5．2　平面与平面垂直（教师版）

5．2　平面与平面垂直
1.理解二面角及其平面角的概念，能判断图形中的已知角是否为二面角的平面角．　2.掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角．　3.掌握平面与平面垂直的性质定理、判定定理，能运用性质定理解决一些简单问题．
如图，在日常生活中，我们常说“把门开大一些”．在门开大的过程中，会给人两个平面“夹角”变大的感觉．
思考　把门开大一些“夹角”变大，是指哪个角变大？
提示：是门和门框所在墙的夹角，可以用题图中的∠AOB进行刻画．
1．半平面的定义
一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都称为__________．
2．二面角
(1)定义：从一条直线出发的两个__________所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的__________，这两个半平面称为二面角的面．
(2)图形和记法
记作：二面角α-AB-β或____________．
3．二面角的平面角
(1)定义：以二面角的棱上____________为端点，在两个半平面内分别作________于棱的两条射线，这两条射线的________称为二面角的平面角．
(2)图形、符号及范围
①图形：
②符号： ∠AOB是二面角α-l-β的平面角．
③范围：0°≤∠AOB≤180°.
(3)规定：二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是________的二面角称为直二面角．
[答案自填] 半平面　半平面　棱　α-l-β　任一点　垂直　夹角　直角
　(对接教材例9)如图，三棱锥P-ABC中，已知PA⊥平面ABC，PA＝3，PB＝PC＝BC＝6.求二面角P-BC-A的正弦值．
【解】　取BC的中点D，连接PD，AD.
因为PB＝PC，所以PD⊥BC.
因为PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以PA⊥BC，因为PA∩PD＝P，PA，PD 平面PAD，所以BC⊥平面PAD，因为AD 平面PAD，所以BC⊥AD.
所以∠PDA即为二面角P-BC-A的平面角．
因为PB＝PC＝BC＝6，
所以PD＝×6＝3.
因为PA⊥平面ABC，AD 平面ABC，所以PA⊥AD，所以sin ∠PDA＝＝＝，
即二面角P-BC-A的正弦值是.
解决二面角问题的策略
(1)清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点．
(2)求二面角的大小的步骤：
一作：即先作出二面角的平面角；
二证：即证明所作角是二面角的平面角；
三求：即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函数值，其中关键是“作”．
　
[跟踪训练1] 已知四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.
(1)求二面角B-PA-D的平面角的度数；
(2)求二面角B-PA-C的平面角的度数；
(3)求二面角B-PC-D的平面角的度数．
解：(1)因为PA⊥平面ABCD，AB，AD 平面ABCD，
所以AB⊥PA，AD⊥PA.
所以∠BAD为二面角B-PA-D的平面角．
又由题意知∠BAD＝90°，
所以二面角B-PA-D的平面角的度数为90°.
(2)因为PA⊥平面ABCD，AB，AC 平面ABCD，
所以AB⊥PA，AC⊥PA.
所以∠BAC为二面角B-PA-C的平面角．
又四边形ABCD为正方形，
所以∠BAC＝45°，
即二面角B-PA-C的平面角的度数为45°.
(3)作BE⊥PC于点E，连接BD，DE，如图．
由题设易得△PBC≌△PDC，则∠BPE＝∠DPE，
从而△PBE≌△PDE.
所以∠DEP＝∠BEP＝90°，且BE＝DE.
所以∠BED为二面角B-PC-D的平面角．
因为PA⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，
所以PA⊥BC.
又AB⊥BC，PA∩AB＝A，PA，AB 平面PAB，
所以BC⊥平面PAB，
又PB 平面PAB，所以BC⊥PB.
设AB＝a，则BE＝＝a，DE＝BE＝a，
BD＝a.所以在△BED中，cos ∠BED＝＝－，所以∠BED＝120°.
所以二面角B-PC-D的平面角的度数为120°.
1．平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果所成的二面角是________________，就说这两个平面互相垂直．平面α与β垂直，记作____________．
2．平面与平面垂直的性质定理
文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的________，那么这条直线与另一个平面垂直
符号语言 a⊥β
图形语言
作用 ①面面垂直 线面垂直②作面的垂线
[答案自填] 直二面角　α⊥β　交线　a α　a⊥l
　如图所示，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，BD与AC交于点G，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1，求证：CF⊥平面BDE.
【证明】　如图所示，连接EG，FG.
由AB＝易知CG＝1，则EF＝CG＝CE.
又 EF∥CG，所以四边形CEFG为菱形，所以CF⊥EG.
因为四边形ABCD为正方形，
所以BD⊥AC.
又平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，BD 平面ABCD，
所以BD⊥平面ACEF，
又CF 平面ACEF，所以BD⊥CF.
又BD∩EG＝G，BD，EG 平面BDE，所以CF⊥平面BDE.
在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，则一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样就把面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直．
　
[跟踪训练2] 如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.
求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)AD⊥AC.
证明：(1)在平面ABD内，AB⊥AD，EF⊥AD，则AB∥EF.
因为AB 平面ABC，EF 平面ABC，
所以EF∥平面ABC.
(2)因为BC⊥BD，平面ABD∩平面BCD＝BD，平面ABD⊥平面BCD，BC 平面BCD，
所以BC⊥平面ABD.
因为AD 平面ABD，所以BC⊥AD.
因为AB⊥AD，BC，AB 平面ABC，BC∩AB＝B，
所以AD⊥平面ABC，
又AC 平面ABC，所以AD⊥AC.
文字语言 图形语言 符号语言
如果一个平面过另一个平面的_____________，那么这两个平面垂直 α⊥β
[答案自填] 垂线
　(对接教材例8)已知AB⊥平面BCE，CD∥AB，△BCE是正三角形，且AB＝BC＝2CD.求证：平面ADE⊥平面ABE.
【证明】　取BE，AE的中点分别为M，N，连接MN，MC，ND，如图所示．
因为AB⊥平面BCE，CM 平面BCE，故CM⊥AB.因为△BCE为正三角形，故CM⊥BE.
又AB，BE 平面ABE，AB∩BE＝B，故CM⊥平面ABE.
在△ABE中，M，N分别为BE，AE的中点，故MN为△ABE的中位线，故MN＝AB，MN∥AB.
因为AB∥CD，且CD＝AB，
故MN＝CD，MN∥CD，则四边形MNDC为平行四边形，则DN∥CM，故DN⊥平面ABE，又DN 平面ADE，故平面ADE⊥平面ABE.
证明面面垂直常用的方法
(1)定义法：即证明两个半平面所成的二面角是直二面角．
(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”．
(3)性质法：两个平行平面中的一个平面垂直于第三个平面，则另一个平面也垂直于此平面．
　
[跟踪训练3] 如图，矩形ABCD
所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点．求证：平面AMD⊥平面BMC.
证明：由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.因为BC⊥CD，BC 平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，又DM 平面CMD，故BC⊥DM.因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM.又BC∩CM＝C，BC，CM 平面BMC，所以DM⊥平面BMC.
而DM 平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC.
　如图所示，正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB＝2AD＝2，A1D∩AD1＝O，E为线段AB上一点．
(1)当OE∥平面D1BC，求证：E为AB的中点；
(2)在线段AB上是否存在一点E，使得平面D1DE⊥平面AD1C？若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由．
【解】　(1)证明：由题意可得O为AD1的中点，
又因为OE∥平面D1BC，平面ABD1∩平面D1BC＝BD1，OE 平面ABD1，
所以OE∥BD1，又因为O为AD1的中点，
所以E为AB的中点．
(2)存在，当AE＝时，平面D1DE⊥平面AD1C.理由如下：
如图，设AC∩DE＝F.因为四边形AA1D1D为正方形，所以D1D⊥AD，
又因为平面AA1D1D∩平面ABCD＝AD，平面AA1D1D⊥平面ABCD，D1D 平面AA1D1D，
所以D1D⊥平面ABCD，又因为AC 平面ABCD，
所以D1D⊥AC.
在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝BC＝1，
当AE＝时，在Rt△ADE中，tan ∠ADE＝＝，
在Rt△ABC中，tan ∠BAC＝＝，所以∠ADE＝∠BAC，
又因为∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝90°，
所以∠ADE＋∠DAC＝90°，则∠AFD＝90°，所以AC⊥DE.
又因为DE∩D1D＝D，DE，D1D 平面D1DE，
所以AC⊥平面D1DE，又因为AC 平面AD1C，
所以平面D1DE⊥平面AD1C.
在解决垂直问题的过程中，要注意平面与平面垂直的判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意面面垂直和线面垂直的互相转化；当垂直关系较多时，要仔细辨别，垂直关系转化时要严格对照定理条件加以验证；判断线面、面面的垂直关系时，必须给出严格的推理过程，不能仅凭图形直观做出判断．
　
[跟踪训练4] 如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．
求证：(1)PA⊥底面ABCD；
(2)平面BEF⊥平面PCD.
证明：(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且平面PAD∩底面ABCD＝AD，PA 平面PAD，PA⊥AD，所以PA⊥底面ABCD.
(2)由题意知，AB∥DE，AB＝DE，AB⊥AD，所以四边形ABED为矩形，
所以BE⊥CD，AD⊥CD.
由(1)知PA⊥底面ABCD，又CD 底面ABCD，
所以PA⊥CD.又AD∩PA＝A，AD，PA 平面PAD，所以CD⊥平面PAD.
又PD 平面PAD，所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，
所以PD∥EF，所以CD⊥EF.
又EF∩BE＝E，EF，BE 平面BEF，
所以CD⊥平面BEF.
又CD 平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.
1．已知直线m，n，平面α，β，满足α∩β＝n且α⊥β，则“m⊥β”是“m⊥n”的(　　)
A．充分不必要条件　
B．必要不充分条件
C.充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A.因为α∩β＝n，所以n β，又因为m⊥β，所以m⊥n，即“m⊥β”是“m⊥n”的充分条件．
如图，在长方体中，设平面ABCD为平面α，平面BCEF为平面β，则m⊥n，且m与β不垂直，即“m⊥β”不是“m⊥n”的必要条件．
所以“m⊥β”是“m⊥n”的充分不必要条件．
故选A.
2．(多选)(教材P245T1改编)已知α，β是两个不同的平面，l是一条直线，则下列命题中正确的是(　　)
A．若α∥β，l∥β，则l∥α
B．若l⊥α，l⊥β，则α∥β
C．若l⊥α，l∥β，则α⊥β
D．若α⊥β，l∥β，则l⊥α
解析：选BC.对于A，若α∥β，l∥β，则l∥α或l α，故A不正确；对于B，若l⊥α，l⊥β，则α∥β，故B正确；对于C，若l⊥α，l∥β，过l作平面γ与β相交，设交线为m，如图，因为l∥β，l γ，β∩γ＝m，则l∥m，
因为l⊥α，则m⊥α，因为m β，故α⊥β，故C正确；对于D，若α⊥β，l∥β，则l与α不一定垂直，故D不正确．故选BC.
3．如图，在三棱锥P-ABC中，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝________．
解析：因为侧面PAC⊥底面ABC，交线为AC，∠PAC＝90°，即PA⊥AC，
又PA 平面PAC，
所以PA⊥平面ABC，又AB 平面ABC，
所以PA⊥AB，所以PB＝＝＝.
答案：
4．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝BC，AB＝2AA1，若D为AB的中点，则二面角A1-CD-C1的平面角的度数是________．
解析：如图所示，设D1为A1B1的中点，连接DD1，则DD1∥AA1∥CC1，故DD1 平面DC1C.
由AC＝BC，D为AB的中点，得CD⊥AB.
又CD⊥AA1，且AB∩AA1＝A，AB，AA1 平面A1ABB1，故CD⊥平面A1ABB1，
又A1D，DD1 平面A1ABB1，故CD⊥A1D，CD⊥DD1，所以∠A1DD1为二面角A1-CD-C1的平面角.
因为AB＝2AA1，所以∠A1DD1＝45°.
所以二面角A1-CD-C1的平面角的度数是45°.
答案：45°
1．已学习：二面角以及二面角的平面角、平面与平面垂直的性质定理、平面与平面垂直的判定定理．
2．须贯通：若所给题目的条件中有面面垂直的条件，则一般要注意观察是否有垂直于两平面交线的垂线．若有，则利用性质定理转化为线面垂直、线线垂直；若没有，则一般也要利用性质定理作交线的垂线，转化为线面、线线垂直．
3．应注意：面面垂直性质定理中在其中一个面内作交线的垂线，与另一个平面垂直．