6．1　柱、锥、台的侧面展开与面积（教师版）

§6　简单几何体的再认识
6．1　柱、锥、台的侧面展开与面积
1.了解柱体、锥体、台体的侧面展开图．　2.掌握柱体、锥体、台体的侧面积的求法．
3．掌握简单多面体与组合体的侧面积与表面积的求法．
金刚石是碳的结晶体，是目前自然界中天然存在的最硬物质，其形状除了具有规则的正八面体几何外形，还有六面体、十二面体等外形的晶体．金刚石经过切割、打磨等工序就能加工成五光十色，璀璨夺目的钻石．如图就是一块正八面体的钻石．
思考　如果已知该钻石的棱长，你能求出它的表面积吗？
提示：设正八面体的棱长为a，则它的表面积S＝8×a2＝2a2.
1．侧面积
把柱、锥、台的侧面沿着它们的____________剪开后展开在一个平面上，______________的面积就是它们的侧面积．
2．柱、锥、台的侧面展开图与侧面积公式
简单几何体 侧面展开图 侧面积公式
圆柱 S圆柱侧＝________，其中r为圆柱底面半径，l为母线的长
圆锥 S圆锥侧＝________，其中r为圆锥底面半径，l为母线的长
圆台 S圆台侧＝__________，其中r1，r2分别为圆台上、下底面半径，l为母线的长
直棱柱 S直棱柱侧＝________，其中c为棱柱的底面周长，h为棱柱的高
正棱锥 S正棱锥侧＝________，其中c为棱锥的底面周长，h′为棱锥的斜高，即侧面等腰三角形的高
正棱台 S正棱台侧＝________________，其中c1，c2分别为棱台的上、下底面周长，h′为棱台的斜高，即侧面等腰梯形的高
[答案自填] 一条侧棱或母线　展开图　2πrl
πrl　π(r1＋r2)l　ch　ch′　(c1＋c2)h′
【即时练】
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的面积就是它们的表面积．(　　)
(2)圆锥、圆台的侧面展开图中的所有弧长都与相应底面的周长有关．(　　)
(3)三棱柱的侧面积也可以用cl来求解，其中l为侧棱长，c为底面周长．(　　)
(4)几何体的平面展开方法可能不同，但其表面积唯一确定．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2．如果圆锥的底面半径为，高为2，那么它的侧面积是(　　)
A．4π B．2π
C．2π D．4π
解析：选C.设圆锥的母线长为l，其中底面半径为r＝，高为2，
由勾股定理得l＝＝，故侧面积为πrl＝×π＝2π.故选C.
3．已知长方体的表面积是24，它过同一个顶点的三条棱长之和为6，则它的体对角线长是_______________________________________．
解析：设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则可得a2＋b2＋c2＝12，
所以长方体的体对角线长为＝2.
答案：2
(1)表面积：一个几何体的表面积是指几何体所有面的面积的和，也可以理解成几何体的侧面积与其底面积的面积之和，也称为全面积．
(2)圆柱、圆锥、圆台侧面积公式间的关系
S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π(r＋r′)lS圆锥侧＝πrl.
　(对接教材例2)如图，△ABC为等腰三角形，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，将△ABC绕直线BC旋转一周，求所成几何体的表面积．
【解】　过点A向BC作垂线，垂足为D，如图．
由题意可得在Rt△ABD中，AB＝2，∠ABD＝60°，
则AD＝.
在Rt△ACD中，∠ACB＝30°，
所以AC＝2AD＝2.
△ABC绕直线BC旋转一周后，以AC为母线长的圆锥的侧面积为S1＝πAD·AC＝π××2＝6π，
以AB为母线长的圆锥的侧面积为
S2＝πAD·AB＝π××2＝2π，
所以所成几何体的表面积为S＝S1＋S2＝(6＋2)π.
【变式探究】
(条件变式)若将△ABC绕直线AC旋转一周，其他条件不变，求所成几何体的表面积．
解：由题意知，旋转后得到的几何体是由大小完全相同的两个圆锥组成的组合体，过点B向AC作垂线，交AC于点H，如图．由题意可得，在Rt△ABH中，BH＝AB＝1，故所求几何体的表面积为S＝2πBH·AB＝2π×1×2＝4π.
(1)旋转体侧面积的计算一般通过轴截面寻找其中的数量关系．
(2)解决台体的问题通常要还台为锥，求面积时要注意侧面展开图的应用，上、下底面圆的周长是展开图的弧长．
　
[跟踪训练1] (1)已知圆台的上、下底面半径和高的长度之比为1∶4∶4，侧面积为100π，则圆台的母线长是(　　)
A．20 B．2
C．10 D．10
解析：选D.由题意，设圆台的上、下底面半径和高分别为r1＝k，r2＝4k，h＝4k(k＞0)，母线长为l，
所以l2＝(r2－r1)2＋h2＝25k2，得l＝5k，因为S侧＝πl(r1＋r2)＝π·5k·(k＋4k)＝100π，
所以k2＝4，k＝2，所以l＝10.故选D.
(2)已知一个圆柱和一个圆锥同底等高，且圆锥的轴截面是一个正三角形，则圆柱的侧面积与圆锥的侧面积之比为__________．
解析：设圆锥的底面半径为r，则圆锥的母线长为2r，高为＝r，所以圆柱的侧面积为S1＝2πr·r＝2πr2.圆锥的侧面积为S2＝πr·2r＝2πr2，所以圆柱的侧面积与圆锥的侧面积之比为S1∶S2＝∶1.
答案：∶1
　(对接教材例3)已知正四棱台(上、下底面是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求正四棱台的侧面积．
【解】　方法一：如图，E，E1分别是BC，B1C1的中点，O，O1分别是下、上底面正方形的中心，
连接OE，O1E1，O1O，E1E，则O1O为正四棱台的高，O1O＝12.
OE＝AB＝6，O1E1＝A1B1＝3.
过E1作E1H⊥OE，垂足为H，
则E1H＝O1O＝12，OH＝O1E1＝3，HE＝OE－OH＝6－3＝3.
在Rt△E1HE中，E1E2＝E1H2＋HE2＝122＋32＝153，所以E1E＝3.
所以S侧＝4××(B1C1＋BC)×E1E＝2×(6＋12)×3＝108.
方法二：如图，正四棱台的侧棱延长交于一点P.取B1C1，BC的中点E1，E，
则EE1的延长线必过P点．O1，O分别是正方形A1B1C1D1与正方形ABCD的中心．由正棱锥的定义，OO1的延长线过P点，且有O1E1＝A1B1＝3，OE＝AB＝6，
则有＝＝，即＝，所以PO1＝O1O＝12.
在Rt△PO1E1中，PE＝PO＋O1E＝122＋32＝153，所以PE1＝3，
在Rt△POE中，PE2＝PO2＋OE2＝242＋62＝612，所以PE＝6，
所以E1E＝PE－PE1＝6－3＝3.
所以S侧＝4××(BC＋B1C1)×E1E＝2×(12＋6)×3＝108.
求简单多面体的侧面积与表面积的方法
(1)对于直棱柱、正棱锥、正棱台，求其侧面积与表面积的关键是求出它们的基本量，如底面边长、高、斜高等，然后套用公式计算；
(2)对于一般的棱柱、棱锥、棱台，求其侧面积时，一般是将其每一个侧面的面积分别求出来，然后相加；
(3)注意合理运用多面体的特征几何图形，如棱柱中的矩形、棱台中的直角梯形、棱锥中的直角三角形等，它们是联系高与斜高、侧棱、底面边长的桥梁，也是侧面积公式中未知量与条件中已知几何元素间的桥梁．
　
[跟踪训练2] 已知正四棱台两底面边长分别为a和b(a(1)若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线的夹角为45°，求棱台的侧面积；
(2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高．
解：(1)如图所示，设O1，O分别为上、下底面的中心，连接AC，A1C1，O1O，过C1作C1E⊥AC于E，过E作EF⊥BC于F，连接C1F，则C1F为正四棱台的斜高．
所以CE＝CO－EO＝CO－C1O1＝(b－a)，EF＝CE·sin 45°＝(b－a).由题意知，∠CC1E＝45°，
在Rt△C1CE中，C1E＝CE＝(b－a)，
所以C1F＝＝
＝(b－a).
所以正四棱台的侧面积为S侧＝(4a＋4b)·(b－a)＝(b2－a2).
(2)设正四棱台的斜高为h斜，两底面面积之和为S底＝a2＋b2，
所以S侧＝4·(a＋b)·h斜＝a2＋b2，
所以h斜＝.又EF＝，所以正四棱台的高为h＝ eq \r(h－EF2) ＝.
　已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内，过点C作l⊥CB，以l为轴将梯形ABCD旋转一周，求所得旋转体的表面积．
【解】　如图所示，所得几何体为一个圆柱内挖去一个圆锥．
在直角梯形ABCD中，AD＝a，BC＝2a，AB＝(2a－a)·tan 60°＝a，DC＝＝2a.
又＝＝a，所以S表＝S圆环＋S圆柱侧＋S圆C＋S圆锥侧＝[π·(2a)2－πa2]＋2π·2a·a＋π·(2a)2＋π·a·2a＝(9＋4)πa2.
组合体表面积的求解策略
(1)对于由基本几何体拼接成的组合体，要注意拼接面重合对组合体表面积的影响．
(2)对于从基本几何体中切掉或挖掉的部分构成的组合体，要注意新产生的截面和原几何体表面的变化．
　
[跟踪训练3] (1)已知圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱底面半径也相等．则圆柱的表面积和圆锥的表面积之比为____________．
解析：轴截面如图所示，设圆柱和圆锥的底面半径分别为r，R，则有＝，
所以R＝2r，圆锥的母线长l＝R，
所以＝＝＝＝＝－1.
答案：－1
(2)如图是一种机器零件，零件下面是正六棱柱(底面是正六边形，侧面是全等的矩形)，上面是圆柱(尺寸如图，单位：mm).电镀这种零件需要用锌，已知每平方米用锌0.11 kg，问电镀10 000个零件需要用锌多少？(结果精确到 0.01 kg．参考数据：π≈3.14，≈1.732)
解：因为圆柱的侧面积S1＝2π×3×25＝150π≈471(mm2)，棱柱的表面积S2＝12×5×6＋2×6××12×12×≈1 108.224(mm2)，
所以该机器零件的表面积S＝S1＋S2＝1 579.224(mm2).
则10 000个零件的表面积为15 792 240 mm2＝15.792 24 m2，
所以需要用锌的质量为15.792 24×0.11≈1.74(kg).
故电镀10 000个零件需要用锌1.74 kg.
1．已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为4的矩形，则该圆柱的侧面积为(　　)
A．12π B．8π
C．6π D．4π
解析：选D.设圆柱的底面半径为r，则高为，所以圆柱的侧面积为2πr·＝4π.故选D.
2．已知正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为30°，则该正四棱锥的侧面积为(　　)
A．32 B．48
C．64 D．
解析：选A.如图所示，在正四棱锥P-ABCD中，连接AC，BD交于点O，连接PO，取BC的中点E，连接PE，OE，易知PO为正四棱锥P-ABCD的高，PE为斜高，则OE＝PE，因为OE＝AB＝2，所以PE＝4，则S侧＝4××4×4＝32.故选A.
3．若圆台的高是12，母线长为13，两底面半径之比为8∶3，则该圆台的表面积为________．
解析：设圆台上底面与下底面的半径分别为r，R，
由勾股定理可得R－r＝＝5.
因为r∶R＝3∶8，所以r＝3，R＝8.
S侧＝π(r＋R)l＝π×(3＋8)×13＝143π，
则表面积为143π＋π×32＋π×82＝216π.
答案：216π
4．(教材P253T1改编)若正四棱柱的底面积为4 cm2，其体对角线和底面成45°角，则此正四棱柱的表面积是________cm2.
解析：如图，正四棱柱的底面是正方形，面积是4 cm2，
则AB＝AD＝2 cm，BD＝2 cm，因为正四棱柱的体对角线和底面成45°角，D1D⊥底面ABCD，所以∠DBD1＝45°，所以DD1＝DB＝2 cm，
所以正四棱柱的表面积为22×2＋2×2×4＝8＋16(cm2).
答案：8＋16
1．已学习：柱体、锥体、台体的侧面积公式，旋转体的侧面积和表面积．
2．须贯通：简单多面体的侧面积与表面积，组合体的侧面积与表面积．
3．应注意：(1)对于组合体的表面积易重复计算拼接面；
(2)在计算正棱台与正棱锥的侧面积时，注意区分高与斜高．