6．2　课后达标 检测（教师版）

1．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点S为棱A1B1上一动点，四棱锥S－ABCD的体积占正方体体积的(　　)
A． B．
C． D．不确定
解析：选A.令正方体棱长为a，则V正方体＝a3，V四棱锥S-ABCD＝×a2×a＝a3，所以V四棱锥S-ABCD＝V正方体．故选A.
2．一个长方体的三个面的面积分别为，，，则这个长方体的体积为(　　)
A．6 B．
C．3 D．2
解析：选B.设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，则xy＝，yz＝，xz＝，所以(xyz)2＝6.所以V长方体＝xyz＝.故选B.
3.某款厨房用具中的香料收纳罐的大致形状如图所示，该几何体为上、下底面周长分别为32 cm，24 cm 的正四棱台，若棱台的高为3 cm，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为(　　)
A． cm3 B．74 cm3
C．148 cm3 D．298 cm3
解析：选C.由题意可知，该正四棱台的上、下底面边长分别为8 cm，6cm，故该香料收纳罐的容积为×3×(82＋62＋8×6)＝148(cm3).故选C.
4．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且＝，则的值是(　　)
A． B．
C． D．2
解析：选C.设甲、乙两个圆柱的底面半径分别为R，r，高分别为H，h.因为＝，所以＝，因为它们的侧面积相等，所以＝1，所以＝，所以＝＝×＝.故选C.
5.(多选)如图所示的圆锥的底面半径为3，高为4，AC为底面圆的一条直径，B为底面圆周上异于A，C的一点，则(　　)
A．该圆锥的母线长为5
B．该圆锥的体积为12π
C．该圆锥的表面积为15π
D．三棱锥S-ABC体积的最大值为12
解析：选ABD.该圆锥的母线长为＝5，A正确；
该圆锥的体积为×π×32×4＝12π，B正确；该圆锥的表面积为π×3×(3＋5)＝24π，C错误；当OB⊥AC时，△ABC的面积最大，此时S△ABC＝×6×3＝9，三棱锥S-ABC体积的最大值为×9×4＝12，D正确．故选ABD.
6．(多选)如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面 ABCD，FB∥ED，AB＝ED＝2FB，记三棱锥E-ABC，F－ABC，E-ACF的体积分别为V1，V2，V3，则(　　)
A．V3＝2V2 B．V3＝2V1
C．V3＝V1＋V2 D．2V3＝3V1
解析：选CD.设AB＝ED＝2FB＝2，则V1＝×2×2＝，V2＝×2×1＝，如图所示，连接BD交AC于点M，连接EM，FM，
则FM＝，EM＝，EF＝3，所以FM2＋EM2＝EF2，则EM⊥FM，故S△EMF＝××＝，因为ED⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，所以ED⊥AC，又因为AC⊥BD，ED∩BD＝D，ED，BD 平面EDBF，所以AC⊥平面EDBF，即AC⊥平面EMF.所以V3＝S△EMF·AC＝××2＝2，所以V3＝V1＋V2，2V3＝3V1，故选CD.
7．已知某一个圆锥的侧面积为20π，底面积为16π，则这个圆锥的体积为________．
解析：设圆锥的底面半径为r，则πr2＝16π，解得r＝4，设圆锥的母线长为l，则4πl＝20π，解得l＝5，由勾股定理得圆锥的高h＝＝＝3，故圆锥的体积为V＝×16π×3＝16π.
答案：16π
8．如图，圆锥形容器的高为2，圆锥内水面的高为1.若将圆锥形容器倒置，水面高为h，则h＝__________________________________________．
解析：设圆锥形容器的底面积为S，则未倒置前液面的面积为S，所以水的体积V＝×2S－×S×(2－1)＝S，设倒置后液面的面积为S′，则＝，所以S′＝，所以水的体积为V＝S′h＝，所以＝S，解得h＝.
答案：
9．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，除平面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥M-EFGH的体积为________．
解析：连接AD1，CD1，B1A，B1C，AC(图略)，因为E，H分别为AD1，CD1的中点，所以EH∥AC，EH＝AC.因为F，G分别为B1A，B1C的中点，所以FG∥AC，FG＝AC，所以EH∥FG，EH＝FG，所以四边形EFGH为平行四边形，又EG＝HF，EF＝FG，所以四边形EFGH为正方形．又四棱锥M-EFGH的高为，所以四棱锥M-EFGH的体积为××＝.
答案：
10．用一块矩形铁皮作圆台形铁桶的侧面，要求铁桶的上底半径是24 cm，下底半径为16 cm，母线长为48 cm.
求：(1)矩形铁皮长边的最小值；
(2)该铁桶的容积．
解：(1)如图，设OA＝x cm，由相似三角形可得＝，解得x＝96.
又＝，
所以∠AOA′＝×360°＝60°，
所以△BOB′为正三角形，
那么BB′＝OB＝144 cm，
即矩形铁皮长边的最小值为144 cm.
(2)由图可知O1O2＝＝
8(cm).
那么该铁桶的容积为V＝(242π＋162π＋)×8＝π(cm3).
11．已知正三棱柱ABC-A1B1C1与以△ABC的外接圆为底面的圆柱的体积相等，则正三棱柱的侧面积与圆柱的侧面积的比值为(　　)
A． B．
C．1 D．2
解析：选D.设△ABC的边长为a，外接圆半径为r，AA1＝b，由正弦定理得＝2r，则r＝a，V三棱柱ABC-A1B1C1＝·a·a··b＝a2b.设圆柱的高为h，V圆柱＝a2πh＝a2b，所以b＝h.正三棱柱的侧面积S1＝3ab＝3a·h，圆柱的侧面积S2＝2πrh＝2π·ah，则正三棱柱的侧面积与圆柱的侧面积的比值为＝2.故选D.
12．(多选)已知正三棱锥底面边长为3，侧棱长为2，则下列叙述正确的是(　　)
A．正三棱锥高为3
B．正三棱锥的斜高为
C．正三棱锥的体积为
D．正三棱锥侧面积为
解析：选AB.取△ABC的中心为O，连接PO，
由题意得，PO⊥平面ABC，又△ABC为等边三角形，则AO＝×＝，所以正三棱锥高为PO＝＝＝3，A正确；S△ABC＝×3×3×sin 60°＝，所以正三棱锥的体积为V正三棱锥P-ABC＝S△ABC·PO＝，C错误；作PD⊥AB交AB于点D，又PA＝PB＝2，AD＝AB＝，则正三棱锥的斜高为PD＝＝，B正确；正三棱锥的侧面积为3S△PAB＝3××PD×AB＝3×××3＝，D错误．故选AB.
13.在传统木匠中，木楔子是一种常见的工具，它使得榫卯配合的牢固程度最大化，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛、木片等．如图为一个木楔子的直观图，其底面ABCD是一个矩形，其中AB＝4，BC＝3，EF＝2，EA＝ED＝FB＝FC＝，EF∥AB，则该木楔子的体积为________．
解析：如图，分别过点E，F作AB，CD的垂线，垂足分别为G，H，M，N，连接GM，HN，则AG＝DM＝NC＝HB＝1，EG＝EM＝FH＝FN＝＝3，取GM的中点O，连接EO，因为EG＝EM，所以EO⊥GM，则EO＝＝，所以V四棱锥E-AGMD＝V四棱锥F-HBCN＝×1×3×＝，V三棱柱GME-HNF＝×3××2＝，所以该木楔子的体积V＝V四棱锥E-AGMD＋V四棱锥F-HBCN＋V三棱柱GME-HNF＝.
答案：
14.如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD是等边三角形，底面ABCD是边长为2的菱形，平面PAD⊥平面ABCD，O是AD的中点，∠DAB＝.
(1)求证：OB⊥平面PAD；
(2)求点O到平面PAB的距离．
解：(1)证明：连接BD，因为底面ABCD是菱形，∠DAB＝，所以△ABD为等边三角形，又O是AD的中点，所以OB⊥AD，因为平面 PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面 ABCD＝AD，OB 平面ABCD，所以OB⊥平面PAD.
(2)设点O到平面PAB的距离为h，易知OP＝OB＝，
在△PAB中，PA＝AB＝2，PB＝，所以S△PAB＝×× ＝，
由V三棱锥O-PAB＝V三棱锥B-AOP，得×h＝×××1×，解得h＝，
即点O到平面PAB的距离为.
15．如图，PA是圆柱OO1的一条母线，AB是底面圆的一条直径，C是底面圆周上一点，三棱锥P-ABC的体积与圆柱OO1的体积之比为1∶3π，则tan ∠CAB＝_________________________________________________.
解析：设圆柱的底面半径为r，高为h，∠CAB＝θ，由题意知∠ACB＝90°，
可得S△ABC＝AB·AC·sin ∠CAB＝·2r·2r cos θ·sin θ＝r2sin 2θ，
V三棱锥P-ABC＝·S△ABC·h＝r2sin 2θ·h，V圆柱＝πr2h，
因为＝，
所以＝，所以sin 2θ＝1，
又0°<θ<90°，所以θ＝45°，
所以tan θ＝1，即tan ∠CAB＝1.
答案：1
16．如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，AD＝CD＝AB，将△ACD沿AC折起(如图2).在图2所示的几何体D-ABC中：
(1)若平面ACD⊥平面ABC，求证：AD⊥BC；
(2)设P为BD的中点，记P到平面ACD的距离为h1，P到平面ABC的距离为h2，求证：为定值，并求出此定值．
解：(1)证明：设AD＝CD＝AB＝a，在△ADC中，AC＝＝a，
在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝2a，
由余弦定理得
BC＝
＝ ＝a，
所以AC2＋BC2＝AB2，
所以AC⊥BC.
因为平面ACD⊥平面ABC，平面ACD∩平面ABC＝AC，BC 平面ABC，
所以BC⊥平面ACD，又AD 平面ACD，
所以AD⊥BC.
(2)由题意V三棱锥P-ACD＝h1S△ACD，V三棱锥P-ABC＝h2S△ABC，
因为P为BD的中点，V三棱锥P-ACD＝V三棱锥A-PCD＝V三棱锥A-PBC＝V三棱锥P-ABC，
所以h1S△ACD＝h2S△ABC，
即＝＝＝＝2.
故为定值，定值为2.