6．2　柱、锥、台的体积（教师版）

6．2　柱、锥、台的体积
1.掌握柱体、锥体、台体的体积计算公式．　2.会利用柱体、锥体、台体的体积公式求有关几何体的体积．
思考1　长方体、正方体、圆柱的体积公式如何表示？根据这些体积公式，推测柱体的体积计算公式．
提示：V长方体＝abc(a，b，c分别为长方体的长、宽、高)，V正方体＝a3(a为正方体的棱长)，V圆柱＝πr2h(r为圆柱的底面半径，h为圆柱的高)，根据这些体积公式可知，设柱体的底面面积为S，高为h，则柱体的体积计算公式为V柱体＝Sh.
思考2　取一些书堆放在桌面上(如图所示)，并改变它们的放置方法，观察改变前后的体积的变化？
提示：没有变化．因为改变前后书堆的底面积和高没有变化．
几何体 公式 说明
柱体 V柱体＝__________ S为柱体的底面积，h为柱体的高
锥体 V锥体＝__________ S为锥体的底面积，h为锥体的高
台体 V台体＝________________ S上，S下分别为台体的上、下底面积，h为台体的高
[答案自填] Sh　Sh　(S上＋S下＋)h
角度1　柱体的体积
　(1)(多选)已知圆柱的侧面展开图是长12 cm，宽8 cm的矩形，则这个圆柱的体积可能是(　　)
A． cm3 B． cm3
C．288π cm3 D．192π cm3
(2)已知一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面积相等，则这个正方体和圆柱的体积之比为(　　)
A．4∶π B．π∶4
C．π∶2 D．2∶π
【解析】　(1)当圆柱的高为8 cm时，V＝π××8＝(cm3)；当圆柱的高为12 cm 时，V＝π××12＝(cm3).故选AB.
(2)设正方体的棱长为a，则圆柱的高为a，设圆柱的底面半径为R，则正方体的侧面积为4a2，圆柱的侧面积为2πRa，所以4a2＝2πRa，所以R＝，
所以正方体和圆柱的体积之比为a3∶(πR2·a)＝a3∶＝π∶4.故选B.
【答案】　(1)AB　(2)B
求解柱体体积问题的关键是能够应用棱柱或圆柱的定义确定底面和高．棱柱的高是两个平行底面间的距离，其中一个平面上的任一点到另一个平面的距离都相等，都是高；圆柱的高是其母线长．具体问题中要能准确应用“底面”“高”的定义去求解相关量．
　
[跟踪训练1] 一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1＝12，当底面ABC水平放置时，水面的高为9.如图，若平面AA1B1B水平放置时，水面与棱AC交于点D，确定点D在棱AC上的位置，并说明理由．
解：设直三棱柱形容器中所盛水的体积为V水，三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V棱柱．
当底面ABC水平放置时，有＝＝，
当平面AA1B1B水平放置时，设水面与棱BC交于点E，
则＝＝1－＝，
所以＝，而△ABC∽△DEC，
所以＝＝.所以＝，D为AC中点．
角度2　锥体的体积
　已知Rt△ABC按照斜二测画法画出的直观图A′B′C′如图所示，其中B′C′＝4，A′B′＝2.
(1)画出Rt△ABC的原图形并求其面积；
(2)若以Rt△ABC的边BA为旋转轴旋转一周，求所得几何体的体积．
【解】　(1)由斜二测画法，原图形中AB＝2A′B′＝4，BC＝B′C′＝4，Rt△ABC的原图形如图所示，
所以S△ABC＝BA·BC＝×4×4＝8.
(2)以Rt△ABC的边BA为旋转轴旋转一周，所得几何体为底面半径为4，高为4，母线长为4的圆锥，故所得几何体的体积为V＝Sh＝π×42×4＝π.
(1)锥体的体积公式V＝Sh既适合棱锥，也适合圆锥，其中棱锥可以是正棱锥，也可以不是正棱锥．
(2)正棱锥、圆锥体积的求法
①正棱锥、圆锥体积用公式求出，即先求出底面积和高，再求体积．
②正棱锥计算要注意运用直角三角形．
③圆锥体积的计算要充分运用轴截面，找出底面半径、母线和高的关系．
　
[跟踪训练2] (1)若一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半径为1的半圆，则该圆锥的体积为(　　)
A．π B．π
C．π D．π
解析：选A.由题意得，圆锥的母线长为1，设底面半径为r，高为h，则2πr＝π，所以r＝，所以h＝＝，故圆锥的体积为V＝Sh＝×()2π×＝π，故选A.
(2)在正四棱锥P-ABCD中，AB＝1，PA＝2，则该四棱锥的体积是________．
解析：过点P作PO⊥平面 ABCD，则O为正方形ABCD的中心，连接AC，BD，易知AC∩BD＝O.因为AB＝1，所以OA＝，又PA＝2，
所以OP＝＝＝，
则四棱锥P-ABCD的体积V＝·AB2·OP＝×12×＝.
答案：
角度3　台体的体积
　(对接教材例5)已知正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面面积为780 cm2，求其体积．
【解】　正四棱台的大致图形如图所示，
A1B1＝10 cm，AB＝20 cm.取A1B1的中点E1，AB的中点E，连接E1E，则E1E为斜高．设O1，O分别是上、下底面中心，连接O1O，O1E1，OE，则四边形EOO1E1为直角梯形．
因为S侧＝4××(10＋20)·E1E＝780(cm2)，
所以E1E＝13 cm.
在直角梯形EOO1E1中，
O1E1＝A1B1＝5(cm)，
OE＝AB＝10(cm)，
所以O1O＝＝12(cm).
所以正四棱台的体积为V＝×12×(102＋202＋10×20)＝2 800(cm3).
台体的体积计算公式是V＝(S上＋S下＋)h，其中S上，S下分别表示台体的上、下底面积，h为台体的高．在求解相关量时，应充分利用台体中有关的直角梯形、直角三角形．另外，台体的体积还可以通过两个锥体的体积差来计算．
　
[跟踪训练3] 已知圆台的上、下底面半径分别为2，5，母线长为5.求：
(1)圆台的高；
(2)圆台的体积．
解：(1)作出圆台的直观图，如图，设圆台上、下底面圆心分别为O1，O2，AB为圆台的一条母线，连接O1O2，AO1，BO2，过点A作AH⊥BO2，垂足为H，则AH的长等于圆台的高，因为圆台的上、下底面半径分别为2，5，母线长为5.
所以AO1＝2，BO2＝5，AB＝5，
则BH＝5－2＝3，可得AH＝＝4，故圆台的高为4.
(2)圆O1的面积为S1＝4π，圆O2的面积为S2＝25π，故圆台的体积为V＝×(4π＋25π＋)×4＝52π.
角度4　不规则几何体或组合体的体积
　学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.
【解析】　依题意知，该模型是长方体中挖去一个四棱锥，故其体积V＝V长方体－V四棱锥＝6×6×4－××4×6×3＝132(cm3).
又该模型的原料密度为0.9 g/cm3，
故制作该模型所需原料的质量为0.9×132＝118.8(g).
【答案】　118.8
求不规则几何体的体积可将几何体分割成规则的几个几何体，或将不规则几何体补成规则几何体，再计算，而组合体的体积，应先分清该组合体由哪些几何体构成，然后再计算．
　
[跟踪训练4] 如图，某几何体的下部分是长、宽均为8，高为3的长方体，上部分是侧棱长都相等且高为3的四棱锥，求：
(1)该几何体的体积；
(2)该几何体的表面积．
解：(1)V长方体＝8×8×3＝192，
V四棱锥P-A1B1C1D1＝×8×8×3＝64，
所以该几何体的体积为V＝192＋64＝256.
(2)连接A1C1，B1D1交于点O，取B1C1的中点E，连接PO，OE，PE，因为PO＝3，OE＝4，
所以PE＝＝5，
所以S四棱椎侧＝4××8×5＝80，
S长方体侧＋S长方体底＝4×8×3＋8×8＝160，
所以该几何体的表面积为S＝80＋160＝240.
角度1　等体积法求几何体的体积
　如图，已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱锥A1-D1EF的体积．
【解】　由题意可知V三棱锥A1-D1EF＝V三棱锥F-A1D1E，
因为S△A1D1E＝EA1·A1D1＝a2，
又三棱锥F-A1D1E的高为CD＝a，
所以V三棱锥F-A1D1E＝a·a2＝a3，
所以V三棱锥A1-D1EF＝a3.
【变式探究】
(综合变式)本例中条件改为点F为CC1的中点，其他条件不变，如图，求四棱锥A1-EBFD1的体积．
解：因为EB＝BF＝FD1＝D1E＝＝a，D1F∥EB，
所以四边形EBFD1是菱形，则△EFB≌△EFD1.
因为三棱锥A1-EFB与三棱锥A1-EFD1的高相等，
所以V四棱锥A1-EBFD1＝2V三棱锥A1-EFB＝2V三棱锥F-EBA1.
又因为S△EBA1＝EA1·AB＝a2，
所以V三棱锥F-EBA1＝a3，
所以V四棱锥A1-EBFD1＝2V三棱锥F-EBA1＝a3.
三棱锥的体积求解具有灵活性，因为三棱锥的任何一个面都可以作为底面，所以常常需要根据题目条件对其顶点和底面进行转换，使得该三棱锥的底面积和高易求、可求，这一方法叫作等体积法．
　
[跟踪训练5] 已知ABC-A1B1C1是体积为1的棱柱，则三棱锥C-AA1B的体积是(　　)
A． B．
C． D．
解析：选D.不妨设三棱柱ABC-A1B1C1的高为h，则V三棱柱A1B1C1-ABC＝S△ABC·h＝1，故V三棱锥C-AA1B＝V三棱锥A1-ABC＝S△ABC·h＝V三棱柱A1B1C1-ABC＝.故选D.
角度2　割补法求几何体的体积
　多面体ABCDEF如图所示，正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，FA⊥AC，AB＝，EF＝FA＝1.求该多面体的体积．
【解】　如图，连接BD，设AC与BD相交于点O，
因为四边形ABCD是正方形，所以BD⊥AC，
又因为平面ABCD⊥平面ACEF，平面ABCD∩平面ACEF＝AC，BD 平面 ABCD，
所以BD⊥平面ACEF.
在正方形ABCD中，由AB＝，可得BD＝AC＝2，
在直角梯形ACEF中，EF∥AC，FA⊥AC且EF＝FA＝1，
所以S梯形ACEF＝×1＝.
多面体ABCDEF可以视为四棱锥B-ACEF和四棱锥D-ACEF的组合体，
故其体积为S梯形ACEF·BD＝××2＝1.
对于给出的一个不规则的几何体，不能直接套用公式，常常需要通过“割”或“补”化复杂几何体为熟知的简单几何体，并作体积的加、减法，从而较快找到解决问题的突破口．
　
[跟踪训练6] 如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，BD⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD＝3，FC＝4，AE＝5.则此几何体的体积为________．
解析：用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，如图所示，使AA′＝BB′＝CC′＝8，由题意易得AB⊥AC，所以V几何体＝V三棱柱ABC－A′B′C′＝×S△ABC·AA′＝××6×8×8＝96.
答案：96
1．(教材P256练习T1改编)已知一个圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，体积为56π，则该圆台的高为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选D.设该圆台的高为h，上、下底面半径分别为r，R.由圆台的体积公式V＝(r2＋R2＋rR)h，得×(22＋42＋8)h＝56π，解得h＝6.故选D.
2.如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为(　　)
A．5π B．6π
C．20π D．10π
解析：选D.用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.
3．将某个圆锥沿着母线和底面圆周剪开后展开，所得的平面图形是一个圆和扇形，已知该扇形的半径为3 cm，圆心角为，则圆锥的体积是________cm3.
解析：设圆锥的底面半径为r，高为h，则2πr＝×3，得r＝1(cm)，h＝＝2(cm)，所以圆锥的体积为×π×12×2＝(cm3).
答案：
4．由华裔建筑师贝聿铭设计的卢浮宫金字塔的形状可视为一个正四棱锥(底面是正方形，侧棱长都相等的四棱锥)，四个侧面由673块玻璃拼组而成，塔高21 m，底宽34 m，求该金字塔的体积．
解：如图，在正四棱锥P-ABCD中，PO⊥底面ABCD，PO＝21 m，AB＝34 m，所以底面正方形的面积为34×34＝1 156(m2)，则正四棱锥P-ABCD的体积为×1 156×21＝8 092(m3).
1．已学习：柱体、锥体、台体的体积公式，等体积法、割补法求几何体的体积．
2．须贯通：等体积法、割补法求几何体体积，利用等体积法可以用来求解几何体的高，特别是在求三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三棱锥的高，而通过直接计算得到高．
3．应注意：(1)注意区分棱锥、棱台的高与斜高；
(2)由于锥体与柱体体积计算公式混淆而出现错误．