5．2　课后达标 检测（教师版）

1．已知m，n，l是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，α⊥β，α∩β＝l，n β，n⊥l，m⊥α，则直线m与n的位置关系是(　　)
A．异面 B．相交但不垂直
C．平行 D．相交且垂直
解析：选C. 因为α⊥β，α∩β＝l，n β，n⊥l，所以n⊥α.又m⊥α，所以m∥n.故选C.
2.如图，P是二面角α-l-β的交线l上一定点，PA α，PB β，且PA⊥l，PB⊥l，∠BPA＝，若点C是半平面α上任意一点，则∠BPC的范围为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选D.当PC与l重合时，∠BPC＝，当PC与PA重合时，∠BPC＝.故∠BPC的范围为.故选D.
3.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E，F分别是AB，CD的中点．将四边形ADFE沿直线EF进行翻折．给出四个结论：①DF⊥BC；②BD⊥FC；③平面BDF⊥平面BFC；④平面DCF⊥平面BFC.在翻折的过程中，可能成立的结论是(　　)
A．①③ B．②③
C．②④ D．③④
解析：选B.对于①，因为BC∥AD，AD与DF相交不垂直，所以BC与DF不垂直，故①不可能成立；
对于②，如图，设点D在平面BCF上的投影为点P，
当BP⊥CF时，有BD⊥FC.而AD∶BC∶AB＝2∶3∶4可使条件满足，故②可能成立；
对于③，当点P落在BF上时，DP 平面BDF，从而平面BDF⊥平面BFC，故③可能成立；
对于④，因为点D的投影不可能在FC上，故④不可能成立．故选B.
4.在四面体ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状是(　　)
A．锐角(非等边)三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等边三角形
解析：选B.作AE⊥BD于点E，因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AE 平面ABD，所以AE⊥平面BCD.又因为BC 平面BCD，所以AE⊥BC.因为DA⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以DA⊥BC.
又因为AE∩DA＝A，AE，DA 平面ABD，所以BC⊥平面ABD.
因为AB 平面ABD，所以BC⊥AB，即△ABC为直角三角形．故选B.
5．(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列结论正确的是(　　)
A．AC∥平面A1BC1
B．AD⊥平面A1BC1
C．A1C1⊥AD1
D．平面A1BC1⊥平面BB1D1D
解析：选AD.对于A，因为AC∥A1C1，AC 平面A1BC1，A1C1 平面A1BC1，
所以AC∥平面A1BC1；
对于B，∠DAC＝45°，AD与AC不垂直，
则AD与A1C1不垂直，AD⊥平面A1BC1不正确；
对于C，连接CD1，AC＝AD1＝CD1，则△ACD1为等边三角形，则AD1与AC不垂直，则AD1与A1C1也不垂直；
对于D，BB1⊥平面A1B1C1D1，则BB1⊥A1C1，又B1D1⊥A1C1，BB1∩B1D1＝B1，BB1，B1D1 平面BB1D1D，
所以A1C1⊥平面BB1D1D，因为A1C1 平面A1BC1，所以平面A1BC1⊥平面BB1D1D.故选AD.
6．(多选)如图，在四面体P-ABC中，AB＝AC，PB＝PC，D，E，F分别是棱AB，BC，CA的中点，则下列结论中一定正确的是(　　)
A．BC∥平面PDF
B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面PAE
D．平面PDF⊥平面ABC
解析：选ABC.因为D，F分别为AB，AC的中点，所以DF为△ABC的中位线，则BC∥DF，依据线面平行的判定定理，可知BC∥平面PDF，故A正确；
因为E为BC的中点，且PB＝PC，AB＝AC，所以BC⊥PE，BC⊥AE，依据线面垂直的判定定理，可知BC⊥平面PAE，因为BC∥DF，所以DF⊥平面PAE，故B正确；
因为DF 平面PDF，DF⊥平面PAE，所以平面PDF⊥平面PAE，故C正确；
假设平面PDF⊥平面ABC，则由平面PDF∩平面ABC＝DF，AE 平面ABC，AE⊥DF，得AE⊥平面PDF，设AE与DF交于点O，连接OP(图略)，则AE⊥PO，由条件知此垂直关系不一定成立，故D不正确．故选ABC.
7.如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在的平面互相垂直，则cos α∶cos β＝________．
解析：由题意，两个矩形的对角线长分别为5，2，所以cos α＝＝，cos β＝，
所以cos α∶cos β＝∶2.
答案：∶2
8．已知二面角α－l－β的平面角是120°，在平面α内，AB⊥l于B，AB＝2，在平面β内，CD⊥l于D，CD＝3，BD＝1，M是棱l上的一个动点，则AM＋CM的最小值是________．
解析：将二面角α－l－β平摊开来，如图所示，
当A，M，C在一条直线上时AM＋CM有最小值，
最小值为对角线AC，
因为AE＝2＋3＝5，CE＝BD＝1，
所以AC＝＝.
答案：
9．如图，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O为AB的中点，则图中直角三角形的个数为________．
解析：因为CA＝CB，O为AB的中点，
所以CO⊥AB.又平面ABC⊥平面ABD，且交线为AB，CO 平面ABC，所以CO⊥平面ABD.
因为OD 平面ABD，
所以CO⊥OD，所以△COD为直角三角形．
所以图中的直角三角形有△AOC，△COB，△ABC，△AOD，△BOD，△COD，共6个．
答案：6
10.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝3，沿对角线BD把△BCD折起，使点C移到点C′，且点C′在平面ABD上的投影O恰好落在AB上．
(1)求证：平面DBC′⊥平面ADC′；
(2)求二面角C′－AD－B的余弦值．
解：(1)证明：点C′在平面ABD上的投影O恰好落在AB上，
即BO为BC′在平面ABD上的投影，而BO⊥AD，所以BC′⊥AD，因为BC′⊥C′D，C′D∩AD＝D，C′D，AD 平面ADC′，
所以BC′⊥平面ADC′，
又BC′ 平面DBC′，
所以平面DBC′⊥平面ADC′.
(2)由(1)知BC′⊥平面ADC′，又AC′ 平面ADC′，所以BC′⊥AC′，在Rt△AC′B中，有AC′＝3，则有AC′2＋AD2＝C′D2，
所以C′A⊥AD，又AB⊥AD，C′A∩AB＝A，
所以二面角C′－AD－B的平面角是∠C′AB，
所以cos ∠C′AB＝＝，
所以二面角C′－AD－B的余弦值是.
11．如图所示，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，且BC1⊥AC，过C1作C1H⊥平面ABC，垂足为H，则点H在(　　)
A．直线AC上 B．直线AB上
C．直线BC上 D．△ABC内部
解析：选B.连接AC1，因为BC1⊥AC，BA⊥AC，且BC1∩BA＝B，BC1，BA 平面ABC1，所以AC⊥平面ABC1，又AC 平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABC1，因为平面ABC∩平面ABC1＝AB，要过C1作C1H⊥平面ABC，则只需过C1作C1H⊥AB即可，故点H在直线AB上．故选B.
12.(多选)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CD＝AB＝2，E为AB的中点，以DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点P的位置，且PC＝2，则(　　)
A．平面PED⊥平面EBCD
B．PC⊥ED
C．二面角P-DC-B的大小为
D．PC与平面PED的夹角的正切值为
解析：选AC.PD＝AD＝＝＝2，在△PDC中，PD2＋CD2＝PC2，所以PD⊥CD，易知CD⊥DE，又PD∩DE＝D，PD，DE 平面PED，所以CD⊥平面PED，又CD 平面EBCD，所以平面PED⊥平面EBCD，故A正确；若PC⊥ED，又ED⊥CD，可得ED⊥平面PDC，则ED⊥PD，而∠EDP＝∠EDA＝，显然矛盾，故B错误；
二面角P-DC-B的平面角为∠PDE，易知∠PDE＝∠ADE＝，故C正确；
由上面分析可知，∠CPD为直线PC与平面PED的夹角，在Rt△PCD中，tan ∠CPD＝＝，故D错误．故选AC.
13.如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是四边形D1DCC1内异于C，D的动点，平面AMD⊥平面BMC，则点M的轨迹的长度为________．
解析：因为DM 平面D1DCC1，BC⊥平面D1DCC1，故DM⊥BC，
又因为平面AMD⊥平面BMC，故要满足题意，只需DM⊥MC即可．
又点M在平面D1DCC1内，故点M的轨迹是平面D1DCC1内，以DC为直径的半圆(不包含D，C).又正方体棱长为2，故该半圆的半径为1，故其轨迹长度为＝π.
答案：π
14．图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2.
(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
(2)求图2中的四边形ACGD的面积．
解：(1)证明：由已知得AD∥BE，CG∥BE，
所以AD∥CG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．
由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，且BE∩BC＝B，BE，BC 平面BCGE，
故AB⊥平面BCGE.又因为AB 平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE.
(2)取CG的中点M，连接EM，DM.
因为AB∥DE，AB⊥平面BCGE，
所以DE⊥平面BCGE，
又CG，EM 平面BCGE，故DE⊥CG，DE⊥EM.
由已知，四边形BCGE是菱形，且∠EBC＝60°，得EM⊥CG，
又DE∩EM＝E，DE，EM 平面DEM，故CG⊥平面DEM.
又DM 平面DEM，因此DM⊥CG.
在Rt△DEM中，DE＝1，EM＝，故DM＝2.又CG＝BF＝2，
所以四边形ACGD的面积为S＝2×2＝4.
15．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)
解析：由题意得BD⊥AC，因为PA⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，所以PA⊥BD.又PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，所以BD⊥平面PAC，又PC 平面PAC，所以BD⊥PC.所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，有DM∩BD＝D(或BM∩BD＝B)，DM，BD 平面MBD(或BM，BD 平面MBD)，即有PC⊥平面MBD，而PC 平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.
答案：DM⊥PC(或BM⊥PC)
16.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，E为线段PB的中点，若F为线段BC上的动点(不含B).
(1)平面AEF与平面PBC是否垂直？若是，请证明；若不是，请说明理由；
(2)线段BC上是否存在点F，使二面角B-AE-F的平面角的大小为45°？
解：(1)垂直．证明如下：因为PA⊥底面ABCD，BC 平面ABCD，所以PA⊥BC，又因为底面ABCD为正方形，所以BC⊥AB，又PA∩AB＝A，PA，AB 平面PAB，所以BC⊥平面PAB.
因为AE 平面PAB，所以BC⊥AE.
因为PA＝AB，E为线段PB的中点，所以AE⊥PB，因为PB∩BC＝B，PB，BC 平面PBC，
所以AE⊥平面PBC.
因为AE 平面AEF，所以平面AEF⊥平面PBC.
(2)存在．由(1)可知，AE⊥平面PBC，所以二面角B-AE-F的平面角为∠BEF.
若∠BEF＝45°，由(1)可知BC⊥平面PAB，又BE 平面PAB，所以BC⊥BE，
则BF＝BE＝AB＝BC故线段BC上存在点F，使二面角B-AE-F的平面角的大小为45°.