5．1　课后达标 检测（教师版）

1．已知直线a⊥平面α，直线b 平面α，则下列结论一定成立的是(　　)
A．a与b相交 B．a与b异面
C．a⊥b D．a与b无公共点
解析：选C.因为直线a⊥平面α，直线b 平面α，根据线面垂直的定义，所以a⊥b，其它选项不一定成立．故选C.
2.如图， ADEF的边AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝3，则CE＝(　　)
A．2 B．3
C． D．
解析：选D.因为四边形ADEF为平行四边形，所以AF∥DE且AF＝DE＝2.
因为AF⊥平面ABCD，所以DE⊥平面ABCD.因为DC 平面ABCD，所以DE⊥DC.
又CD＝3，所以CE＝＝＝.故选D.
3.如图，α，β是两个不同的平面，A，C是平面α上两个不同的点，B是平面β上的点，α∩β＝l，且AB⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的位置关系是(　　)
A．异面 B．平行
C．垂直 D．不确定
解析：选C.因为AB⊥α，l α，所以AB⊥l，
又因为BC⊥β，l β，所以BC⊥l，
又AB∩BC＝B，AB，BC 平面ABC，所以l⊥平面ABC，
又AC 平面ABC，所以l⊥AC.故选C.
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AB1与平面ACC1A1夹角的大小为(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：选A.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，连接B1D1，A1C1，B1D1∩A1C1＝O，连接AO，如图，
则有B1O⊥A1C1，而AA1⊥平面A1B1C1D1，B1O 平面A1B1C1D1，
则B1O⊥AA1，
又AA1∩A1C1＝A1，AA1，A1C1 平面ACC1A1，
因此B1O⊥平面ACC1A1，则∠B1AO是直线AB1与平面ACC1A1的夹角，
在Rt△AB1O中，∠AOB1＝90°，B1O＝B1D1＝AB1，所以sin ∠B1AO＝＝，则有∠B1AO＝30°，
所以直线AB1与平面ACC1A1夹角的大小为30°.故选A.
5.(多选)《蝶恋花·春景》是北宋大文豪苏轼所写的一首词作．其下阙为：“墙里秋千墙外道．墙外行人，墙里佳人笑．笑渐不闻声渐悄．多情却被无情恼”．如图所示，假如将墙看作一个平面，道路、秋千绳、秋千板简单看作是直线．那么道路和墙面线面平行，秋千静止时，秋千板与墙面线面垂直，秋千绳与墙面线面平行．那么当佳人在荡秋千的过程中(　　)
A．秋千绳与墙面始终平行
B．秋千绳与道路始终垂直
C．秋千板与墙面始终垂直
D．秋千板与道路始终垂直
解析：选ACD.显然，在荡秋千的过程中，秋千绳与墙面始终平行，但与道路的夹角在变化．而秋千板与墙面始终垂直，故也与道路始终垂直．故选ACD.
6.(多选)如图，四棱锥S-ABCD的底面ABCD为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有(　　)
A．AC⊥SB
B．AB∥平面SCD
C．SA与平面ABCD的夹角是∠SAB
D．AB与BC的夹角等于DC与SC的夹角
解析：选AB.A选项，因为四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD，又SD⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，所以SD⊥AC，又BD∩SD＝D，BD，SD 平面SBD，所以AC⊥平面SBD，因为SB 平面SBD，所以AC⊥SB，故A正确；B选项，因为四边形ABCD为正方形，所以AB∥CD，又AB 平面SCD，CD 平面SCD，所以AB∥平面SCD，故B正确；C选项，因为SD⊥底面ABCD，所以SA与平面ABCD的夹角是∠SAD，故C错误；D选项，因为四边形ABCD为正方形，则AB与BC的夹角为90°，又SD⊥底面ABCD，则∠SDC＝90°，所以DC与SC的夹角∠SCD<90°，故D错误．故选AB.
7．一条与平面α相交的线段AB，其长度为10 cm，两端点A，B到平面α的距离分别是3 cm，2 cm，则线段AB与平面α夹角的大小是________．
解析：如图，作AC⊥α，BD⊥α，垂足分别为C，D，则AC∥BD，AC，BD确定的平面与平面α交于CD，设CD与AB相交于点O，AB＝10 cm，AC＝3 cm，BD＝2 cm，则AO＝6 cm，BO＝4 cm，所以∠AOC＝∠BOD＝30°，即线段AB与平面α夹角的大小为30°.
答案：30°
8.已知点P是△ABC所在平面外一点，且PA⊥PB，PA⊥PC，PC⊥PB，则点P在△ABC所在平面上的投影点O是△ABC的________．
解析：连接AO，BO，CO(图略).因为PA ⊥PB，PA ⊥PC，PB∩PC＝P，PB，PC 平面PBC，所以PA⊥平面PBC，因为BC 平面PBC，所以BC⊥PA，因为PO⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以BC⊥PO，因为PA∩PO＝P，PA，PO 平面PAO，所以BC⊥平面PAO，因为AO 平面PAO，所以AO⊥BC，同理可证AC⊥BO，AB⊥CO，所以O为△ABC三条边上高线的交点，即为垂心．
答案：垂心
9．如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，当底面ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1.(只需填写一种正确条件即可)
解析：连接AC，BD，A1C1(图略).根据直四棱柱ABCD－A1B1C1D1可得BB1∥DD1，且BB1＝DD1，所以四边形BB1D1D是矩形，所以BD∥B1D1，同理可证AC∥A1C1，当AC⊥BD时，可得A1C1⊥B1D1，且CC1⊥底面A1B1C1D1，而B1D1 底面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1D1，而A1C1∩CC1＝C1，A1C1，CC1 平面A1CC1，从而B1D1⊥平面A1CC1，因为A1C 平面A1CC1，所以A1C⊥B1D1，所以当AC⊥BD时满足题意．
答案：AC⊥BD(答案不唯一)
10．如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A＝AB＝a，G，E，F分别是A1C1，AB，BC的中点．求证：EF⊥GB.
证明：连接B1G.在△A1B1C1中，G是A1C1的中点，
所以B1G⊥A1C1.因为B1B⊥平面A1B1C1，A1C1 平面A1B1C1，所以B1B⊥A1C1，因为B1G∩B1B＝B1，B1G，B1B 平面B1BG，所以A1C1⊥平面B1BG，因为GB 平面B1BG，所以A1C1⊥GB，又因为E，F分别是AB，BC的中点，所以EF∥AC，又AC∥A1C1，所以EF∥A1C1，所以EF⊥GB.
11.(多选)如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，现在沿SE，SF，EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3重合，重合后的点记为G.给出下列关系中成立的为(　　)
A．SG⊥平面EFG B．SE⊥平面EFG
C．GF⊥SE D．EF⊥平面SEG
解析：选AC.由SG⊥GE，SG⊥GF，GE∩GF＝G，GE，GF 平面EFG，得SG⊥平面EFG，A项正确；若SE⊥平面EFG，则SG∥SE，这与SG∩SE＝S矛盾，B项错误；SG⊥GF，GE⊥GF，SG∩GE＝G，SG，GE 平面SGE，所以GF⊥平面SGE，又因为SE 平面SGE，所以GF⊥SE，C项正确；若EF⊥平面SEG，则EF⊥GE，这与∠FEG＝45°矛盾，D项错误．故选AC.
12．(多选)已知四棱锥P-ABCD的所有棱长都相等，且M，N分别是棱PD，BC的中点，则(　　)
A．MN∥PB B．MN∥平面PAB
C．MN⊥PA D．MN⊥平面PAD
解析：选BC.对于A，因为PB 平面PBC，N∈平面PBC，N 直线PB，M 平面PBC，所以MN与PB是异面直线，故A错误；对于B，取E为PA的中点，连接ME，BE(图略)，所以EM∥AD，EM＝AD，又BN∥AD，BN＝AD，所以BN∥EM，BN＝EM，即四边形BNME为平行四边形，所以MN∥BE，因为BE 平面PAB，MN 平面PAB，所以MN∥平面PAB，故B正确；对于C，因为PB＝AB，E为PA的中点，所以BE⊥PA，因为MN∥BE，所以MN⊥PA，故C正确；对于D，若MN⊥平面PAD，因为AD 平面PAD，所以MN⊥AD，因为四棱锥P-ABCD的所有棱长相等，所以底面ABCD是正方形，取F为AD的中点，连接MF，NF(图略)，所以NF⊥AD，因为MN∩NF＝N，MN，NF 平面MNF，所以AD⊥平面MNF，又MF 平面MNF，所以MF⊥AD，又MF∥PA，所以PA⊥AD，这与△PAD为等边三角形，∠PAD＝60°矛盾，故MN不垂直于平面PAD，故D错误．故选BC.
13.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a＝________．
解析：如图，连接AQ.因为PA⊥平面ABCD，QD 平面ABCD，所以PA⊥QD.
又PQ⊥QD，PA，PQ 平面PAQ，且PA∩PQ＝P，所以QD⊥平面PAQ，因为QA 平面PAQ，所以QD⊥QA.
因为在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，
所以BC与以AD为直径的圆相切．
因为AB＝1，BC＝a，所以a＝2.
答案：2
14.如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2，AA1＝，BB1＝2，点E和F分别为BC和A1C的中点．
(1)求证：EF∥平面A1B1BA；
(2)求证：AE⊥平面BCB1；
(3)求直线A1B1与平面BCB1夹角的大小．
解：(1)证明：如图，连接A1B.
在△A1BC中，因为E和F分别是BC和A1C的中点，所以EF∥BA1.
又因为EF 平面A1B1BA，BA1 平面A1B1BA，所以EF∥平面A1B1BA.
(2)证明：因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC.因为AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，所以BB1⊥平面ABC，又AE 平面ABC，从而BB1⊥AE.又因为BC∩BB1＝B，BC，BB1 平面BCB1，所以AE⊥平面BCB1.
(3)取BB1的中点M和B1C的中点N，连接A1M，A1N，NE.因为N和E分别为B1C和BC的中点，所以NE∥B1B，NE＝B1B，故NE∥A1A且NE＝A1A，所以四边形AENA1是平行四边形，所以A1N∥AE，且A1N＝AE.又因为AE⊥平面BCB1，所以A1N⊥平面BCB1，从而∠A1B1N为直线A1B1与平面BCB1的夹角．
在△ABC中，可得AE＝2，所以A1N＝AE＝2.
因为BM∥AA1，BM＝AA1，
所以四边形MBAA1为平行四边形，所以A1M∥AB，A1M＝AB，
又由AB⊥BB1，得A1M⊥BB1.
在Rt△A1MB1中，
可得A1B1＝＝4.
在Rt△A1NB1中，sin ∠A1B1N＝＝，因此∠A1B1N＝30°.
所以直线A1B1与平面BCB1的夹角为30°.
15．(多选)如图，在以下正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是(　　)
解析：选BD.对于A，由异面直线AB与CE夹角的大小为45°，知AB与CE不垂直，故直线AB与平面CDE不垂直，故A错误；对于B，由题图知，AB⊥CE，AB⊥ED，又CE∩ED＝E，CE，ED 平面CDE，所以AB⊥平面CDE，故B正确；对于C，由异面直线AB与CE夹角的大小为60°，知AB与CE不垂直，故直线AB与平面CDE不垂直，故C错误；对于D，连接AC(图略)，因为ED⊥AC，ED⊥BC，AC∩BC＝C，AC，BC 平面ABC，所以ED⊥平面ABC，又AB 平面ABC，所以ED⊥AB.连接AD(图略)，因为CE⊥AD，BD⊥CE，AD∩BD＝D，AD，BD 平面ABD，所以CE⊥平面ABD，又AB 平面ABD，所以CE⊥AB.又ED∩CE＝E，ED，CE 平面CDE，所以AB⊥平面CDE，故D正确．
16．如图1，在Rt△ABC中，C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.
(1)求证：DE∥平面A1CB；
(2)求证：A1F⊥BE；
(3)线段A1B上是否存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ？说明理由．
解：(1)证明：因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.
又因为DE 平面A1CB，BC 平面A1CB，
所以DE∥平面A1CB.
(2)证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，
所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD，又因为A1D∩CD＝D，A1D，CD 平面A1DC，所以DE⊥平面A1DC.
而A1F 平面A1DC，所以DE⊥A1F.
又因为A1F⊥CD，CD∩DE＝D，CD，DE 平面BCDE，所以A1F⊥平面BCDE.
因为BE 平面BCDE，所以A1F⊥BE.
(3)线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.理由如下：
如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，连接PQ，PD，EQ，
则PQ∥BC.
又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.
所以平面DEQ即为平面DEQP.
由(2)知，DE⊥平面A1DC，又A1C 平面A1DC，所以DE⊥A1C.
又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，
所以A1C⊥DP.又DP∩DE＝D，DP，DE 平面DEQP，
所以A1C⊥平面DEQP，即A1C⊥平面DEQ.
故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.