所以D错误．故选AC.
6．(多选)如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，若E，F，G，H分别是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，则必有(　　)
A．BD1∥GH
B．BD∥EF
C．BD1∥平面EFGH
D．平面EFGH∥平面A1BCD1
解析：选CD.连接A1B，CD1.易知GH∥D1C，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以BD1，GH不可能互相平行，故A错误；易知EF∥A1B，与A同理，可判断B错误；对于C，D，由于E，F，G，H分别是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，
得出EF∥A1B，EH∥A1D1，因为A1B 平面A1BCD1，EF 平面A1BCD1，
所以EF∥平面A1BCD1，同理可得EH∥平面A1BCD1，又EF∩EH＝E，且EF，EH 平面EFGH，
所以平面EFGH∥平面A1BCD1，而BD1 平面A1BCD1，所以BD1∥平面EFGH，故C，D正确．故选CD.
7.如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，写出满足条件的一个平面．
(1)与平面ADD1A1平行的平面为______________________________；
(2)与平面ABB1A1平行的平面为_______________________________；
(3)与平面A1DC1平行的平面为_______________________________；
解析：因为ABCD?A1B1C1D1为长方体，所以平面ADD1A1∥平面BCC1B1，平面ABB1A1∥平面DCC1D1，连接AB1，B1C，AC(图略)，则A1C1∥AC，DC1∥AB1，又因为AC，AB1 平面A1DC1，A1C1，DC1 平面A1DC1，所以AC∥平面A1DC1，AB1∥平面A1DC1，因为AC∩AB1＝A，AC，AB1 平面AB1C，所以平面A1DC1∥平面AB1C.　
答案：(1)平面BCC1B1　(2)平面DCC1D1
(3)平面AB1C
8．如图，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是______________．
解析：由于平面ABCD∥平面α，平面AA1B1B∩α＝A1B1，平面AA1B1B∩平面ABCD＝AB，
所以AB∥A1B1，同理可证CD∥C1D1，
又A1B1∥C1D1，所以AB∥CD，同理可证AD∥BC，所以四边形ABCD是平行四边形．
答案：平行四边形
9.如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于M，交BC于N，则＝________．
解析：由平面MNE∥平面ACB1，及面面平行的性质定理可得EN∥B1C，EM∥B1A，又因为E为BB1的中点，所以M，N分别为AB，BC的中点，所以MN＝AC，即＝.
答案：
10.如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D.
证明：因为BE∥AA1，AA1 平面AA1D，BE 平面AA1D，
所以BE∥平面AA1D.
因为BC∥AD，AD 平面AA1D，BC 平面AA1D，
所以BC∥平面AA1D.
又BE∩BC＝B，BE，BC 平面BCE，
所以平面BCE∥平面AA1D.
又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，所以EC∥A1D.
11．在三棱台A1B1C1-ABC中，点D在A1B1上，且AA1∥BD，点M是△A1B1C1内(含边界)的一个动点，且有平面BDM∥平面A1ACC1，则动点M的轨迹是(　　)
A．△A1B1C1边界的一部分
B．一个点
C．线段的一部分
D．圆的一部分
解析：选C.如图，过D作DE∥A1C1交B1C1于点E，连接BE，BD，因为BD∥AA1，BD 平面A1ACC1，AA1 平面A1ACC1，
所以BD∥平面A1ACC1，
同理DE∥平面A1ACC1，
又BD∩DE＝D，BD，DE 平面BDE，
所以平面BDE∥平面A1ACC1，所以M∈线段DE(M不与D重合，否则没有平面BDM)，故选C.
12．(多选)如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，已知点G，H分别在A1B1，A1C1上，且GH经过△A1B1C1的重心，点E，F分别是AB，AC的中点，且平面A1EF∥平面BCHG，则下列结论正确的是(　　)
A．EF∥GH
B．GH∥平面A1EF
C．＝
D．平面A1EF∥平面BCC1B1
解析：选ABC.由E，F分别是AB，AC的中点可知EF∥BC，＝.在三棱柱ABC?A1B1C1中，平面A1B1C1∥平面ABC，由两个平面平行的性质定理可得GH∥BC，因为BC綊B1C1，所以GH∥B1C1，又GH经过△A1B1C1的重心，所以＝，所以＝，且EF∥GH，GH 平面A1EF，EF 平面A1EF，所以GH∥平面A1EF.因为A1B1∥BE且BE＜A1B1，所以直线A1E与BB1有交点，所以平面A1EF与平面BCC1B1相交．故A，B，C正确，D错误．
13.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH上及其内部运动，则M满足__________时，有MN∥平面B1BDD1.
解析：如图，连接HN，FH，FN.
则HN∥BD，FH∥D1D，HN 平面B1BDD1，BD 平面B1BDD1，所以HN∥平面B1BDD1，同理HF∥平面B1BDD1，又因为HN∩HF＝H，HN，HF 平面FHN，所以平面FHN∥平面B1BDD1.因为点M在四边形EFGH上及其内部运动，所以M∈线段FH.
答案：M在线段FH上
14．如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，BB1＝2，点E，F，M分别为C1D1，A1D1，B1C1的中点，过点M的平面α与平面DEF平行，且与长方体的面相交，交线围成一个平面图形．在图中，画出这个平面图形，并求出这个平面图形的面积(不必说明画法与理由).
解：如图，设N为A1B1的中点，连接MN，AN，AC，CM，
则四边形MNAC为所求的平面图形．
因为M，N，E，F均为所在棱的中点，所以MN∥EF，
又EF 平面DEF，MN 平面DEF，所以MN∥平面DEF，
又AN∥DE，AN 平面DEF，DE 平面DEF，所以AN∥平面DEF，
又MN∩AN＝N，MN，AN 平面MNAC，所以平面MNAC∥平面DEF.
易知MN∥AC，四边形MNAC为梯形，且MN＝AC＝2，
又AN＝MC＝＝2，
所以梯形MNAC为等腰梯形，过点M作MP⊥AC于点P，
PC＝＝，
所以MP＝＝，
所以S梯形MNAC＝×(2＋4)×＝6.
15．设α∥β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A，B分别在平面α，β内运动时，那么所有的动点C(　　)
A．不共面
B．当且仅当A，B分别在两条直线上移动时才共面
C．当且仅当A，B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面
D．不论A，B如何移动，都共面
解析：选D.如图，A′，B′分别是A，B两点在α，β上运动后的两点，此时AB的中点C变成A′B′的中点C′，连接A′B，取A′B的中点E，连接CE，C′E，AA′，BB′，CC′.
则CE∥AA′，CE α，AA′ α，所以CE∥α，
同理，C′E∥β.又因为α∥β，所以C′E∥α.
因为C′E∩CE＝E，C′E，CE 平面CC′E，所以平面CC′E∥平面α.因为CC′ 平面CC′E，所以CC′∥α.所以不论A，B如何移动，所有的动点C都在过C点且与α，β平行的平面上．
16．如图，四棱锥P?ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为PB的中点．
(1)求证：CE∥平面PAD；
(2)过D点是否存在一个与PA，AB相交，且与平面PBC平行的平面？若存在，指出交点位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.
解：(1)证明：如图，取PA的中点F，连接EF，DF，因为E为PB的中点，F为PA的中点，
所以EF∥AB，EF＝AB，
又AB∥CD，AB＝2CD，
所以EF∥CD，EF＝CD，
因此四边形CDFE为平行四边形，
所以CE∥DF，又DF 平面PAD，CE 平面PAD，
所以CE∥平面PAD.
(2)存在，交点为PA的中点F和AB的中点H.
理由如下：取AB的中点H，连接FH，DH，
由(1)得CE∥DF，又DF 平面DFH，CE 平面DFH，所以CE∥平面DFH，
因为F为PA的中点，H为AB的中点，
所以FH∥PB，
又FH 平面DFH，PB 平面DFH，所以PB∥平面DFH，又PB∩CE＝E，PB，CE 平面PBC，所以平面PBC∥平面DFH.