6．3　球的表面积和体积（教师版）

6．3　球的表面积和体积
1.了解球的结构和性质．　2.掌握球的表面积与体积公式，并能应用公式解决问题．
3．会解决与球有关的截面、简单组合体问题．
思考1　球也是旋转体，它是由什么平面图形旋转得到的？
提示：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体．
思考2　用任一平面去截球，截面是什么？
提示：圆面．
1．球的截面
(1)球面被______________________的平面截得的圆称为球的大圆；
(2)被__________________的平面截得的圆称为球的小圆；
(3)设截面圆的半径为r，球心到截面的距离为d，球的半径为R，则r＝______________．
2．球的切线
(1)当直线与球有________交点时，称直线与球相切，这一交点称为直线与球的________；
(2)过球外一点的所有切线的切线长都________，这些切点的集合是以点O′为圆心、O′A为半径的圆，圆面O′及所有切线围成了__________．
[答案自填] 经过球心　不经过球心
　唯一　切点　相等　一个圆锥
【即时练】
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)过球外一点有且只有一条切线与球相切．(　　)
(2)球面上的任意三点确定一个平面．(　　)
(3)球心与其截面圆的圆心的连线垂直于截面．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)√
2．过半径为1的球O外一点P作球O的切线，若OP＝2，则切点所在平面与所有切线所围成的几何体的侧面积为________．
解析：由球的切线性质可知，切点所在平面与所有切线所围成的几何体为圆锥，又因为球O的半径为1，OP＝2，所以圆锥底面半径为，母线长为，所以其侧面积S＝π××＝.
答案：
(1)球的任意一个截面都是圆面．
(2)球的两个平行截面的圆心的连线垂直于这两个截面，且过球心．
1．球的表面积：设球的半径为R，则球的表面积S球面＝__________________．
2．球的体积：设球的半径为R，则球的体积V球＝______________．
[答案自填] 4πR2　πR3
(1)若圆锥的体积与球的体积相等，且圆锥的底面半径与球的直径相等，则圆锥的侧面积与球的表面积之比为(　　)
A．∶2 B．2∶1
C．∶2 D．3∶2
(2)①已知球的表面积为16π，求它的体积；
②已知球的体积为，求它的表面积．
【解】　(1)选C.设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，球的半径为R，
则由题意得解得
所以l＝＝h，
所以S圆锥侧＝πrl＝π×2h×h＝2πh2，
S球＝4πR2＝4πh2，
所以＝＝.
故圆锥的侧面积与球的表面积之比为∶2.
(2)①设球的半径为r，则由已知得4πr2＝16π，
所以r＝2，
所以球的体积V＝πr3＝.
②设球的半径为R，则由已知得πR3＝，
所以R＝4，
所以球的表面积S＝4πR2＝4π×42＝64π.
(1)球的基本量是球的半径，由半径可以求出球的表面积和体积，反过来，由表面积和体积也可以求出球的半径，进而解决其他问题．
(2)球的表面积之比是半径比的平方，球的体积之比是半径比的立方．
[跟踪训练1] (1)已知三个球的体积之比为1∶27∶64，则它们的表面积之比为(　　)
A．1∶3∶4
B．1∶18∶48
C．1∶27∶64
D．1∶9∶16
解析：选D.设三个球的半径分别为r1，r2，r3，则由题意知πr∶πr∶πr＝1∶27∶64，所以r1∶r2∶r3＝1∶3∶4，故表面积之比为4πr∶4πr∶4πr＝1∶9∶16.
(2)已知两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为12π，则这两个球的半径之差为________．
解析：设大、小球的半径分别为r1，r2，由题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4π（r－r）＝48π，,2π（r1＋r2）＝12π，))
整理得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(r－r＝12，,r1＋r2＝6，)) 两式相除得 eq \f(r－r,r1＋r2) ＝r1－r2＝2，这两个球的半径之差为2.
答案：2
　已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB＝18，BC＝24，AC＝30，求球的半径．
【解】　因为AB2＋BC2＝AC2，
所以△ABC是直角三角形，B＝90°.
因为球心O在截面△ABC上的投影O′为截面圆的圆心，即是Rt△ABC的外接圆的圆心，
所以斜边AC为截面圆O′的直径(如图所示).
设O′C＝r，OC＝R，则球的半径为R，截面圆半径为r，
在Rt△O′CO中，由题设知sin ∠O′CO＝＝，
所以∠O′CO＝30°，所以＝cos 30°＝，
即R＝r，①
又2r＝AC＝30，所以r＝15，代入①得R＝10.
所以球的半径为10.
(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题．
(2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r满足关系式r＝.
利用球的半径、截面圆的半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题平面化的主要途径．
[跟踪训练2] 一个球内有相距9 cm的两个平行截面，它们的面积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积．
解：当截面
在球心的同侧时，
如图1所示为球的轴截面，
由球的截面性质知AO1∥BO2，且O1，O2为两截面圆的圆心，则OO1⊥AO1，OO2⊥BO2.
设球的半径为R，因为π·O2B2＝49π，所以O2B＝7 cm.
同理，得O1A＝20 cm.
设OO1＝x cm，则OO2＝(x＋9)cm.
在Rt△OO1A中，R2＝x2＋202，①
在Rt△OO2B中，R2＝(x＋9)2＋72，②
联立①②可得x＝15，R＝25.
所以S球＝4πR2＝2 500π(cm2)，故球的表面积为 2 500π cm2.
当截面在球心的两侧时，如图2所示为球的轴截面，由球的截面性质知，O1A∥O2B，且O1，O2分别为两截面圆的圆心，则OO1⊥O1A，OO2⊥O2B.
设球的半径为R，因为π·O2B2＝49π，
所以O2B＝7 cm.
因为π·O1A2＝400π，所以O1A＝20 cm.
设O1O＝x cm，则OO2＝(9－x)cm.
在Rt△OO1A中，R2＝x2＋202，③
在Rt△OO2B中，R2＝(9－x)2＋72，④
联立③④可得x＝－15，不合题意，舍去．
综上所述，球的表面积为2 500π cm2.
　(1)(对接教材例7)某圆柱形容器内盛有8 cm高的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，则一个球的体积为(　　)
A．π cm3 B．π cm3
C．π cm3 D. π cm3
(2)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的表面积为________cm2.
【解析】　(1)设球的半径为R，则一个球的体积为πR3，
故3×πR3＋πR2×8＝πR2×6R，解得R＝4，故一个球的体积为π×43＝π (cm3).故选B.
(2)如图，设球的半径为R cm，则正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4 cm，球心到截面圆的距离为(R－2)cm，所以42＋(R－2)2＝R2，解得R＝5，
所以球的表面积为S表面积＝4πR2＝4π×52＝100π(cm2).
【答案】　(1)B　(2)100π
处理与球有关的组合体问题时，一般需依据球和几何体的对称性，确定球心与几何体的特殊点，球的直径与几何体的体对角线间的关系，再依据题中数量关系将其转化为平面问题求解．
　
[跟踪训练3] 如图，这是某种型号的奖杯，它是用一个正四棱台、一个正四棱柱和一个球焊接而成的，球的半径为R.正四棱柱的底面边长为2R，高为7R.正四棱台的上、下底面边长分别为4R和6R，斜高(即侧面梯形的高)为3R.则这种型号的奖杯的表面积为________．(用R表示，焊接处对面积的影响忽略不计)
解析：球的表面积为4πR2.
正四棱柱的表面积为(2R)2×2＋2R×7R×4＝64R2.
正四棱台的表面积为(6R)2＋(4R)2＋4×(4R＋6R)×3R＝112R2.
故这种型号的奖杯的表面积为112R2＋64R2＋4πR2－2×(2R)2＝168R2＋4πR2.
答案：168R2＋4πR2
1．把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，则圆柱的高为(　　)
A．R B．2R
C．3R D．4R
解析：选D.设圆柱的高为h，则πR2h＝3×πR3，解得h＝4R.故选D.
2．若一个球的体积为4π，则它的表面积为(　　)
A．3π B．9π
C．12π D．36π
解析：选C.设球的半径为R，依题意有πR3＝4π，所以R＝，所以球的表面积为S＝4πR2＝12π.故选C.
3．(教材P256习题6－6T2改编)若球的半径由R增加为2R，则这个球的体积变为原来的______倍，表面积变为原来的________倍．
解析：球的半径为R时，球的体积为V1＝πR3，表面积为S1＝4πR2，
半径增加为2R后，球的体积为V2＝π×(2R)3＝πR3，表面积为S2＝4π×(2R)2＝16πR2.
所以＝＝8，＝＝4，即体积变为原来的8倍，表面积变为原来的4倍．
答案：8　4
4．已知一个平面截一个球得到面积为3π的圆面，球心到这个圆面的距离等于球半径的一半，则该球的体积为________．
解析：由平面截一个球得到面积为3π的圆面可得，截面圆的半径为r＝，设球的半径为R，球心到这个圆面的距离为d＝R，所以由勾股定理可得R2＝d2＋r2，即R2＝3，所以R＝2，所以球的体积为πR3＝.
答案：
1．已学习：球的性质、球的表面积与体积、球的截面、球的简单组合体．
2．须贯通：利用球的性质解决球的表面积与体积问题．
3．应注意：球的表面积与体积公式记错而致误．