5．1　直线与平面垂直（教师版）

§5　垂直关系
5．1　直线与平面垂直
1.理解直线与平面垂直的定义及直线与这个平面夹角的定义．　2.掌握直线与平面垂直的性质定理、判定定理．　3.应用直线与平面垂直的性质定理、判定定理解决问题．
木工要检查一根木棒是否和板面垂直，只需用曲尺在不同的方向(但不是相反的方向)检查两次，如图．如果两次检查时，曲尺的两边都分别与木棒和板面密合，便可以判定木棒与板面垂直．
思考1　通过观察木棒和板面垂直，思考什么叫直线和平面垂直？
提示：一条直线l和平面α内的任意一条直线都垂直，叫作直线l和平面α垂直．
思考2　用“L”形木尺检查一次能判定木棒与板面垂直吗？
提示：不能．这样检查不能保证木棒与板面内任意一条直线垂直．
1．直线与平面垂直的定义
一般地，如果直线l与平面α内的__________________都垂直，那么称直线l与平面α垂直，记作________．
直线l称为平面α的垂线，平面α称为直线l的垂面，它们唯一的公共点P称为垂足．
2．直线与平面垂直的性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线________
符号语言 ________
图形语言
作用 ①线面垂直 线线平行②作平行线
[答案自填] 任何一条直线　l⊥α　平行
a∥b
【即时练】
1．已知直线l⊥平面α，则下列判断中正确的是(　　)
①若m⊥l，则m∥α；②若m⊥α，则m∥l；③若m∥α，则m⊥l.
A．①②③ B．②③
C．①③ D．②
解析：选B.对于①，当m α也可以有m⊥l，但m不平行于平面α，故①错误；对于②，根据线面垂直的性质定理可知②正确；对于③，根据线面平行的性质定理可得，存在n α且m∥n，而直线l⊥平面α，故可根据线面垂直的性质得出l⊥n，故l⊥m，故③正确．故选B.
2．已知点P是四边形ABCD所在平面外一点，且点P到这四边形各边的距离相等，那么这个四边形一定是(　　)
A．圆的内接四边形
B．矩形
C．圆的外切四边形
D．平行四边形
解析：选C.如图所示，设PE，PF，PG，PH分别为点P到四边形ABCD各边的距离，由已知得PE＝PF＝PG＝PH，点P在平面ABCD上的投影为O，所以OE＝OF＝OG＝OH，即点O到各边距离相等，
即点O为四边形ABCD 内切圆的圆心，所以四边形ABCD为圆的外切四边形，故选C.
3.如图，已知底面是正方形的四棱锥P-ABCD，侧棱PC与底面ABCD垂直，它的长与底面边长相等，长度均为1，那么该棱锥中最长的棱长是________．
解析：如图，PC⊥平面ABCD，则PA是最长的棱，连接AC，
因为PC⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，所以PC⊥AC，因为四边形ABCD为正方形，且边长为1，所以AC＝，所以PA＝＝＝.
答案：
对线面垂直定义的理解
(1)直线和平面垂直的定义是描述性定义，要注意理解直线的任意性．实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义．当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线．由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直．
(2)由定义可得“线面垂直 线线垂直”，即“若a⊥α，b α，则a⊥b”．
1．定义：如图，一条直线与一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线称为这个平面的________，斜线与平面的交点A称为________．过斜线上斜足以外的一点P向平面作垂线，过垂足O和斜足A的直线AO称为斜线在这个平面上的________．平面的一条斜线与它在平面上的投影所成的________，叫作这条直线与这个平面的夹角．
2．规定：一条直线垂直于平面，称它们的夹角是直角；一条直线与平面平行，或在平面内，称它们的夹角是0°.
3．范围：直线与平面的夹角θ的范围是_______________________________.
[答案自填] 斜线　斜足　投影　锐角
0°≤θ≤90°
　(对接教材例2)(1)如图，正三棱柱的底面边长为2，高为1，则直线B1C与底面ABC夹角的正切值为________．
(2)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设AC的中点为O，则OD1与平面ABCD夹角的正切值为________．
【解析】　(1)因为BB1⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以BC为斜线B1C在底面ABC上的投影，所以∠B1CB为直线B1C与底面ABC的夹角，所以tan ∠B1CB＝＝.
(2)连接OD(图略)，因为D1D⊥平面ABCD，OD 平面ABCD，所以OD为斜线OD1在底面ABCD上的投影，所以∠D1OD是OD1与平面ABCD的夹角，设正方体棱长为a，则DD1＝a，OD＝a，所以tan ∠D1OD＝＝.
【答案】　(1)　(2)
求斜线与平面夹角的步骤
(1)作图：作(或找)出斜线在平面上的投影，作投影要过斜线上一点作平面的垂线，再连接垂足和斜足，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中的已知量有关，才能便于计算．
(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面的夹角．
(3)计算：通常在垂线段、斜线和投影所组成的直角三角形中计算．
　
[跟踪训练1] (1)若一个正四棱锥的侧棱和底面边长均为1，则该正四棱锥的侧棱和底面的夹角为(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：选B.设正四棱锥为P－ABCD，连接底面对角线AC，设AC中点为O，连接PO(图略)，又因为P－ABCD是正四棱锥，所以PO⊥底面ABCD，∠PAO即为侧棱PA和底面 ABCD 的夹角，易知△PAO为等腰直角三角形，所以∠PAO＝45°，故选B.
(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1和平面ACD1夹角的余弦值为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选D.如图，BB1与平面ACD1的夹角等于DD1与平面ACD1的夹角，
在三棱锥D-ACD1中，由三条侧棱均相等得点D在底面ACD1上的投影为等边三角形ACD1的中心H，连接D1H，DH，则∠DD1H为DD1与平面ACD1的夹角，设正方体的棱长为a，
则cos ∠DD1H＝＝＝.故选D.
文字语言 图形语言 符号语言
如果一条直线与一个平面内的____________________垂直，那么该直线与此平面垂直 l⊥α
[答案自填] 两条相交直线
　如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．
(1)求证：AN⊥平面PBM；
(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.
【证明】　(1)因为AB为⊙O的直径，
所以AM⊥BM.
又PA⊥平面ABM，BM 平面ABM，
所以PA⊥BM，
又因为PA∩AM＝A，PA，AM 平面PAM，所以BM⊥平面PAM，
又AN 平面PAM，
所以BM⊥AN，
又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，BM，PM 平面PBM，所以AN⊥平面PBM.
(2)由(1)知AN⊥平面PBM，
PB 平面PBM，
所以AN⊥PB.
又因为AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，AN，AQ 平面ANQ，所以PB⊥平面ANQ.
又NQ 平面ANQ，所以NQ⊥PB.
证明线面垂直的方法
(1)线面垂直的定义．
(2)线面垂直的判定定理．
(3)如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．
(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．
[跟踪训练2] 如图，在三棱锥S-ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC.
(1)求证：SD⊥平面ABC；
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
证明：(1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.
在Rt△ABC中，AD＝BD，又SA＝SB，所以易证△ADS≌△BDS.所以∠SDA＝∠SDB＝90°，所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC，BD 平面ABC，所以SD⊥平面ABC.
(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.
由(1)知SD⊥BD，又SD∩AC＝D，SD，AC 平面SAC，
所以BD⊥平面SAC.
　已知直线l与平面α的夹角是45°，若直线l在α上的投影与α内的直线m的夹角是45°，则l与m的夹角是(　　)
A．30°　　　　　　　　　 B．45°
C．60° D．90°
【解析】　如图，在平面α内，l∩α＝A，过l上一点B作BC⊥α，垂足为C，则直线AC即为l在α上的投影，∠BAC＝45°，设AC＝1，则BC＝1，AB＝，过点C作CD⊥m于点D，由题可知∠CAD＝45°，则AD＝CD＝.
在Rt△BCD中，BD＝＝，
因为∠BAD是l与m的夹角，
在△BAD中，cos ∠BAD＝＝，所以∠BAD＝60°.故选C.
【答案】　C
解决有关直线与平面夹角的问题时，关键是寻找斜线在平面上的投影，从而得到直线与平面的夹角，构造三角形，利用正、余弦定理进行求解．
　
[跟踪训练3] 已知点P是△ABC所在平面外一点，若PA，PB，PC与△ABC所在平面的夹角相等，则点P在△ABC所在平面上的投影是△ABC的________心．
解析：如图，点O是点P在平面ABC上的投影，即PO⊥平面ABC，因此PO与平面ABC内直线OA，OB，OC都垂直，由已知∠PAO＝∠PCO＝∠PBO，所以OA＝OC＝OB，所以点O是△ABC的外心．
答案：外
　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB＝60°，PA＝PD，G为AD的中点．
(1)求证：AD⊥PB；
(2)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使得DF⊥AD？请证明你的结论．
【解】　(1)证明：连接BD，BG，PG，
因为四边形ABCD为菱形，
所以AB＝AD，又∠DAB＝60°，所以△ABD为等边三角形，
因为G为AD的中点，所以BG⊥AD.
因为PA＝PD，G为AD的中点，所以PG⊥AD，
又BG∩PG＝G，BG，PG 平面PBG，所以AD⊥平面PBG，
因为PB 平面PBG，所以AD⊥PB.
(2)当F为PC的中点时，DF⊥AD.证明如下：
连接EF，DE.因为E，F分别为BC，PC的中点，所以EF∥PB，又EF 平面PBG，PB 平面PBG，
所以EF∥平面PBG.
因为E，G分别为BC，AD的中点，所以BE∥DG，BE＝DG，
所以四边形BEDG为平行四边形，所以DE∥BG，又DE 平面PBG，BG 平面PBG，
所以DE∥平面PBG，又DE∩EF＝E，DE，EF 平面DEF，
所以平面DEF∥平面PBG.
由(1)知AD⊥平面PBG，所以AD⊥平面DEF，
因为DF 平面DEF，所以DF⊥AD.
解决立体几何线面位置关系时，要准确记忆并灵活运用空间平行关系、垂直关系的判定定理和性质定理， 应注意平行关系与垂直关系的转化，如：垂直于同一个平面的两条直线平行；垂直于同一条直线的两个平面平行；互相平行的两条直线，如果其中一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于该平面等．
　
[跟踪训练4] 已知△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA＝AB＝2a，DC＝a，F，G分别是EB和AB的中点．求证：FG⊥平面ABC，FD∥平面ABC.
证明：如图，连接CG，
由于F，G分别是EB和AB的中点，则FG∥EA，FG＝EA＝a，
又EA⊥平面ABC，则FG⊥平面ABC.
由于DC⊥平面ABC，则DC∥FG，
而DC＝FG＝a，
所以四边形FGCD为平行四边形，
所以FD∥GC，
又GC 平面ABC，FD 平面ABC，
所以FD∥平面ABC.
1．若两直线l1与l2异面，则过l1且与l2垂直的平面(　　)
A．有且只有一个
B．可能存在，也可能不存在
C．有无数多个
D．一定不存在
解析：选B.当l1⊥l2时，过l1且与l2垂直的平面有一个；当l1与l2不垂直时，过l1且与l2垂直的平面不存在．故选B.
2．若点A，B在平面α的同侧，且点A，B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：选A.如图，因为AC⊥α，BD⊥α，所以AC∥BD，又AC＝3，BD＝5，EF为中位线，EF∥AC，所以EF⊥α，EF＝(AC＋BD)＝4.故选A.
3．(教材P242T2改编)给出下列条件：①直线l与平面α内一个三角形的两边垂直；②直线l与平面α内无数条直线垂直；③直线l与平面α内一个梯形的两边垂直；④直线l与平面α内任意一条直线垂直．其中，能推出l⊥α的有________．(填序号)
解析：由线面垂直的定义及判定定理知①④正确；对于②，当无数条直线相互平行时，不能推出l⊥α；对于③，当梯形的两边平行时，不能推出l⊥α.故填①④.
答案：①④
4．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面BCC1B1夹角的正弦值是________．
解析：如图，设E为BC的中点，连接AE，B1E.易得AE⊥BC，且B1B⊥平面ABC，
因为AE 平面ABC，
所以B1B⊥AE，
又B1B∩BC＝B，B1B，BC 平面BCC1B1，
所以AE⊥平面BCC1B1，
故∠EB1A为AB1与侧面BCC1B1的夹角，因为正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，
所以sin ∠EB1A＝＝＝.
答案：
1．已学习：直线与平面垂直的定义、直线与平面垂直的性质定理、直线与平面垂直的判定定理、直线与平面的夹角．
2．须贯通：直线与平面垂直的判定定理体现了“线线垂直→线面垂直”的转化过程；求直线与平面夹角的步骤：一作、二证、三求、四答，其中作出线面角是关键，而确定斜线在平面上的投影是作角的突破口．
3．应注意：“平面内两条相交直线”在判断定理中的关键作用．